Обзор

Для этого примера динамика растений описывается следующими уравнениями [1].

Целью установки является отслеживание требуемых траекторий, определенных как:

Пример изучения и применения неизвестной функции ограничения для одного и того же приложения управления PID см. в разделе Изучение и применение ограничений для контроллеров PID.

Сконфигурируйте параметры модели и исходные условия.

r = 1.5;            % radius for desired trajectory
Ts = 0.1;           % sample time
Tf = 22;            % duration
x0_1 = -r;          % initial condition for x1
x0_2 = 0;           % initial condition for x2

Проектирование контроллеров МТС

Перед наложением ограничений спроектируйте контроллеры PID для отслеживания опорных траекторий. trackingWithPIDs модель содержит два контроллера PID с усилениями, настроенными с помощью приложения PID Tuner. Дополнительные сведения о настройке контроллеров PID в моделях Simulink см. в разделе Введение в настройку PID на основе модели в Simulink.

mdl = 'trackingWithPIDs';
open_system(mdl)

Смоделировать контроллеры PID и построить график производительности отслеживания.

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = logData{3}.Values.Data;
x2_traj = logData{4}.Values.Data;
x1_des = logData{1}.Values.Data;
x2_des = logData{2}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking')
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('desired','traj','start','end')

Функция ограничения

В этом примере известные ограничения применяются к приложению с помощью блока «Применение ограничений», который настраивает управляющие действия в соответствии с функцией ограничения.

В этом примере выполнимая область для установки задается {$\mathit{}{\mathit{}}_{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathit{}}\mathrm{x:x1\le 1,xx\le 1}$}. Поэтому условие следующего состояния установки ${\mathit{}}_{\mathit{xk}\mathrm{+}}1\begin{array}{c}{\mathit{}}_{\mathrm{=}}\mathit{[}\mathrm{x1}\\ {\mathit{(}}_{\mathrm{k}}\mathit{+}1)\end{array}$x2 (k + 1)] ${\mathit{}}_{\mathit{}должно\mathrm{}}\begin{array}{c}\mathrm{}\\ \mathrm{}\end{array}$удовлетворять xk+1≤[11].

Аппроксимировать динамику растений можно по следующему уравнению.

При применении ограничений к этому уравнению создается следующая функция ограничений.

$[\begin{array}{cc}\left(\mathrm{}{\mathit{}}_{\mathit{1-Ts}}\right)& \mathrm{}\\ \mathrm{}& 00\mathrm{}({\mathit{}}_{\mathit{}}\end{array}1-Ts{\mathit{)}}_{\mathit{]}}\begin{array}{cc}{\mathit{xk}}_{\mathit{}}+\mathrm{}[{\mathit{}}_{\mathrm{Ts}}^{\mathrm{}}(\mathit{1}+& \mathrm{}\\ \mathrm{}& {\mathit{}}_{\mathit{x12}}\mathrm{(}k{\mathit{)}}_{\mathrm{)}}^{\mathrm{}}\mathit{}00Ts\end{array}{\mathit{(}}_{\mathit{1}}+\begin{array}{c}\mathrm{}\\ \mathrm{}\end{array}$x22 (k))] uk≤[11].

Блок «Применение ограничений» принимает ограничения ${\mathit{}}_{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}\mathit{}\mathit{fx+gxu\le c\; формы}$. Для этого применения коэффициенты этой функции ограничения следующие.

Моделирование контроллера PID с применением ограничений

trackingWithConstraintPID модель содержит контроллеры PID, динамику завода и реализацию ограничений.

mdl = 'trackingWithKnownConstraintPID';
open_system(mdl)

Чтобы просмотреть реализацию ограничения, откройте подсистему ограничения. Здесь известная функция ограничения реализуется с использованием блока MATLAB Function, и блок ограничения принудительно применяет функцию ограничения.

Запустите модель и постройте график результатов моделирования. На сюжете показано, что состояния растения меньше единицы.

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = zeros(size(out.tout));
x2_traj = zeros(size(out.tout));
for ct = 1:size(out.tout,1)
    x1_traj(ct) = logData{4}.Values.Data(:,:,ct);
    x2_traj(ct) = logData{5}.Values.Data(:,:,ct);
end

x1_des = logData{2}.Values.Data;
x2_des = logData{3}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking with Constraint');
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('desired','traj','start','end','Location','best')

Блок «Применение ограничений» успешно ограничивает действия управления таким образом, что состояния установки остаются меньше единицы.

bdclose('trackingWithPIDs')
bdclose('trackingWithKnownConstraintPID')

Ссылки

[1] Роби, Александр, Хаймин Ху, Ларс Линдеманн, Ханьвэнь Чжан, Димос В. Димарогонас, Стивен Ту и Николай Матни. «Изучение функций контрольных барьеров из демонстраций экспертов». Препринт, представлен 7 апреля 2020 года. https://arxiv.org/abs/2004.03315