Поиск решения x для системы LMI
| A (x ) < 0 | (1) |
называется проблемой выполнимости. Минимизация выпуклой цели при ограничениях LMI также является проблемой выпуклости. В частности, задача минимизации линейных целей:
Минимизировать cTx, подлежащий
| A (x ) < 0 | (2) |
играет важную роль в проектировании на основе LMI. Наконец, обобщенная проблема минимизации собственных значений
Минимизировать λ при условии
| 0C (x)> 0 | (3) |
является квазивыпуклой и может быть решена аналогичными методами. Своим названием она обязана тому, что связана с наибольшим обобщённым собственным значением карандаша (A (x), B (x)).
Многие проблемы контроля и проектные спецификации имеют составы LMI [9]. Это особенно верно для анализа и проектирования на основе Ляпунова, а также для оптимального контроля LQG, контроля H∞, ковариационного контроля и т.д. Дальнейшие применения LMI возникают в оценке, идентификации, оптимальном проектировании, конструктивном проектировании [6], [7], задачах масштабирования матриц и так далее. Основной прочностью композиций LMI является способность комбинировать различные конструктивные ограничения или цели количественно отслеживаемым образом.
Неисчерпывающий список проблем, решаемых методами LMI, включает в себя следующее:
Надежная устойчивость систем с неопределённостью LTI (ПО) ([24], [21], [27])
Надежная стабильность в условиях нелинейности, ограниченной секторами (критерий Попова) ([22], [28], [13], [16])
Квадратичная стабильность дифференциальных включений ([15], [8])
Ляпуновская устойчивость зависимых от параметров систем ([12])
Свойства ввода/состояния/вывода систем LTI (инвариантные эллипсоиды, скорость затухания и т.д.) ([9])
Проект многомодельного/многозвукового состояния с обратной связью ([4], [17], [3], [9], [10])
Надежное размещение полюсов
Оптимальное управление LQG ([9])
Проектирование надежных контроллеров с планированием усиления ([5], [2])
Управление стохастическими системами ([9])
Проблемы взвешенной интерполяции ([9])
Чтобы намекнуть на принципы, лежащие в основе проектирования LMI, давайте рассмотрим формулировки LMI нескольких типичных целей проектирования.
Стабильность динамической системы
эквивалентно осуществимости следующей проблемы:
Найти P = PT так, что AT P + P A < 0, P > I.
Это может быть обобщено на линейные дифференциальные включения (LDI)
x
где A (t) изменяется в выпуклой огибающей набора моделей LTI:
An}={∑i=1naiAi:ai≥0,∑i=1Nai=1}.
Достаточным условием асимптотической стабильности этого LDI является осуществимость
Найдите P = PT так, чтобы P > I.
Коэффициент усиления случайных средних квадратов (RMS) стабильной системы LTI
является наибольшим коэффициентом усиления входа/выхода по всем ограниченным входам u (t). Это усиление является глобальным минимумом следующей задачи минимизации линейных целей [1], [25], [26].
Минимизируйте γ над X = XT и γ таким образом, чтобы
γ I) < 0
и
0.
Для стабильной системы LTI
где w - возмущение белого шума с единичной ковариацией, H2 характеристик LQG или ∥G∥2 определяется
(jω) dω.
Можно показать, что
BBT < 0}.
Следовательно G‖22 является глобальным минимумом проблемы LMI. Минимизируйте трассировку (Q) по симметричным матрицам P, Q так, чтобы
BBT < 0
и
0.
Опять же, это линейная задача минимизации цели, поскольку целевая трасса (Q) является линейной в переменных принятия решения (свободные записи P, Q).