Решение квадратной линейной системы с помощью tfqmr с настройками по умолчанию, а затем скорректировать допуск и количество итераций, используемых в процессе решения.

Создание случайной разреженной матрицы A с плотностью 50%. Также создать случайный вектор b для правой стороны $\mathrm{Ax}\mathit{=}$b.

rng default
A = sprand(400,400,.5);
A = A'*A;
b = rand(400,1);

Решить $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b с помощьюtfqmr. Выходной дисплей включает в себя значение относительной остаточной ошибки $\frac{\Vert \mathit{}\mathrm{}b-Ax}{\mathit{\Vert }}$‖ b ‖.

x = tfqmr(A,b);

tfqmr stopped at iteration 40 without converging to the desired tolerance 1e-06
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 13) has relative residual 0.3.

По умолчанию tfqmr использует 40 итераций и допуск 1e-6и алгоритм не может сойтись в этих 40 итерациях для этой матрицы. Поскольку остаток все еще велик, это хороший показатель того, что требуется больше итераций (или матрица предварительного условия). Можно также использовать больший допуск, чтобы упростить сходимость алгоритма.

Повторное решение системы с использованием допуска 1e-4 и 100 итераций.

x = tfqmr(A,b,1e-4,100);

tfqmr stopped at iteration 200 without converging to the desired tolerance 0.0001
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 13) has relative residual 0.3.

Даже при меньшем допуске и большем количестве итераций остаточная ошибка не сильно улучшается. Когда итеративный алгоритм останавливается таким образом, это является хорошим показателем того, что необходима матрица предварительного условия.

Рассчитать неполную факторизацию Холеского Aи используйте L' фактор в качестве предварительного условия ввода в tfqmr.

L = ichol(A);
x = tfqmr(A,b,1e-4,100,L');

tfqmr converged at iteration 32 to a solution with relative residual 5.2e-05.

Использование предварительного условия улучшает численные свойства проблемы настолько, что tfqmr способен сходиться.

Анализ влияния использования матрицы предварительного кондиционирования с помощью tfqmr для решения линейной системы.

Загрузка west0479, вещественная несимметричная разреженная матрица 479 на 479.

load west0479
A = west0479;

Определить b так что истинное решение $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b является вектором всех.

b = sum(A,2);

Задайте допуск и максимальное количество итераций.

tol = 1e-12;
maxit = 20;

Использовать tfqmr для поиска решения по требуемому допуску и количеству итераций. Укажите пять выходов для возврата информации о процессе решения:

[x,fl0,rr0,it0,rv0] = tfqmr(A,b,tol,maxit);
fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.9846

it0

it0 = 4

fl0 равно 1, потому что tfqmr не сходится с требуемым допуском 1e-12 в пределах запрошенных 20 итераций. Десятый итерат является наилучшим приближенным решением и возвращается, как указано it0 = 10.

Чтобы помочь с медленной сходимостью, можно указать матрицу предварительного условия. С тех пор A несимметричен, используется ilu для создания устройства предварительного кондиционирования $\mathit{M}\mathit{=}\mathit{L}$U. Задание допуска перетаскивания для игнорирования недиагональных записей со значениями меньше 1e-6. Решите предварительно кондиционированную систему $\mathit{A}{\mathit{}}^{\mathrm{}}\mathit{M-1M}\mathit{x}\mathit{=}$ b, указавL и U в качестве входных данных для tfqmr.

setup = struct('type','ilutp','droptol',1e-6);
[L,U] = ilu(A,setup);
[x1,fl1,rr1,it1,rv1] = tfqmr(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 4.3298e-14

it1

it1 = 3

Использование ilu средство предварительного кондиционирования производит относительный остаток, меньший, чем предписанный допуск 1e-12 на третьей итерации. Продукция rv1(1) является norm(b)и выходные данные rv1(end) является norm(b-A*x1).

Вы можете следить за ходом выполнения tfqmr путем построения графика относительных остатков в каждой итерации. Постройте график остаточной истории каждого решения со строкой для заданного допуска. Обратите внимание, что как bicgstab, tfqmr отслеживает полуитерации.

semilogy(0:length(rv0)-1,rv0/norm(b),'-o')
hold on
semilogy(0:length(rv1)-1,rv1/norm(b),'-o')
yline(tol,'r--');
legend('No preconditioner','ILU preconditioner','Tolerance','Location','East')
xlabel('Iteration number')
ylabel('Relative residual')

Проверить влияние подачи tfqmr с первоначальным предположением решения.

Создайте тридиагональную разреженную матрицу. Используйте сумму каждой строки в качестве вектора для правой стороны $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b, чтобы ожидаемое решение $\mathit{для}$ x было вектором единиц.

n = 900;
e = ones(n,1);
A = spdiags([e 2*e e],-1:1,n,n);
b = sum(A,2);

Использовать tfqmr для решения $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b дважды: один раз с начальным предположением по умолчанию и один раз с хорошим начальным предположением решения. Используйте 200 итераций и допуск по умолчанию для обоих решений. Укажите начальное предположение во втором решении как вектор со всеми элементами, равными 0.99.

maxit = 200;
x1 = tfqmr(A,b,[],maxit);

tfqmr converged at iteration 19 to a solution with relative residual 9.6e-07.

x0 = 0.99*e;
x2 = tfqmr(A,b,[],maxit,[],[],x0);

tfqmr converged at iteration 4 to a solution with relative residual 7.9e-07.

В этом случае предоставление начального предположения позволяет tfqmr для более быстрого сближения.

x0 = zeros(size(A,2),1);
tol = 1e-8;
maxit = 100;
for k = 1:4
    [x,flag,relres] = tfqmr(A,b,tol,maxit,[],[],x0);
    X(:,k) = x;
    R(k) = relres;
    x0 = x;
end

Решение линейной системы путем предоставления tfqmr с дескриптором функции, который вычисляет A*x вместо матрицы коэффициентов A.

Одна из тестовых матриц Уилкинсона, сгенерированных gallery представляет собой тридиагональную матрицу 21 на 21. Предварительный просмотр матрицы.

A = gallery('wilk',21)

A = 21×21

    10     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     1     9     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     1     8     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     1     7     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     1     6     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     1     5     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     1     4     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     1     3     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0     1     2     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0     0     1     1     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
      ⋮

Матрица Уилкинсона имеет специальную структуру, поэтому можно представить операцию A*x с дескриптором функции. Когда A умножает вектор, большинство элементов в полученном векторе равны нулю. Ненулевые элементы в результате соответствуют ненулевым тридиагональным элементам A. При этом только основная диагональ имеет ненулевые значения, не равные 1.

Выражение $\mathrm{Ax}$ становится следующим:

$\mathrm{}\begin{array}{cccccccccc}\mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& & & & & & \mathrm{}& \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& & & & & & \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& & & & & \\ & \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& & & & \\ & & \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& & & \\ & & & \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& & \\ & & & & \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& \\ & & & & & \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{}& & \mathrm{}\\ \mathrm{}& & & & & & \mathrm{}& & & \mathrm{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}& & & & & & \mathrm{}& \mathrm{}& \mathrm{Ax=[1010\cdots \cdots \cdots 001910001810⋮⋮0171001610⋮⋮0151001410⋮⋮013\ddots 000\ddots \ddots 100\cdots \cdots \cdots 0110}\end{array}]\begin{array}{c}{\mathit{[}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ \\ \\ \\ \\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ \\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\end{array}x1x2x3x4x5⋮⋮x21]=[10x1+x2x1+9x2+x3x2+8x3+x4⋮x19+9x20+x21x20+10x21$].

Результирующий вектор может быть записан как сумма трех векторов:

$\mathrm{}\begin{array}{c}\mathrm{}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ \\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}\end{array}$Ax=[0+10x1+x2x1+9x2+x3x2+8x3+x4⋮x19+9x20+x21x20+10x21+0]=[0x1⋮x20]+[10x19x2⋮10x21]+[x2⋮x210$\begin{array}{c}\mathrm{}\\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ \\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ \mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ \\ \mathrm{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\end{array}\begin{array}{c}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ \\ {\mathit{}}_{\mathrm{}}\\ \mathrm{}\end{array}$].

В MATLAB ® запишите функцию, которая создает эти векторы и добавляет их вместе, давая таким образом значение A*x:

function y = afun(x)
y = [0; x(1:20)] + ...
    [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x + ...
    [x(2:21); 0];
end

(Эта функция сохраняется как локальная функция в конце примера.)

Теперь решите линейную систему $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b, предоставивtfqmr с дескриптором функции, который вычисляет A*x. Использовать допуск 1e-12 и 50 итераций.

b = ones(21,1);
tol = 1e-12;  
maxit = 50;
x1 = tfqmr(@afun,b,tol,maxit)

tfqmr converged at iteration 10 to a solution with relative residual 6.7e-15.

x1 = 21×1

    0.0910
    0.0899
    0.0999
    0.1109
    0.1241
    0.1443
    0.1544
    0.2383
    0.1309
    0.5000
      ⋮

Проверьте, что afun(x1) производит вектор из единиц.

afun(x1)

ans = 21×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
      ⋮

function y = afun(x)
y = [0; x(1:20)] + ...
    [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x + ...
    [x(2:21); 0];
end