Проверьте чувствительность плохо кондиционированной матрицы.

Заметной матрицей, которая является симметричной и положительной определённой, но плохо обусловленной, является матрица Гильберта. Элементами матрицы Гильберта являются $$H(i,j\mathrm{)}=1/(\mathrm{}i$$+ j-1).

Создайте матрицу Гильберта 10 на 10.

A = hilb(10);

Найдите ответный номер условия матрицы.

C = rcond(A)

C = 2.8286e-14

Ответный номер условия мал, поэтому A плохо кондиционирован.

Состояние A оказывает влияние на решения аналогичных линейных систем уравнений. Чтобы увидеть это, сравните раствор $$\mathrm{Ax}=$$ b с раствором возмущенной системы$$,\mathrm{Ax}\mathrm{=}\mathrm{b}\mathrm{}$$+ 0,01.

Создайте вектор столбца из единиц и решите $$\mathrm{Ax}=$$ b.

b = ones(10,1);
x = A\b;

Теперь измените $$b$$ на 0.01 и решить проблему возмущенной системы.

b1 = b + 0.01;
x1 = A\b1;

Сравните решения, x и x1.

norm(x-x1)

ans = 1.1250e+05

С тех пор A плохо кондиционирован, небольшое изменение в b приводит к очень большому изменению (порядка 1e5) в решении x = A\b. Система чувствительна к возмущениям.

Изучите, почему число взаимных условий является более точной мерой сингулярности, чем определитель.

Создайте матрицу тождества, кратную 5 на 5.

A = eye(5)*0.01;

Эта матрица является полной и имеет пять равных сингулярных значений, которые можно подтвердить вычислением svd(A).

Вычислить определитель A.

det(A)

ans = 1.0000e-10

Хотя определитель матрицы близок к нулю, A на самом деле очень хорошо кондиционирован и не близок к тому, чтобы быть единственным.

Рассчитать число взаимных условий A.

rcond(A)

ans = 1

Матрица имеет ответный номер условия 1 и поэтому очень хорошо кондиционирован. Использовать rcond(A) или cond(A) вместо det(A) для подтверждения сингулярности матрицы.