Exponenta Banner
exponenta event banner

остаток

Частичное расширение фракции (частичное разложение фракции)

свернуть все на странице

Синтаксис

[r, p, k] = остаток (b, a)
[b, a] = остаток (r, p, k)

Описание

пример

[r,p,k] = residue(b,a) находит остатки, полюса и прямой член частичного дробного расширения отношения двух многочленов, где расширение имеет вид

b (s) a (s) = bmsm + bm − 1sm − 1 +... + b1s + b0ansn + a − 1sn − 1 + + a1s + a0 = rns − pn +... + r2s − p2 + r1s − p1 + k (s).

Входные данные для residue - векторы коэффициентов многочленов b = [bm ... b1 b0] и a = [an ... a1 a0]. Выходами являются остатки r = [rn ... r2 r1], полюса p = [pn ... p2 p1]и многочлен k. Для большинства проблем учебника, k является 0 или константа.

пример

[b,a] = residue(r,p,k) преобразует частичное дробное расширение обратно в отношение двух многочленов и возвращает коэффициенты в b и a.

Примеры

свернуть все

Открыть сценарий в реальном времени

Поиск частичного дробного расширения следующего отношения многочленов F (s) с помощьюresidue

F (s) = b (s) a (s) = -4s + 8s2 + 6s + 8.

b = [-4 8];
a = [1 6 8];
[r,p,k] = residue(b,a)
r = 2×1

   -12
     8


p = 2×1

    -4
    -2


k =

     []

Это представляет собой частичное расширение фракции.

- 4s+8s2+6s+8 =-12s+4+8s+2.

Преобразование частичного дробного расширения обратно в полиномиальные коэффициенты с помощью residue.

[b,a] = residue(r,p,k)
b = 1×2

    -4     8


a = 1×3

     1     6     8

Этот результат представляет исходную долю F (ы).

Открыть сценарий в реальном времени

Если степень числителя равна степени знаменателя, вывод k может быть ненулевым.

Найдите частичное дробное расширение отношения двух многочленов F (s) со сложными корнями и равной степенью числителя и знаменателя, где F (s) равно

F (s) = b (s) a (s) = 2s3 + s2s3 + s + 1.

b = [2 1 0 0];
a = [1 0 1 1];
[r,p,k] = residue(b,a)
r = 3×1 complex

   0.5354 + 1.0390i
   0.5354 - 1.0390i
  -0.0708 + 0.0000i


p = 3×1 complex

   0.3412 + 1.1615i
   0.3412 - 1.1615i
  -0.6823 + 0.0000i


k = 2

residue возвращает сложные корни и полюса и постоянный член в k, представляющее частичное расширение фракции

F (s) = b (s) a (s) = 2s3 + s2s3 + s2 + 1 = 0.5354 + 1.0390is- (0.3412 + 1.1615i) + 0.5354-1.0390is- (0.3412-1.1615i) + -0.0708s + 0.6823 + 2.

Открыть сценарий в реальном времени

Если степень числителя больше степени знаменателя, вывод k - вектор, представляющий коэффициенты многочлена в s.

Выполните следующее частичное дробное расширение F (s) с использованиемresidue.

F (s) = b (s) a (s) = 2s4 + ss2 + 1 = 0 .5-1is-1i + 0,5 + 1is + 1i + 2s2-2.

b = [2 0 0 1 0];
a = [1 0 1];
[r,p,k] = residue(b,a)
r = 2×1 complex

   0.5000 - 1.0000i
   0.5000 + 1.0000i


p = 2×1 complex

   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i


k = 1×3

     2     0    -2

k представляет многочлен 2s2-2.

Входные аргументы

свернуть все

Коэффициенты многочлена в числителе, задаваемые как вектор чисел, представляющих коэффициенты многочлена в степенях убывания s.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного номера: Да

Коэффициенты многочлена в знаменателе, задаваемые как вектор чисел, представляющих коэффициенты многочлена в степенях убывания s.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного номера: Да

Выходные аргументы

свернуть все

Остатки частичного дробного расширения, возвращаемые в виде вектора-столбца чисел.

Полюса частичного дробного расширения, возвращаемые как вектор-столбец чисел.

Прямой член, возвращаемый в виде вектора строк чисел, которые задают коэффициенты многочлена в степенях убывания s.

Подробнее

свернуть все

Частичное расширение фракции

Рассмотрим долю F (s) двух многочленов b и a степени n и m соответственно

F (s) = b (s) a (s) = bnsn +... + b2s2 + b1s + b0amsm +... + a2s2 + a1s + a0.

Фракция F (ы) может быть представлена как сумма простых дробей.

b (s) a (s) = rms − pm + rm − 1s − pm − 1 +... r0s − p0 + k (s)

Эта сумма называется частичным дробным расширением F. Значения rm,..., r1 являются остатками, значения pm,..., p1 являются полюсами, и k (s) является многочленом в. Для большинства задач учебника k (s) является 0 или константой.

Количество полюсов n является

n = length(a)-1 = length(r) = length(p)

Вектор прямого члена пуст, если length(b) < length(a); иначе

length(k) = length(b)-length(a)+1

Если p(j) = ... = p(j+m-1) - полюс кратности m, то расширение включает в себя термины формы

rjs − pj + rj + 1 (s − pj) 2 +... + rj + m − 1 (s − pj) m.

Алгоритмы

residue сначала получает полюса, используя roots. Далее, если дробь неверна, прямой член k найден с помощью deconv, которая выполняет многочленовое длинное деление. Наконец, residue определяет остатки, оценивая полином с удаленными отдельными корнями. Для повторяющихся корней resi2 вычисляет остатки в повторяющихся корневых расположениях.

Численно, частичное дробное расширение отношения многочленов представляет плохо поставленную задачу. Если многочлен знаменателя, a (s), находится вблизи многочлена с несколькими корнями, то небольшие изменения в данных, включая ошибки округления, могут привести к произвольно большим изменениям в результирующих полюсах и остатках. Предпочтительны проблемные формулировки, использующие представления состояния-пространства или нулевого полюса.

Ссылки

[1] Оппенгейм, А.В. и Р.В. Шефер. Цифровая обработка сигналов. Прентис-Холл, 1975, стр. 56.

См. также

| |

Темы

Представлен до R2006a

Документация MATLAB

Поддержка