Для систем MIMO передаточными функциями являются матрицы, а соответствующие меры усиления определяются сингулярными значениями, H∞ и нормами H2 , которые определяются следующим образом:
H2 и нормы H∞
H2-norm - энергия импульсной реакции растения G. H∞-norm является пиковым коэффициентом усиления G по всем частотам и всем направлениям ввода.
Другой важной концепцией является понятие единичных значений.
Сингулярные значения:
Сингулярные значения ранга r матрицы , обозначаемые в качестве starti, являются неотрицательными квадратными корнями собственных значений A, упорядоченных таким образом, что start1 ≥ start2 ≥.. . ≥σp > 0, p ≤ min {m, n }.
Если r <p тогда есть p - r нулевые сингулярные числа, т.е. σr+1 = σr+2 = ... = σp = 0.
Наибольшая сингулярная величина start1 иногда обозначается
≜σ1.
Когда A является квадратной матрицей n-на-n, то n-е сингулярное значение (то есть наименьшее сингулярное значение) обозначается
≜σn.
Некоторые полезные свойства сингулярных значений:
=minx∈Ch‖Ax ‖ ‖ x ‖
Эти свойства особенно важны, поскольку они устанавливают, что наибольшие и наименьшие сингулярные значения матрицы А являются максимальными и минимальными «коэффициентами усиления» матрицы, поскольку входной вектор x изменяется во всех возможных направлениях.
Для систем G (s) со стабильным непрерывным временем LTI H2-norm и H∞-norms определены как члены частотно-зависимых сингулярных значений G (jλ):
H2-norm:
)) 2 дом
H∞-norm:
jλ))
где sup обозначает наименьшую верхнюю границу.