LMI Lab - это высокопроизводительный пакет для решения общих задач LMI. Он сочетает простые инструменты для спецификации и управления LMI с мощными решателями LMI для трех общих проблем LMI. Благодаря структурно-ориентированному представлению LMI различные ограничения LMI могут быть описаны в их естественной блочно-матричной форме. Аналогично, переменные оптимизации задаются непосредственно как переменные матрицы с некоторой заданной структурой. После указания проблемы LMI ее можно решить численно путем вызова соответствующего решателя LMI. Три решателя feasp, mincx, и gevp составляют вычислительный механизм части LMI программного обеспечения Toolbox™ надежного управления. Их высокая производительность достигается за счет реализации C-MEX и использования преимуществ конкретной структуры каждого LMI.
Лаборатория LMI предлагает инструменты для
Укажите системы LMI символически с помощью редактора LMI или инкрементально с помощью lmivar и lmiterm команды
Получение информации о существующих системах LMI
Изменение существующих систем LMI
Решение трех общих задач LMI (задача выполнимости, линейная минимизация целей и обобщенная минимизация собственных значений)
Проверка результатов
В этой главе содержится введение в LMI Lab, а также более подробные советы по использованию потенциала LMI LAB.
Любое линейное матричное неравенство может быть выражено в канонической форме
L (x) = L0 + x1L1 +... + xNLN < 0
где
L0, L1,., LN даны симметричные матрицы
x = (x1,., xN) T ∊ RN - вектор определяемых скалярных переменных. Мы ссылаемся на x1,., xN как переменные решения. Названия «конструктивные переменные» и «переменные оптимизации» также встречаются в литературе.
Хотя это каноническое выражение является родовым, LMI редко возникают в этой форме в управляющих приложениях. Рассмотрим, например, неравенство Ляпунова
| < 0 | (1) |
где
− 2)
и переменная
x1x2x2x3)
- симметричная матрица. Здесь переменными решения являются свободные записи x1, x2, x3 из X и каноническая форма этого LMI считывает
| (2) |
Очевидно, что это выражение является менее интуитивно понятным и прозрачным, чем уравнение 1. Кроме того, число матриц, участвующих в уравнении 2, растет приблизительно как n2/2, если n - размер матрицы А. Следовательно, каноническая форма очень неэффективна с точки зрения хранения, поскольку требует хранения o(n2/2) матрицы размера n, когда достаточно одной матрицы A n-на-n. Наконец, работа с канонической формой также наносит ущерб эффективности решателей LMI. По этим различным причинам лаборатория LMI использует структурированное представление LMI. Например, выражение ATX + XA в уравнении 1 неравенства Ляпунова явно описывается как функция матричной переменной X, и сохраняется только матрица A.
В общем случае LMI принимают блочную матричную форму, где каждый блок является аффинной комбинацией матричных переменных. В качестве достаточно типичной иллюстрации рассмотрим следующий LMI, основанный на теории H∞
| γ I) N < 0 | (3) |
где A, B, C, D и N даны матрицы, а переменные задачи X = XT ∊ Rn × n и γ ∊ R. Для описания таких LMI мы используем следующую терминологию:
N называется внешним коэффициентом, а блочная матрица
γ IDBTDT − γ I)
называется внутренним фактором. Внешний фактор не должен быть квадратным и часто отсутствует.
X и γ - матричные переменные задачи. Обратите внимание, что скаляры рассматриваются как матрицы 1 к 1.
Внутренний множитель L (X, γ) является симметричной блочной матрицей, её блочная структура характеризуется размерами её диагональных блоков. По симметрии L (X, γ) полностью определяется блоками на диагонали или выше.
Каждый блок L (X, γ) является аффинным выражением в матричных переменных X и γ. Это выражение можно разбить на сумму элементарных членов. Например, блок (1,1) содержит два элементарных члена: ATX и XA.
Термины являются постоянными или переменными. Постоянные члены являются фиксированными матрицами, такими как В и D выше. Переменные члены включают одну из матричных переменных, таких как XA, XCT и -γ I выше.
LMI (уравнение 3) определяется списком членов в каждом блоке, как и любой LMI независимо от его сложности.
Что касается матричных переменных X и γ, то они характеризуются своими размерами и структурой. Общие структуры включают прямоугольные неструктурированные, симметричные, кососимметричные и скалярные. При решении проблем с контролем иногда встречаются более сложные структуры. Например, переменная X матрицы может быть ограничена блок-диагональной структурой:
).
Другая возможность - симметричная структура Тёплица:
).
Суммирование структурированных проблем LMI определяется объявлением матричных переменных и описанием содержания терминов каждого LMI. Это терминоориентированное описание является систематическим и точно отражает конкретную структуру ограничений LMI. Не существует встроенного ограничения на количество LMI, которое можно указать, или на количество блоков и терминов в любом заданном LMI. Следовательно, системы LMI произвольной сложности могут быть определены в LMI Lab.
LMI Lab предлагает инструменты для определения, обработки и численного решения LMI. Его основная цель -
Возможность простого описания LMI в их естественной блочно-матричной форме
Простой доступ к решателям LMI (коды оптимизации)
Упрощение проверки результатов и изменения проблем
Структурно-ориентированное описание данной системы LMI хранится как единый вектор, называемый внутренним представлением и в целом обозначаемый как LMISYS в сиквеле. Этот вектор кодирует структуру и размеры LMI и матричных переменных, описание всех терминов LMI и соответствующие числовые данные. Необходимо подчеркнуть, что вам не нужно пытаться прочитать или понять содержание LMISYS поскольку все манипуляции, связанные с этим внутренним представлением, могут выполняться прозрачным образом с помощью инструментов LMI-Lab.
LMI Lab поддерживает следующие функциональные возможности:
Системы LMI могут быть указаны как символьные матричные выражения с интерактивным графическим интерфейсом пользователя lmiedit, или собирается инкрементно с помощью двух команд lmivar и lmiterm. Первый вариант является более интуитивно понятным и прозрачным, а второй - более мощным и гибким.
Интерактивная функция lmiinfo отвечает на качественные запросы о системах LMI, созданных с помощью lmiedit или lmivar и lmiterm. Также можно использовать lmiedit для визуализации системы LMI, созданной конкретной последовательностью lmivar/lmiterm команды.
Решения LMI общего назначения предоставляются для трех общих проблем LMI, определенных в приложениях LMI. Эти решатели могут обрабатывать очень общие системы LMI и матричные переменные структуры. Они возвращают осуществимый или оптимальный вектор переменных принятия решения x *. Соответствующие значения *,..., XK * матричных переменных задаются функциейdec2mat.
Решение x *, производимое решателями LMI, легко проверяется с помощью функцийevallmi и showlmi. Это позволяет быстро проверять и/или анализировать результаты. С evallmiвсе переменные члены в системе LMI оцениваются для значения x * переменных принятия решения. Левая и правая стороны каждого LMI затем становятся постоянными матрицами, которые могут отображаться с помощьюshowlmi.
Существующую систему LMI можно модифицировать двумя способами:
LMI может быть удален из системы с помощью dellmi.
Матричная переменная X может быть удалена с помощью delmvar. Также может быть создан экземпляр, то есть установлено некоторое заданное значение матрицы. Эта операция выполняется setmvar и позволяет, например, исправить некоторые переменные и решить проблему LMI относительно оставшихся.