Уравнения линейной упругости

Резюме уравнений линейной упругости

Матрица жесткости линейного эластичного изотропного материала содержит два параметра:

E, модуль Юнга (модуль упругости)
, коэффициент Пуассона

Определите следующие количества.

$\begin{array}{l} start= \\ stressf = \\ сила тела \end{array}$

Уравнение равновесия

$−∇·σ=f$

Линеаризованная зависимость деформация-смещение малого смещения

$start= \frac{}{} 12 (^{}$ ∇u+∇uT)

Баланс углового момента указывает, что напряжение симметрично:

$_{startij} =_{}$ startji

Обозначение Войгта для конститутивного уравнения линейной изотропной модели

$\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} \frac{}{} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} [σ11σ22σ33σ23σ13σ12]=E(1+ν)(1-2ν)[1-ννν000ν1-νν000νν1-ν0000001-2ν0000001-2ν0000001-2ν][ε11ε22ε33ε23ε13ε12]$

В развернутом виде используются все записи, которые представлены в, и при этом учитывается симметрия.

\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} \frac{}{} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} [σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33]=E(1+ν)(1-2ν)[1-ν000ν000ν•1-2ν0000000••1-2ν000000•••1-2ν00000••••1-ν000ν•••••1-2ν000••••••1-2ν00•••••••1-2ν0••••••••1-ν][ε11ε12ε13ε21ε22ε23ε31ε32ε33]

(1)

На предыдущей диаграмме • означает, что запись симметрична.

3D Проблема линейной упругости

Форма панели инструментов для уравнения

$-\nabla \cdot (c ⊗∇ u)$ =f

Но уравнения в резюме не имеют одного ∇u, оно появляется вместе с его транспонированием:

$start= \frac{}{} 12 (^{}$ ∇u+∇uT)

Это - прямое упражнение, чтобы преобразовать это уравнение для напряжения ε к ∇u. В векторной форме столбца

$\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} ∇u=[∂ux/∂x∂ux/∂y∂ux/∂z∂uy/∂x∂uy/∂y∂uy/∂z∂uz/∂x∂uz/∂y∂uz/∂z \end{matrix}]$

Поэтому можно записать уравнение смещения деформации как

$ε = \begin{matrix} \frac{}{} & \frac{}{} \\ \frac{}{} & \frac{}{} \\ \frac{}{} & \frac{}{} \\ \frac{}{} & \frac{}{} \\ \frac{}{} & \frac{}{} \\ \frac{}{} & \frac{}{} \end{matrix} [100000000012012000000012000120001201200000000010000000001201200012000120000000120120000000001] ∇u≡A∇u$

где A обозначает отображаемую матрицу. Поэтому переписывая уравнение 1 и напоминая, что • означает, что запись симметрична, можно записать тензор жесткости как

$\begin{matrix} \frac{}{} \begin{matrix} \end{matrix} \\ \frac{}{} \begin{matrix} \end{matrix} σ=E(1+ν)(1−2ν)[1−ν000ν000ν•1−2ν0000000••1−2ν000000•••1−2ν00000••••1−ν000ν•••••1−2ν000••••••1−2ν00•••••••1−2ν0••••••••1−ν]A∇u=E(1+ν)(1−2ν)[1−ν000ν000ν01/2−ν01/2−ν00000001/2−ν0001/2−ν0001/2−ν01/2−ν00000ν0001−ν000ν000001/2−ν01/2−ν0001/2−ν0001/2−ν00000001/2−ν01/2−ν0ν000ν0001−ν]∇u \end{matrix}$

Сделать определения

$\begin{array}{l} \frac{}{} \\ \frac{}{} \\ \frac{}{} μ=E2(1+ν)λ=Eν(1+ν)(1−2ν)E(1−ν)(1+ν)(1−2ν)=2μ+λ \end{array}$

и уравнение становится

$\begin{matrix} \end{matrix} σ=[2μ+λ000λ000λ0μ0μ0000000μ000μ000μ0μ00000λ0002μ+λ000λ00000μ0μ000μ000μ0000000μ0μ0λ000λ0002μ+λ]∇u≡c∇u$

При решении задачи 3-D линейной упругости с помощью PDEModel вместо StructuralModel, используйте elasticityC3D(E,nu) (входит в состав вашего программного обеспечения) для получения c коэффициент. Эта функция использует предположение о линеаризованном малом смещении для изотропного материала. Примеры использования этой функции см. в разделе StationaryResults.

Плоское напряжение

Плоское напряжение - это условие, которое преобладает в плоской пластине в плоскости x-y, нагруженной только в собственной плоскости и без ограничения z-направления. Для напряжения самолета, σ13 = σ23 = σ31 = σ32 = σ33 = 0. Предполагая изотропные условия, закон Гука для плоского напряжения даёт следующее отношение напряжение-напряжение:

$\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} \frac{}{} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} [ε11ε222ε12]=1E[1-ν0-ν10002+2ν][σ11σ22σ12]$

Инвертируя это уравнение, получаем отношение напряжение-деформация:

$\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} \frac{}{^{}} \begin{matrix} \frac{}{} \end{matrix} \begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} (σ11σ22σ12)=E1-ν2(1ν0ν10001-ν2)(ε11ε222ε12)$

Преобразуйте уравнение для напряжения ε к ∇u.

$ε = \begin{matrix} \frac{}{} & \frac{}{} \\ \frac{}{} & \frac{}{} \end{matrix} [10000121200121200001] ∇u≡A∇u$

Теперь можно переписать матрицу жесткости как

$\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} [σ11σ12σ21σ22] = [\begin{matrix} \frac{}{^{}} & \frac{}{^{}} \\ \frac{}{E1−ν200Eν1−ν20E2 (1 +ν} & \frac{)}{E2 (1} \\ +ν & \frac{)}{00E2} & \frac{(}{1 +ν)} & E2 \\ \frac{(}{1 {+ν}^{)}} & \frac{}{^{}} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{0Eν1-ν200E1-ν2] ∇u =}{[2μ} & ( & μ & \frac{+λ)}{2μ} \\ +λ002λμ2μ \\ \frac{}{} & \frac{+λ0μμ00μμ02λμ2μ}{} \end{matrix} +λ002μ ($ μ +λ) 2μ +λ] ∇ u

Плоская деформация

Плоская деформация - это деформационное состояние, в котором смещения в направлении z отсутствуют, а смещения в направлениях x и y являются функциями x и y, но не z. Отношение напряжение-деформация лишь незначительно отличается от случая плоского напряжения, и используется тот же набор параметров материала.

Для плоских деформаций α13 = α23 = α31 = α32 = α33 = 0. Предполагая изотропные условия, отношение напряжение-деформация можно записать следующим образом:

$\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} \frac{}{} \begin{matrix} \frac{}{} \end{matrix} \begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} (σ11σ22σ12)=E(1+ν)(1-2ν)(1-νν0ν1-ν0001-2ν2)(ε11ε222ε12)$

Преобразуйте уравнение для напряжения ε к ∇u.

$ε = \begin{matrix} \frac{}{} & \frac{}{} \\ \frac{}{} & \frac{}{} \end{matrix} [10000121200121200001] ∇u≡A∇u$

Теперь можно переписать матрицу жесткости как

$\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} [σ11σ12σ21σ22] = [\begin{matrix} \frac{E}{(1-ν) (1 +ν)} & \frac{(1−2ν)}{00Eν (1 +ν)} \\ \frac{}{(1-2ν)} & \frac{}{0E2 (1 +ν} & ) \\ \frac{}{E2 (1 +ν} & \frac{)}{00E2} & ( \\ \frac{1}{+ν) E2 (1 +ν)} & \frac{0Eν (1}{+ν) (1−2ν)} \end{matrix} 00E \begin{matrix} (1-ν) & ( & 1 \\ +ν & ) \\ (1−2ν) & ] & ∇u = [ \end{matrix} 2μ$ +λ00λ0μμ00μμ0λ002μ +λ] ∇ u

Документация