Целевая функция и нелинейное ограничение

Проблема в том, чтобы решить

с учетом ограничений

Потому что fmincon решатель ожидает, что ограничения будут записаны в форме $$c(x ) \le \mathrm{}$$0, запишите функцию ограничения, чтобы вернуть следующее значение:

$\mathit{c}\mathit{(}x)\begin{array}{c}{\mathit{=}}_{\mathrm{}}{\mathit{[}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}x1x2-x1-x2\mathrm{}\\ +1{\mathit{.}}_{\mathrm{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\end{array}$5-10-x1x2].

Целевая функция с градиентом

Целевая функция:

$$f(x){}^{{=}_{\mathrm{}}}\mathrm{}{\mathrm{ex1}}_{\mathrm{}}^{\mathrm{(}}\mathrm{}{}_{\mathrm{4x12}}^{\mathrm{}}+\mathrm{}{}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{2x22}}\mathrm{+}{}_{\mathrm{}}\mathrm{}$$4x1x2 + 2x2 + 1).

Вычислите градиент $$f(x$$) относительно переменных $${}_{\mathrm{}}$$x1 и $${}_{\mathrm{}}$$x2.

$\mathit{\nabla f}\mathit{(}x)\begin{array}{c}\mathit{=}\mathit{[}f\mathrm{(x)}{\mathit{+}}_{\mathrm{}}\exp {\mathit{}}_{\mathrm{(}}\mathrm{x1}{\mathit{)}}_{\mathrm{}}(\\ \mathrm{8x1}{\mathit{+}}_{\mathrm{}}\mathrm{4x2}{\mathit{)}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{exp}}_{\mathrm{}}(\mathrm{}x1\end{array})$(4x1 + 4x2 + 2)].

objfungrad вспомогательная функция в конце этого примера возвращает как целевую функцию $$f(x$$), так и ее градиент на втором выходеgradf. Набор @objfungrad в качестве цели.

fun = @objfungrad;

Функция ограничения с градиентом

Вспомогательная функция confungrad - нелинейная функция ограничения; в конце этого примера.

Производная информация для ограничения неравенства имеет каждый столбец, соответствующий одному ограничению. Другими словами, градиент ограничений имеет следующий формат:

Набор @confungrad в качестве функции нелинейных ограничений.

nonlcon = @confungrad;

Настройка параметров для использования информации о производной

Указать для fmincon решатель, чтобы функции цели и ограничения предоставляли производную информацию. Для этого используйте optimoptions для установки SpecifyObjectiveGradient и SpecifyConstraintGradient значения опций для true.

options = optimoptions('fmincon',...
    'SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true);

Решить проблему

Установите начальную точку на [-1,1].

x0 = [-1,1];

Задача не имеет границ или линейных ограничений, поэтому задайте для этих аргументов значение [].

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];

Звонить fmincon для решения проблемы.

[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

   -9.5473    1.0474

fval = 0.0236

Решение является тем же, что и в примере Нелинейные ограничения неравенства, который решает задачу без использования производной информации. Преимущество использования производных состоит в том, что решение проблемы требует меньшего количества оценок функций при получении надежности, хотя это преимущество не очевидно в этом примере. Использование еще более производной информации, как в fmincon Interior-Point Algorithm with Analytic Hessian, дает еще больше преимуществ, например, меньшее количество итераций решателя.

Вспомогательные функции

Этот код создает objfungrad функция помощника.

function [f,gradf] = objfungrad(x)
f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
% Gradient of the objective function:
if nargout  > 1
    gradf = [ f + exp(x(1)) * (8*x(1) + 4*x(2)), 
    exp(x(1))*(4*x(1)+4*x(2)+2)];
end
end

Этот код создает confungrad функция помощника.

function [c,ceq,DC,DCeq] = confungrad(x)
c(1) = 1.5 + x(1) * x(2) - x(1) - x(2); % Inequality constraints
c(2) = -x(1) * x(2)-10; 
% No nonlinear equality constraints
ceq=[];
% Gradient of the constraints:
if nargout > 2
    DC= [x(2)-1, -x(2);
        x(1)-1, -x(1)];
    DCeq = [];
end
end