Проблема

Вот фото сидящих в машине людей, имеющих интересный номерной знак.

load optdeblur
[m,n] = size(P);
mn = m*n;
figure
imshow(P);
colormap(gray);
axis off image;
title([int2str(m) ' x ' int2str(n) ' (' int2str(mn) ') pixels'])

Проблема в том, чтобы сделать размытую версию этой фотографии и попытаться удалить ее. Начальное изображение является черно-белым, что означает, что оно состоит из значений пикселей от 0 до 1 в матрице P.

Добавить движение

Моделирование эффекта размытия вертикального движения путем усреднения каждого пикселя с 5 пикселями выше и ниже. Построение разреженной матрицы D для размытия с помощью одной матрицы умножить.

blur = 5;
mindex = 1:mn;
nindex = 1:mn;
for i = 1:blur
  mindex=[mindex i+1:mn 1:mn-i];
  nindex=[nindex 1:mn-i i+1:mn];
end
D = sparse(mindex,nindex,1/(2*blur+1));

Нарисуйте рисунок Д.

cla
axis off ij
xs = 31;
ys = 15;
xlim([0,xs+1]);
ylim([0,ys+1]);
[ix,iy] = meshgrid(1:(xs-1),1:(ys-1));
l = abs(ix-iy) <= blur;
text(ix(l),iy(l),'x')
text(ix(~l),iy(~l),'0')
text(xs*ones(ys,1),1:ys,'...');
text(1:xs,ys*ones(xs,1),'...');
title('Blurring Operator D (x = 1/11)')

Умножьте изображение P на матрицу D для создания размытого изображения G.

G = D*(P(:));
figure
imshow(reshape(G,m,n));

Изображение гораздо менее отчётливо; вы больше не можете читать номерной знак.

Размытое изображение

Для устранения размытия предположим, что вы знаете оператора размытия D. Насколько хорошо можно удалить размытие и восстановить исходное изображение P?

Простейший подход заключается в решении задачи наименьших квадратов для x:

$$\mathrm{мин}(\Vert {}^{\mathrm{}}$$Dx-G‖2) при условии $$\mathrm{}\mathrm{}$$0≤x≤1.

Эта задача принимает размытую матрицу D, как указано, и пытается найти x, который делает Dx наиболее близким к G = DP. Чтобы решение представляло значимые значения пикселей, ограничьте решение от 0 до 1.

x = optimvar('x',mn,'LowerBound',0,'UpperBound',1);
expr = D*x-G;
objec = expr'*expr;
blurprob = optimproblem('Objective',objec);
sol = solve(blurprob);

Solving problem using quadprog.

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

xpic = reshape(sol.x,m,n);
figure
imshow(xpic)
title('Deblurred Image')

Размытое изображение намного четче размытого изображения. Вы можете еще раз прочитать номерной знак. Однако размытое изображение имеет некоторые артефакты, такие как горизонтальные полосы в нижней правой области дорожного покрытия. Возможно, эти артефакты могут быть удалены регуляризацией.

Регуляризация

Регуляризация - это способ сгладить решение. Существует множество методов регуляризации. Для простого подхода добавьте термин к целевой функции следующим образом:

$$\mathrm{мин}(\Vert (D+\mathrm{\alpha I}{)}^{\mathrm{}}$$x-G‖2) $$\mathrm{при\; условии}\mathrm{}$$0≤x≤1.

$$\mathrm{Этот\; термин}$$ делает результирующую квадратичную проблему более стабильной. Возьмите в качестве значения $$\mathrm{start=}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}$$0.02 и решите проблему еще раз.

addI = speye(mn);
expr2 = (D + 0.02*addI)*x - G;
objec2 = expr2'*expr2;
blurprob2 = optimproblem('Objective',objec2);
sol2 = solve(blurprob2);

Solving problem using quadprog.

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

xpic2 = reshape(sol2.x,m,n);
figure
imshow(xpic2)
title('Deblurred Regularized Image')

Судя по всему, эта простая регуляризация не удаляет артефакты.