Матрица A = delsq(numgrid('C',15)) - симметричная положительная определенная матрица с сингулярными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите шесть самых больших значений в единственном числе.

A = delsq(numgrid('C',15));
s = svds(A)

s = 6×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531
    7.5213
    7.4480
    7.3517

Укажите второй вход для вычисления определенного числа наибольших сингулярных значений.

s = svds(A,3)

s = 3×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531

Матрица A = delsq(numgrid('C',15)) - симметричная положительная определенная матрица с сингулярными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите пять наименьших сингулярных значений.

A = delsq(numgrid('C',15));
s = svds(A,5,'smallest')

s = 5×1

    0.5520
    0.4787
    0.3469
    0.2676
    0.1334

Создайте разреженную матрицу Неймана 100 на 100.

C = gallery('neumann',100);

Вычислите десять наименьших сингулярных значений.

ss = svds(C,10,'smallest')

ss = 10×1

    0.9828
    0.9049
    0.5625
    0.5625
    0.4541
    0.4506
    0.2256
    0.1139
    0.1139
         0

Вычислите 10 наименьших ненулевых сингулярных значений. Поскольку матрица имеет сингулярное значение, равное нулю, 'smallestnz' опция пропускает его.

snz = svds(C,10,'smallestnz')

snz = 10×1

    0.9828
    0.9828
    0.9049
    0.5625
    0.5625
    0.4541
    0.4506
    0.2256
    0.1139
    0.1139

west0479 является вещественно-значной 479 на 479 разреженной матрицей. Матрица имеет несколько больших сингулярных значений и много малых сингулярных значений.

Груз west0479 и сохранить его как A.

load west0479
A = west0479;

Вычислить разложение сингулярного значения A, возвращая шесть наибольших сингулярных значений и соответствующие сингулярные векторы. Укажите четвертый выходной аргумент для проверки сходимости сингулярных значений.

[U,S,V,cflag] = svds(A);
cflag

cflag = 0

cflag указывает, что все сингулярные значения сходились. Сингулярные значения находятся на диагонали выходной матрицы S.

s = diag(S)

s = 6×1
105 ×

    3.1895
    3.1725
    3.1695
    3.1685
    3.1669
    0.3038

Проверьте результаты, рассчитав полное разложение сингулярного значения A. Новообращенный A к полной матрице и использовать svd.

[U1,S1,V1] = svd(full(A));

Постройте график шести крупнейших сингулярных значений A вычислено по svd и svds с использованием логарифмической шкалы.

s2 = diag(S1);
semilogy(s2(1:6),'r.')
hold on
semilogy(s,'ro','MarkerSize',10)
title('Singular Values of west0479')
legend('svd','svds')

Создайте разреженную диагональную матрицу и вычислите шесть наибольших сингулярных значений.

A = diag(sparse([1e4*ones(1, 8) 1e4:-1:1]));
s = svds(A)

Warning: Only 2 of the 6 requested singular values converged. Singular values that did not converge are NaN.

s = 6×1
104 ×

    1.0000
    0.9999
       NaN
       NaN
       NaN
       NaN

svds алгоритм выдает предупреждение, так как было выполнено максимальное количество итераций, но не удалось выполнить допуск.

Наиболее эффективным способом решения проблем сходимости является увеличение максимального размера крыловского подпространства, используемого при вычислении, за счет использования большего значения для 'SubspaceDimension'. Для этого передайте пару имя-значение 'SubspaceDimension' со значением 60.

s = svds(A,6,'largest','SubspaceDimension',60)

s = 6×1
104 ×

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Вычислите 10 наименьших сингулярных значений почти сингулярной матрицы.

rng default
format shortg
B = spdiags([repelem([1; 1e-7], [198, 2]) ones(200, 1)], [0 1], 200, 200);
s1 = svds(B,10,'smallest')

Warning: Large residual norm detected. This is likely due to bad condition of the input matrix (condition number 1.0008e+16).

s1 = 10×1

       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
      0.25927
   7.0888e-16

Предупреждение указывает, что svds не удалось вычислить соответствующие сингулярные значения. Отказ с svds из-за разрыва между наименьшим и вторым наименьшим сингулярными значениями. svds(...,'smallest') необходимо инвертировать B, что приводит к большой числовой ошибке.

Для сравнения вычислите точные сингулярные значения с помощью svd.

s = svd(full(B));
s = s(end-9:end)

s = 10×1

      0.14196
      0.12621
      0.11045
     0.094686
     0.078914
     0.063137
     0.047356
     0.031572
     0.015787
   7.0888e-16

Для воспроизведения этого расчета с помощью svds, выполните QR-разложение B. Сингулярные значения треугольной матрицы R те же, что и для B.

[Q,R,p] = qr(B,0);

Постройте график нормы каждой строки R.

rownormR = sqrt(diag(R*R'));
semilogy(rownormR)
hold on;
semilogy(size(R, 1), rownormR(end), 'ro')

Последняя запись в R равно почти нулю, что вызывает нестабильность в решении.

Предотвратите повреждение этой записью хороших частей решения, установив последнюю строку R быть ровно нулевым.

R(end,:) = 0;

Использовать svds найти 10 наименьших сингулярных значений R. Результаты сопоставимы с результатами, полученными svd.

sr = svds(R,10,'smallest')

sr = 10×1

      0.14196
      0.12621
      0.11045
     0.094686
     0.078914
     0.063137
     0.047356
     0.031572
     0.015787
            0

Чтобы вычислить сингулярные векторы B с помощью этого метода преобразуйте левый и правый сингулярные векторы с помощью Q и вектор перестановки p.

[U,S,V] = svds(R,20,'s');
U = Q*U;
V(p,:) = V;