Exponenta Banner
exponenta event banner

Основы метода конечных элементов

Основной алгоритм Toolbox™ дифференциальных уравнений в частных производных использует метод конечных элементов (КЭМ) для задач, определенных в ограниченных доменах в 2-D или 3-D пространстве. В большинстве случаев элементарные функции не могут выразить решения даже простых PDE на сложных геометриях. Метод конечных элементов описывает сложную геометрию как совокупность поддоменов путем создания сетки на геометрии. Например, можно аппроксимировать вычислительную область, используя объединение треугольников (геометрия 2-D) или тетраэдров (геометрия 3-D). Поддомены образуют сетку, и каждая вершина называется узлом. Следующим шагом является аппроксимация исходной задачи PDE для каждого поддомена с помощью более простых уравнений.

Например, рассмотрим основное эллиптическое уравнение.

−∇⋅ (c∇u) +  au = f в домене Λ

Предположим, что это уравнение подчинено граничному условию Дирихле u = r на ∂ΩD и граничному условию Неймана на ∂ΩN. Здесь ∂Ω=∂ΩD∪∂ΩN - это граница Λ.

Первый шаг в КЭМ состоит в преобразовании исходной дифференциальной (сильной) формы PDE в интегральную (слабую) форму путем умножения на тестовую функцию v и интегрирования по области Λ.

∫ Ω (−∇ · (c∇u) +au−f) v dΩ = 0 ∀v

Тестовые функции выбираются из набора функций (функционального пространства), которые исчезают на участке границы Дирихле, v = 0 на ∂ΩD. Вышеприведенное уравнение можно рассматривать как взвешенное усреднение остатка с использованием всех возможных весовых функций v. Совокупность функций, которые являются допустимыми решениями, u, слабой формы PDE выбирают так, чтобы они удовлетворяли Дирихле BC, u = r на ∂ΩD.

Интегрирование по частям (формула Грина) члена второго порядка приводит к:

∫ Ω (c∇u ∇v+auv) dΩ− ∫∂ΩNn → · (c∇u) v d ∂ΩN + ∫∂ΩDn → · (c∇u) v d ∂ΩD = ∫Ωfv dΩ ∀v

Используйте граничное условие Неймана для замены второго члена в левой части уравнения. Кроме того, обратите внимание, что v = 0 на ∂ΩD обнуляет третий член. Результирующее уравнение:

∫ Ω (c∇u ∇v+auv) dΩ + ∫∂ΩNquv d ∂ΩN = ∫∂ΩNgv d ∂ΩN + ∫Ωfv dΩ ∀v

Заметим, что все манипуляции вплоть до этой стадии выполняются на континууме, глобальной области задачи. Поэтому совокупность допустимых функций и пробных функций охватывает бесконечномерные функциональные пространства. Следующим шагом является дискретизация слабой формы путём деления Λ на меньшие поддомены или элементы (, где Ω=∪Ωe). Этот этап эквивалентен проекции слабой формы PDE на конечномерное подпространство. Используя обозначения uh и vh, чтобы представить конечномерный эквивалент допустимых и пробных функций, определенных в, можно записать дискретизированную слабую форму PDE как:

∫Ωe (c∇uh∇vh+auhvh) dΩe+∫∂ΩNequhv hd∂ΩNe=∫∂ΩNegv hd∂ΩNe+∫ΩefvhdΩe ∀vh

Далее, пусть/i, с i = 1, 2,..., Np, будут кусочно полиномиальными базисными функциями для подпространства, содержащего коллекции uh и vh, тогда любой конкретный uh может быть выражен как линейная комбинация базисных функций:

uh=∑1NpUiϕi

Здесь Ui еще не определены скалярные коэффициенты. Подстановка uh в дискретизированную слабую форму PDE и использование каждой vh = øi в качестве тестовых функций и выполнение интегрирования по элементу дает систему уравнений Np в терминах Np неизвестных Ui.

Следует отметить, что метод конечных элементов аппроксимирует решение путем минимизации связанной функции ошибки. Процесс минимизации автоматически находит линейную комбинацию базисных функций, которая наиболее близка к решению u.

КЭМ вырабатывает систему KU = F, в которой матрица K и правая сторона F содержат интегралы в терминах тестовых функций Вектор решения U содержит коэффициенты расширения um, которые также являются значениями um в каждом узле xk (k = 1,2 для задачи 2-D или k = 1,2,3 для задачи 3-D), поскольку uh (xk ) = Ui.

Методы КЭМ также используются для решения более общих задач, таких как:

  • Зависящие от времени проблемы. Решение u (x, t) уравнения

    d∂u∂t−∇⋅ (c∇u) + au = f

    может быть аппроксимирован

    мм (x, t) = ∑i=1NUi (t) ϕi (x)

    В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

    MdUdt + KU = F

    Две производные времени приводят к ОДУ второго порядка

    Md2Udt2 + KU = F

  • Проблемы с собственным значением. Решить

    −∇⋅ (c∇u) + au = λ du

    для неизвестных u и λ, где λ - комплексное число. Используя дискретизацию КЭМ, вы решаете алгебраическую задачу собственного значения KU = λ MU, чтобы найти э как приближение к u. Для решения проблем собственных значений используйте solvepdeeig.

  • Нелинейные проблемы. Если коэффициенты c, a, f, q или g являются функциями u или ∇u, PDE называется нелинейным, и FEM дает нелинейную систему K (U) U = F (U).

Подводя итог, можно сказать, что подход КЭМ:

  1. Представляет исходную область задачи как коллекцию элементов.

  2. Для каждого элемента заменяет исходную задачу PDE набором простых уравнений, которые локально аппроксимируют исходные уравнения. Применение граничных условий для границ каждого элемента. Для стационарных линейных задач, где коэффициенты не зависят от решения или его градиента, результатом является линейная система уравнений. Для стационарных задач, где коэффициенты зависят от решения или его градиента, результатом является система нелинейных уравнений. Для зависящих от времени проблем результатом является набор ОДУ.

  3. Компонует результирующие уравнения и граничные условия в глобальную систему уравнений, моделирующую всю задачу.

  4. Решает результирующую систему алгебраических уравнений или ОДУ с помощью линейных решателей или числового интегрирования соответственно. Панель инструментов вызывает соответствующие решатели MATLAB ® для этой задачи.

Ссылки

[1] Кук, Роберт Д., Дэвид С. Малкус и Майкл Э. Плеша. Концепции и приложения анализа конечных элементов. 3-е издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1989.

[2] Гилберт Стрэнг и Джордж Фикс. Анализ метода конечных элементов. 2-е издание. Уэлсли, Массачусетс: Уэлсли-Кембридж Пресс, 2008.

См. также

| |

Документация по набору инструментов для дифференциальных уравнений в частных производных

Поддержка