Подмножество собственных значений и собственных векторов
d = eigs(A,k,sigma,Name,Value)eigs(A,k,sigma,'Tolerance',1e-3) корректирует допуск сходимости для алгоритма.
Матрица A = delsq(numgrid('C',15)) - симметричная положительная определенная матрица с собственными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите шесть собственных значений наибольшей величины.
A = delsq(numgrid('C',15));
d = eigs(A)d = 6×1
7.8666
7.7324
7.6531
7.5213
7.4480
7.3517
Укажите второй вход для вычисления определенного числа самых больших собственных значений.
d = eigs(A,3)
d = 3×1
7.8666
7.7324
7.6531
Матрица A = delsq(numgrid('C',15)) - симметричная положительная определенная матрица с собственными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите пять наименьших собственных значений.
A = delsq(numgrid('C',15)); d = eigs(A,5,'smallestabs')
d = 5×1
0.1334
0.2676
0.3469
0.4787
0.5520
Создайте случайную разреженную матрицу 1500 на 1500 с приблизительной плотностью ненулевых элементов 25%.
n = 1500; A = sprand(n,n,0.25);
Найти факторизацию LU матрицы, возвращающую вектор перестановки p что удовлетворяет A(p,:) = L*U.
[L,U,p] = lu(A,'vector');Создание дескриптора функции Afun который принимает векторный ввод x и использует результаты разложения логической единицы для, по сути, возврата A\x.
Afun = @(x) U\(L\(x(p)));
Вычислите шесть собственных значений наименьшей величины с помощью eigs с дескриптором функции Afun. Второй вход - это размер A.
d = eigs(Afun,1500,6,'smallestabs')d = 6×1 complex
0.1423 + 0.0000i
0.4859 + 0.0000i
-0.3323 - 0.3881i
-0.3323 + 0.3881i
0.1019 - 0.5381i
0.1019 + 0.5381i
west0479 является вещественно-значимой 479 на 479 разреженной матрицей с вещественными и комплексными парами сопряженных собственных значений.
Загрузить west0479 матрица, затем вычислить и вывести на график все собственные значения с помощью eig. Поскольку собственные значения сложны, plot автоматически использует вещественные детали в качестве координат x, а мнимые детали - в качестве координат y.
load west0479 A = west0479; d = eig(full(A)); plot(d,'+')
Собственные значения группируются вдоль вещественной линии (оси x), особенно вблизи начала координат.
eigs имеет несколько вариантов для sigma которые могут выбирать наибольшие или наименьшие собственные значения различных типов. Вычислите и запишите некоторые собственные значения для каждой из доступных опций sigma.
figure plot(d, '+') hold on la = eigs(A,6,'largestabs'); plot(la,'ro') sa = eigs(A,6,'smallestabs'); plot(sa,'go') hold off legend('All eigenvalues','Largest magnitude','Smallest magnitude') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis')
figure plot(d, '+') hold on ber = eigs(A,4,'bothendsreal'); plot(ber,'r^') bei = eigs(A,4,'bothendsimag'); plot(bei,'g^') hold off legend('All eigenvalues','Both ends real','Both ends imaginary') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis')
figure plot(d, '+') hold on lr = eigs(A,3,'largestreal'); plot(lr,'ro') sr = eigs(A,3,'smallestreal'); plot(sr,'go') li = eigs(A,3,'largestimag','SubspaceDimension',45); plot(li,'m^') si = eigs(A,3,'smallestimag','SubspaceDimension',45); plot(si,'c^') hold off legend('All eigenvalues','Largest real','Smallest real','Largest imaginary','Smallest imaginary') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis')
'smallestabs' и 'smallestreal' Собственные значенияСоздайте симметричную положительную определенную разреженную матрицу.
A = delsq(numgrid('C', 150));Вычислите шесть наименьших собственных действительных значений с помощью 'smallestreal', который использует метод Крылова с использованием A.
tic
d = eigs(A, 6, 'smallestreal')d = 6×1
0.0013
0.0025
0.0033
0.0045
0.0052
0.0063
toc
Elapsed time is 1.301556 seconds.
Вычислить те же собственные значения с помощью 'smallestabs', который использует метод Крылова, используя обратное A.
tic
dsm = eigs(A, 6, 'smallestabs')dsm = 6×1
0.0013
0.0025
0.0033
0.0045
0.0052
0.0063
toc
Elapsed time is 0.201428 seconds.
Собственные значения сгруппированы около нуля. 'smallestreal' вычисления пытаются сойтись, используя A поскольку разрыв между собственными значениями так мал. И наоборот, 'smallestabs' опция использует обратную A, и, следовательно, обратное собственным значениям A, которые имеют гораздо больший зазор и, следовательно, легче вычисляются. Эта улучшенная производительность достигается за счет факторизации A, что не обязательно с 'smallestreal'.
Вычислять собственные значения рядом с числовым значением sigma значение, которое почти равно собственному значению.
Матрица A = delsq(numgrid('C',30)) является симметричной положительной определенной матрицей размера 632 с собственными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8), но с 18 собственными значениями, повторенными при 4,0. Чтобы вычислить некоторые собственные значения около 4.0, разумно попробовать вызов функции eigs(A,20,4.0). Однако этот вызов вычисляет наибольшие собственные значения обратной A - 4.0*I, где I является единичной матрицей. Поскольку 4.0 является собственным значением A, эта матрица является единственной и поэтому не имеет обратной. eigs не удается и выдает сообщение об ошибке. Числовое значение sigma не может быть точно равно собственному значению. Вместо этого необходимо использовать значение sigma это близко, но не равно 4.0, чтобы найти эти собственные значения.
Вычислить все собственные значения с помощью eigи 20 собственных значений, ближайших к 4-1e-6, используя eigs для сравнения результатов. Постройте график собственных значений, рассчитанных для каждого метода.
A = delsq(numgrid('C',30));
sigma = 4 - 1e-6;
d = eig(A);
D = sort(eigs(A,20,sigma));plot(d(307:326),'ks') hold on plot(D,'k+') hold off legend('eig(A)','eigs(A,20,sigma)') title('18 Repeated Eigenvalues of A')
Создание разреженных случайных матриц A и B которые имеют низкие плотности ненулевых элементов.
B = sprandn(1e3,1e3,0.001) + speye(1e3); B = B'*B; A = sprandn(1e3,1e3,0.005); A = A+A';
Найти Cholesky разложение матрицы B, используя три выхода для возврата вектора перестановки s и тестовое значение p.
[R,p,s] = chol(B,'vector');
pp = 0
С тех пор p равно нулю, B - симметричная положительная определенная матрица, удовлетворяющая B(s,s) = R'*R.
Вычислите шесть собственных значений наибольшей величины и собственных векторов обобщенной задачи собственных значений, включающей A и R. С тех пор R является фактором Холеского B, указать 'IsCholesky' как true. Кроме того, с B(s,s) = R'*R и, таким образом, R = chol(B(s,s)), используйте вектор перестановки s как значение 'CholeskyPermutation'.
[V,D,flag] = eigs(A,R,6,'largestabs','IsCholesky',true,'CholeskyPermutation',s); flag
flag = 0
С тех пор flag равно нулю, все собственные значения сходятся.
eigs генерирует начальный вектор по умолчанию с использованием потока частных случайных чисел для обеспечения воспроизводимости на всех этапах. Установка состояния генератора случайных чисел с помощью rng перед вызовом eigs не влияет на выходные данные.
Используя eigs это не самый эффективный способ найти несколько собственных значений небольших плотных матриц. Для таких проблем, возможно, быстрее использовать eig(full(A)). Например, нахождение трех собственных значений в матрице 500 на 500 является относительно небольшой проблемой, которая легко решается с помощью eig.
Если eigs не удается сойтись для данной матрицы, увеличить число базисных векторов Ланцоса, увеличив значение 'SubspaceDimension'. В качестве дополнительных опций можно настроить максимальное количество итераций, 'MaxIterations'и допуск сходимости, 'Tolerance', также может помочь с поведением сходимости.
[1] Стюарт, Г. В. «Алгоритм Крылова-Шура для больших собственных задач». Журнал матричного анализа и приложений SIAM. Том 23, выпуск 3, 2001, стр. 601-614.
[2] Лехук, Р.Б., округ Колумбия Соренсон и К. Ян. Руководство пользователя ARPACK. Филадельфия, Пенсильвания: SIAM, 1998.