Используйте legendre для работы с вектором, а затем для проверки формата вывода.

Вычислите значения функции Лежандра второй степени вектора.

deg = 2;
x = 0:0.1:0.2;
P = legendre(deg,x)

P = 3×3

   -0.5000   -0.4850   -0.4400
         0   -0.2985   -0.5879
    3.0000    2.9700    2.8800

Формат вывода таков, что:

Уравнение для связанной со второй степенью функции Лежандра ${\mathit{}}_{\mathrm{}}^{\mathit{P2m}}$

Поэтому значение ${\mathit{}}_{\mathrm{}}^{\mathrm{P20}}\mathrm{(}0$) равно

Этот результат согласуется с P(1,1) = -0.5000.

Вычислите связанные значения функций Лежандра с помощью нескольких нормализаций.

Вычислите значения функции Лежандра первой степени ${\mathit{}}_{\mathrm{}}^{\mathit{P1m}}$. Первая строка значений соответствует $\mathit{m}\mathrm{=}$0, а вторая строка $\mathit{-}\mathrm{m}$= 1.

x = 0:0.2:1;
n = 1;
P_unnorm = legendre(n,x)

P_unnorm = 2×6

         0    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000
   -1.0000   -0.9798   -0.9165   -0.8000   -0.6000         0

Затем вычислите значения семинормированной функции Шмидта. По сравнению с ненормализованными значениями форма Шмидта отличается при $\mathit{m}\mathrm{>}$ 0 масштабированием

Для первой строки две нормализации одинаковы, так как $\mathit{m}\mathrm{=}$0. Для второй строки константа масштабирования, умножающая каждое значение, равна -1.

P_sch = legendre(n,x,'sch')

P_sch = 2×6

         0    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000
    1.0000    0.9798    0.9165    0.8000    0.6000         0

C1 = (-1) * sqrt(2*factorial(0)/factorial(2))

C1 = -1

Наконец, вычислите полностью нормализованные значения функции. По сравнению с ненормализованными значениями полностью нормализованная форма отличается коэффициентом масштабирования

Этот коэффициент масштабирования применяется ко всем значениям $\mathit{m}$, поэтому первая и вторая строки имеют разные коэффициенты масштабирования.

P_norm = legendre(n,x,'norm')

P_norm = 2×6

         0    0.2449    0.4899    0.7348    0.9798    1.2247
    0.8660    0.8485    0.7937    0.6928    0.5196         0

Cm0 = sqrt((3/2))

Cm0 = 1.2247

Cm1 = (-1) * sqrt((3/2)/2)

Cm1 = -0.8660

Сферические гармоники возникают в решении уравнения Лапласа и используются для представления функций, определенных на поверхности сферы. Использовать legendre вычислять и визуализировать сферическую гармонику для ${\mathit{}}_{\mathrm{}}^{\mathrm{Y32}}$.

Уравнение для сферических гармоник включает член для функции Лежандра, а также сложную экспоненциальную:

Сначала создайте сетку значений для представления всех комбинаций $\mathrm{}\mathrm{0\le \theta \le \pi }$(колатитовый угол) и $\mathrm{}\mathrm{0\le \varphi \le 2\pi }$(азимутальный угол). В данном случае колатитума в $$$$диапазоне от 0 на Северном полюсе, до $$\lambda /2\mathrm{}$$на Экваторе и до λ $$$$на Южном полюсе.

dx = pi/60;
col = 0:dx:pi;
az = 0:dx:2*pi;
[phi,theta] = meshgrid(az,col);

Рассчитайте ${\mathit{}}_{\mathit{}}^{\mathit{Plm}}\mathrm{(}\text{cos}\text{start})$ на сетке для $\mathit{l}\mathrm{=}$3.

l = 3;
Plm = legendre(l,cos(theta));

С тех пор legendre вычисляет ответ для всех значений $\mathit{m}$, Plm содержит некоторые дополнительные значения функций. Извлеките значения для $\mathit{m}\mathrm{=}$ 2 и отмените восстановление. reshape функция для ориентации результатов в виде матрицы с тем же размером, что и phi и theta.

m = 2;
if l ~= 0
    Plm = reshape(Plm(m+1,:,:),size(phi));
end

Вычислите сферические гармонические значения для ${\mathit{}}_{\mathrm{}}^{\mathrm{Y32}}$.

a = (2*l+1)*factorial(l-m);
b = 4*pi*factorial(l+m);
C = sqrt(a/b);
Ylm = C .*Plm .*exp(1i*m*phi);

Преобразуйте сферические координаты в декартовы. Здесь $$\mathrm{}\mathrm{\lambda /2-\lambda }$$ становится углом широты, который колеблется от $$\mathrm{\lambda /2}$$ на Северном полюсе, до 0 на Экваторе, и до $$-\mathrm{\lambda /2}$$ на Южном полюсе. Постройте график сферической гармоники для ${\mathit{}}_{\mathrm{}}^{\mathrm{Y32}}$, используя как положительные, так и отрицательные вещественные значения.

[Xm,Ym,Zm] = sph2cart(phi, pi/2-theta, abs(real(Ylm)));
surf(Xm,Ym,Zm)
title('$Y_3^2$ spherical harmonic','interpreter','latex')