Документация

Введение в дробные факторные конструкции

Двухуровневые конструкции достаточны для оценки многих производственных процессов. Уровни коэффициентов ±1 может указывать категориальные факторы, экстремумы нормализованных факторов или просто «вверх» и «вниз» от текущих настроек факторов. Экспериментаторы, оценивающие изменения процесса, заинтересованы в первую очередь в факторных направлениях, которые приводят к улучшению процесса.

Для экспериментов со многими факторами двухуровневые полные факторные конструкции могут привести к большим объемам данных. Например, двухуровневая полная факториальная конструкция с 10 факторами требует ²¹⁰ = 1024 прогонов. Однако часто отдельные факторы или их взаимодействия не оказывают различимого влияния на реакцию. Особенно это касается взаимодействий более высокого порядка. В результате хорошо разработанный эксперимент может использовать меньшее количество прогонов для оценки параметров модели.

Дробные факторные конструкции используют часть прогонов, необходимых для полных факторных конструкций. Подмножество экспериментальных обработок выбирается на основе оценки (или предположения), факторы и взаимодействия которых имеют наиболее значительные эффекты. Как только этот выбор сделан, экспериментальная конструкция должна разделить эти эффекты. В частности, не следует путать значительные эффекты, то есть измерение одного не должно зависеть от измерения другого.

Проекты Plackett-Burman

Конструкции Plackett-Burman используются, когда значимыми считаются только основные эффекты. Двухуровневые конструкции Plackett-Burman требуют ряда экспериментальных прогонов, кратных 4, а не 2. Функция hadamard создает следующие конструкции:

dPB = hadamard(8)
dPB =
     1    1    1    1    1    1    1    1
     1   -1    1   -1    1   -1    1   -1
     1    1   -1   -1    1    1   -1   -1
     1   -1   -1    1    1   -1   -1    1
     1    1    1    1   -1   -1   -1   -1
     1   -1    1   -1   -1    1   -1    1
     1    1   -1   -1   -1   -1    1    1
     1   -1   -1    1   -1    1    1   -1

Уровни двоичных коэффициентов обозначаются ±1. Конструкция рассчитана на восемь прогонов (строки dPB) манипулируя семью двухуровневыми факторами (последние семь столбцов dPB). Количество прогонов составляет долю ^8/27 = 0,0625 прогонов, необходимых для полного факторного проектирования. Экономия достигается за счет смешения основных эффектов с любыми двусторонними взаимодействиями.

Общие дробные проекты

За счет большей дробной конструкции можно указать, какие взаимодействия следует рассматривать как значимые. Схема разрешения R представляет собой схему, в которой взаимодействие n-факторов не смешивается с любым другим эффектом, содержащим меньше R-n факторов. Таким образом, конструкция разрешения III не смешивает основные эффекты друг с другом, но может смешивать их с двусторонними взаимодействиями (как в Plackett-Burman Designs), в то время как конструкция разрешения IV не смешивает ни основные эффекты, ни двусторонние взаимодействия, но может смешивать двусторонние взаимодействия друг с другом.

Укажите общие дробные факторные конструкции, используя полную факторную конструкцию для выбранного подмножества основных факторов и генераторы для остальных факторов. Генераторы являются продуктами основных факторов, давая уровни для остальных факторов. Используйте функцию fracfact для создания этих проектов:

dfF = fracfact('a b c d bcd acd')
dfF =
    -1    -1    -1    -1    -1    -1
    -1    -1    -1     1     1     1
    -1    -1     1    -1     1     1
    -1    -1     1     1    -1    -1
    -1     1    -1    -1     1    -1
    -1     1    -1     1    -1     1
    -1     1     1    -1    -1     1
    -1     1     1     1     1    -1
     1    -1    -1    -1    -1     1
     1    -1    -1     1     1    -1
     1    -1     1    -1     1    -1
     1    -1     1     1    -1     1
     1     1    -1    -1     1     1
     1     1    -1     1    -1    -1
     1     1     1    -1    -1    -1
     1     1     1     1     1     1

Это шестифакторная конструкция, в которой четыре двухуровневых основных фактора (a, b, c, и d в первых четырех столбцах dfF) измеряются в каждой комбинации уровней, в то время как два оставшихся фактора (в последних трех столбцах dfF) измеряются только на уровнях, определенных генераторами bcd и acdсоответственно. Уровни в созданных столбцах являются продуктами соответствующих уровней в столбцах, составляющих генератор.

Задача создания дробной факторной конструкции состоит в выборе основных факторов и генераторов, чтобы конструкция достигала заданного разрешения в заданном количестве прогонов. Используйте функцию fracfactgen для поиска соответствующих генераторов:

generators = fracfactgen('a b c d e f',4,4)
generators = 
    'a'
    'b'
    'c'
    'd'
    'bcd'
    'acd'

Необязательный выход из fracfact отображает смешанный шаблон конструкции:

[dfF,confounding] = fracfact(generators);
confounding
confounding = 
    'Term'     'Generator'    'Confounding'  
    'X1'       'a'            'X1'           
    'X2'       'b'            'X2'           
    'X3'       'c'            'X3'           
    'X4'       'd'            'X4'           
    'X5'       'bcd'          'X5'           
    'X6'       'acd'          'X6'           
    'X1*X2'    'ab'           'X1*X2 + X5*X6'
    'X1*X3'    'ac'           'X1*X3 + X4*X6'
    'X1*X4'    'ad'           'X1*X4 + X3*X6'
    'X1*X5'    'abcd'         'X1*X5 + X2*X6'
    'X1*X6'    'cd'           'X1*X6 + X2*X5 + X3*X4'
    'X2*X3'    'bc'           'X2*X3 + X4*X5'
    'X2*X4'    'bd'           'X2*X4 + X3*X5'
    'X2*X5'    'cd'           'X1*X6 + X2*X5 + X3*X4'
    'X2*X6'    'abcd'         'X1*X5 + X2*X6'
    'X3*X4'    'cd'           'X1*X6 + X2*X5 + X3*X4'
    'X3*X5'    'bd'           'X2*X4 + X3*X5'
    'X3*X6'    'ad'           'X1*X4 + X3*X6'
    'X4*X5'    'bc'           'X2*X3 + X4*X5'
    'X4*X6'    'ac'           'X1*X3 + X4*X6'
    'X5*X6'    'ab'           'X1*X2 + X5*X6'

Смешанная картина показывает, что основные эффекты эффективно разделены дизайном, но двусторонние взаимодействия смешиваются с различными другими двусторонними взаимодействиями.