Модель

Модельное уравнение для этой задачи:

где $${}_{\mathrm{A1}}$$, $${}_{\mathrm{A2}}$$, $${}_{\mathrm{r1}}$$и $${}_{\mathrm{r2}}$$ - неизвестные параметры, $$y$$ - ответ, t $$$$- время. Проблема требует данных для времени tdata и (шумные) измерения отклика ydata. Цель состоит в том, чтобы найти лучшие $$A$$ и $$r$$, то есть те значения, которые минимизируют

Образец данных

Как правило, у вас есть данные для проблемы. В этом случае генерируйте искусственные шумные данные для проблемы. Использовать A = [1,2] и r = [-1,-3] в качестве базовых значений и использовать 200 случайных значений из 0 до 3 в качестве временных данных. Постройте график результирующих точек данных.

rng default % For reproducibility
A = [1,2];
r = [-1,-3];
tdata = 3*rand(200,1);
tdata = sort(tdata); % Increasing times for easier plotting
noisedata = 0.05*randn(size(tdata)); % Artificial noise
ydata = A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata) + noisedata;
plot(tdata,ydata,'r*')
xlabel 't'
ylabel 'Response'

Данные шумные. Поэтому решение, вероятно, не будет соответствовать исходным параметрам. A и r очень хорошо.

Проблемный подход

Поиск наиболее подходящих параметров A и r, сначала определите переменные оптимизации с этими именами.

A = optimvar('A',2);
r = optimvar('r',2);

Создайте выражение для целевой функции, представляющее собой сумму квадратов для минимизации.

fun = A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata);
obj = sum((fun - ydata).^2);

Создание проблемы оптимизации с целевой функцией obj.

lsqproblem = optimproblem("Objective",obj);

Для подхода, основанного на проблемах, укажите начальную точку как структуру, а имена переменных - как поля структуры. Укажите начальный A = [1/2,3/2] и начальный r = [-1/2,-3/2].

x0.A = [1/2,3/2];
x0.r = [-1/2,-3/2];

Просмотрите формулировку проблемы.

show(lsqproblem)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       A, r

	minimize :
       sum(arg6)

       where:

         arg5 = extraParams{3};
         arg6 = (((A(1) .* exp((r(1) .* extraParams{1}))) + (A(2) .* exp((r(2) .* extraParams{2})))) - arg5).^2;

       extraParams

Решение на основе проблем

Решите проблему.

[sol,fval] = solve(lsqproblem,x0)

Solving problem using lsqnonlin.

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

sol = struct with fields:
    A: [2×1 double]
    r: [2×1 double]

fval = 0.4724

Постройте график полученного решения и исходных данных.

figure
responsedata = evaluate(fun,sol);
plot(tdata,ydata,'r*',tdata,responsedata,'b-')
legend('Original Data','Fitted Curve')
xlabel 't'
ylabel 'Response'
title("Fitted Response")

График показывает, что подогнанные данные достаточно хорошо соответствуют исходным шумным данным.

Узнайте, насколько точно подогнанные параметры соответствуют исходным параметрам A = [1,2] и r = [-1,-3].

disp(sol.A)

    1.1615
    1.8629

disp(sol.r)

   -1.0882
   -3.2256

Установленные параметры отключены примерно на 15% в A и 8% в r.

Неподдерживаемые функции требуют fcn2optimexpr

Если целевая функция не состоит из элементарных функций, необходимо преобразовать функцию в выражение оптимизации с помощью fcn2optimexpr. См. раздел Преобразование нелинейной функции в выражение оптимизации. Для настоящего примера:

fun = @(A,r) A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata);
response = fcn2optimexpr(fun,A,r);
obj = sum((response - ydata).^2);

Остальные шаги в решении проблемы одинаковы. Единственное другое отличие - в подпрограмме построения графика, куда вы звоните response вместо fun:

responsedata = evaluate(response,sol);

Список поддерживаемых функций см. в разделе Поддерживаемые операции с переменными и выражениями оптимизации.