Exponenta Banner
exponenta event banner

polyeig

Полиномиальная задача собственного значения

свернуть все на странице

Синтаксис

e = полиеиг (A0,A1,...,Ap)
[X, e] = полиэг (A0,A1,...,Ap)
[X, e, s] = полиэг (A0,A1,...,Ap)

Описание

пример

e = polyeig(A0,A1,...,Ap) возвращает собственные значения для полиномиальной задачи собственных значений степени p.

пример

[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap) также возвращает матрицу X, размера nоколо-n*p, чьи столбцы являются собственными векторами.

пример

[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap) дополнительно возвращает вектор s, длины p*n, содержащий номера условий для собственных значений. По крайней мере один из A0 и Ap должен быть несигнулярным. Большие числа условий подразумевают, что проблема близка к проблеме с повторяющимися собственными значениями.

Примеры

свернуть все

Открыть сценарий в реальном времени

Решение задачи квадратичного собственного значения с использованием матрицы масс M, демпфирующая матрица Cи матрица жесткости K. Эта задача квадратичного собственного значения возникает из уравнения движения:

Md2ydt2 + Cdydt + Ky = f (t)

Это уравнение применяется к широкому диапазону колебательных систем, включая динамическую массово-пружинную систему или электронную сеть RLC. Фундаментальным решением является y (t) = xeλ t, так что и λ, иx должен решить задачу квадратичного собственного значения (QEP),

(Mλ 2 + Cλ + K) x = 0

Создание матриц коэффициентов M, C, и K для представления системы масс-пружин с четырьмя степенями свободы. Все матрицы коэффициентов являются симметричными и положительными полудефинитами, и M - диагональная матрица.

M = diag([3 1 3 1])
M = 4×4

     3     0     0     0
     0     1     0     0
     0     0     3     0
     0     0     0     1


C = [0.4 0 -0.3 0; 0 0 0 0; -0.3 0 0.5 -0.2; 0 0 -0.2 0.2]
C = 4×4

    0.4000         0   -0.3000         0
         0         0         0         0
   -0.3000         0    0.5000   -0.2000
         0         0   -0.2000    0.2000


K = [-7 2 4  0; 2 -4 2 0; 4 2 -9 3; 0 0 3 -3]
K = 4×4

    -7     2     4     0
     2    -4     2     0
     4     2    -9     3
     0     0     3    -3

Определение QEP для собственных значений, собственных векторов и номеров условий с помощью polyeig. 

[X,e,s] = polyeig(K,C,M)
X = 4×8

    0.1828    0.3421    0.3989    0.0621    0.3890   -0.4143   -0.4575    0.4563
    0.3530   -0.9296    0.3330   -0.8571   -0.6366   -0.2717   -0.4981    0.4985
   -0.5360   -0.0456   -0.1724    0.3509   -0.3423    0.1666   -0.5106    0.5107
    0.7448    0.1295   -0.8368   -0.3720    0.5712    0.8525   -0.5309    0.5315


e = 8×1

   -2.4498
   -2.1536
   -1.6248
    2.2279
    2.0364
    1.4752
    0.3353
   -0.3466


s = 8×1

    0.5813
    0.8609
    1.2232
    0.7855
    0.7012
    1.2922
   10.1097
   10.0519

Проверьте, что первое собственное значение, e(1)и первый собственный вектор, X(:,1), удовлетворяют уравнению QEP. Результат близок к, но не точно, нулю.

lambda = e(1);
x = X(:,1);
(M*lambda^2 + C*lambda + K)*x
ans = 4×1
10-13 ×

   -0.0133
   -0.0466
    0.1465
   -0.0622

Входные аргументы

свернуть все

Матрицы квадратных коэффициентов, заданные как отдельные аргументы. Все матрицы должны иметь одинаковый порядок, n.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного номера: Да

Выходные аргументы

свернуть все

Собственные значения, возвращаемые как вектор.

Собственные векторы, возвращаемые в столбцах матрицы. Первый собственный вектор - X(:,1), второй - X(:,2)и так далее.

Номера условий, возвращенные в виде вектора. Номера условий в s соответствуют аналогичным собственным значениям в e. Большие числа условий указывают на то, что проблема близка к повторным собственным значениям.

Подробнее

свернуть все

Полиномиальная проблема собственных значений

Полиномиальная задача собственного значения является вариантом стандартной задачи собственного значения, Ax = λ x, но вместо этого включает полиномы, а не линейные члены.

Как и в случае стандартной задачи собственного значения, решение включает в себя поиск собственных значений и собственных векторов, которые удовлетворяют уравнению,

(A0 + λA1 +... + λ PAp) x = 0,

где степень полинома, p, - неотрицательное целое число, и A0,A1,...Ap - квадратные матрицы коэффициентов порядка n.

Наиболее распространенной формой является задача квадратичного полинома собственного значения, которая является

(A2λ2 + A1λ + A0) x = 0.

Одно из основных различий между проблемой квадратичного собственного значения и стандартной (или обобщенной) проблемой собственного значения состоит в том, что может быть до 2n собственные значения до 2n правый и левый собственные векторы. В случаях, когда их более n собственные векторы, собственные векторы не образуют линейно независимого множества. Для получения более подробной информации о проблеме квадратичного собственного значения см. [1] и [2].

Совет

  • polyeig обрабатывает следующие упрощенные случаи:

    • p = 0, или polyeig(A), является стандартной проблемой собственного значения, eig(A).

    • p = 1, или polyeig(A,B), является обобщенной проблемой собственного значения, eig(A,-B).

    • n = 0, или polyeig(a0,a1,...,ap), является стандартной полиномиальной задачей, roots([ap ... a1 a0]), где a0,a1,...,ap скаляры.

Алгоритмы

polyeig функция использует факторизацию QZ для поиска промежуточных результатов при вычислении обобщенных собственных значений. polyeig использует промежуточные результаты для определения того, правильно ли определены собственные значения. См. описания eig и qz для получения дополнительной информации.

Вычисленные решения могут не существовать или быть уникальными, а также могут быть неточными с точки зрения вычислений. Если оба A0 и Ap это сингулярные матрицы, тогда проблема может быть плохо поставлена. Если только один из A0 и Ap является единственным, то некоторые собственные значения могут быть 0 или Inf.

Вычисление A0,A1,...,Ap иметь norm(Ai) примерно равно 1 может повысить точность polyeig. Однако в целом эта улучшенная точность не достижима. (Подробности см. в Tisseur [3]).

Ссылки

[1] Дедье, Жан-Пьер и Франсуаза Тиссёр. «Теория возмущений для однородных полиномиальных собственных задач». Линейная алгебра, том 358, 2003, стр. 71-94.

[2] Тиссёр, Франсуаза и Карл Меерберген. «Проблема квадратичного собственного значения». СИАМ, том 43, номер 2, 2001, стр. 235-286.

[3] Франсуаза Тиссёр. «Обратная ошибка и состояние проблем с собственными значениями полинома». Линейная алгебра, том 309, 2000, стр. 339-361.

Расширенные возможности

.

См. также

| | |

Темы

Представлен до R2006a

Документация MATLAB

Поддержка