Создайте следующее дифференциальное алгебраическое уравнение второго порядка.

syms y(t);
eqn = diff(y(t),t,2) == (1-y(t)^2)*diff(y(t),t) - y(t);

Использовать reduceDifferentialOrder переписать это уравнение как систему двух дифференциальных уравнений первого порядка. Здесь, vars - вектор переменных состояния системы. Новая переменная Dy(t) представляет первую производную от y(t) в отношении t.

[eqs,vars] = reduceDifferentialOrder(eqn,y(t))

eqs =
 diff(Dyt(t), t) + y(t) + Dyt(t)*(y(t)^2 - 1)
                       Dyt(t) - diff(y(t), t)
 
vars =
   y(t)
 Dyt(t)

Задать начальные условия для y(t) и его производной Dy(t) кому 2 и 0 соответственно.

initConditions = [2 0];

Найти массовую матрицу M системы и правой части уравнений F.

[M,F] = massMatrixForm(eqs,vars)

M =
[  0, 1]
[ -1, 0]
 
F =
 - y(t) - Dyt(t)*(y(t)^2 - 1)
                      -Dyt(t)

M и F см. форму $$M(t,x(\stackrel{)}{t})x\dot{}(t)=F($$t, x (t)). Для упрощения дальнейших вычислений переписать систему в $$\stackrel{}{}\mathrm{виде}x\dot{}(t$$) = f (t, x (t)).

f = M\F

f =
                          Dyt(t)
 - Dyt(t)*y(t)^2 - y(t) + Dyt(t)

Новообращенный f к дескриптору функции MATLAB с помощью odeFunction. Результирующий дескриптор функции вводится в решатель MATLAB ODE ode15s.

odefun = odeFunction(f,vars);
ode15s(odefun, [0 10], initConditions)

Создайте систему дифференциальных алгебраических уравнений. Здесь символические функции x1(t) и x2(t) представляют переменные состояния системы. Система также содержит постоянные символьные параметры. a, bи функцию параметра r(t). Эти параметры не представляют переменные состояния. Задайте уравнения и переменные состояния как два символьных вектора: уравнения как вектор символьных уравнений и переменные как вектор вызовов символьных функций.

syms x1(t) x2(t) a b r(t)
eqs = [diff(x1(t),t) == a*x1(t) + b*x2(t)^2,...
       x1(t)^2 + x2(t)^2 == r(t)^2];
vars = [x1(t) x2(t)];

Найти массовую матрицу M и вектор правой стороны F для этой системы. M и F см. форму $$M(t,x(\stackrel{)}{t})x\dot{}(t)=F($$t, x (t)).

[M,F] = massMatrixForm(eqs,vars)

M =
[ 1, 0]
[ 0, 0]
 
F =
        b*x2(t)^2 + a*x1(t)
 r(t)^2 - x1(t)^2 - x2(t)^2

Использовать odeFunction для генерации дескрипторов функций MATLAB из M и F. Дескриптор функции F содержит символические параметры.

M = odeFunction(M,vars)
F = odeFunction(F,vars,a,b,r(t))

M = 
  function_handle with value:
    @(t,in2)reshape([1.0,0.0,0.0,0.0],[2,2])

F = 
  function_handle with value:
    @(t,in2,param1,param2,param3)[param1.*in2(1,:)+...
    param2.*in2(2,:).^2;param3.^2-in2(1,:).^2-in2(2,:).^2]

Укажите значения параметров.

a = -0.6;
b = -0.1;
r = @(t) cos(t)/(1+t^2);

Создание дескриптора сокращенной функции F.

F = @(t,Y) F(t,Y,a,b,r(t));

Укажите согласованные начальные условия для системы дисковой полки.

t0 = 0;
y0 = [-r(t0)*sin(0.1); r(t0)*cos(0.1)];
yp0 = [a*y0(1) + b*y0(2)^2; 1.234];

Создание набора опций, содержащего массовую матрицу M системы и вектора yp0 исходных условий для производных.

opt = odeset('mass',M,'InitialSlope',yp0);

Теперь используйте ode15s для решения системы уравнений.

ode15s(F, [t0, 1], y0, opt)

Определите систему дифференциальных уравнений. Найти массовую матрицу M и правая сторона F.

syms x(t) y(t)
eqs = [diff(x(t),t)+2*diff(y(t),t) == 0.1*y(t), ...
       x(t)-y(t) == cos(t)-0.2*t*sin(x(t))];
vars = [x(t) y(t)];
[M,F] = massMatrixForm(eqs,vars);

Запишите код MATLAB для M и F в файлы myfileM и myfileF. odeFunction перезаписывает существующие файлы. Включить комментарий Version: 1.1 в файлах можно открывать и редактировать выходные файлы.

M = odeFunction(M,vars,'File','myfileM','Comments','Version: 1.1');

function expr = myfileM(t,in2)
%MYFILEM
%    EXPR = MYFILEM(T,IN2)

%    This function was generated by the Symbolic Math Toolbox version 7.3.
%    01-Jan-2017 00:00:00

%Version: 1.1
expr = reshape([1.0,0.0,2.0,0.0],[2, 2]);

F = odeFunction(F,vars,'File','myfileF','Comments','Version: 1.1');

function expr = myfileF(t,in2)
%MYFILEF
%    EXPR = MYFILEF(T,IN2)

%    This function was generated by the Symbolic Math Toolbox version 7.3.
%    01-Jan-2017 00:00:00

%Version: 1.1
x = in2(1,:);
y = in2(2,:);
expr = [y.*(1.0./1.0e1);-x+y+cos(t)-t.*sin(x).*(1.0./5.0)];

Укажите непротиворечивые начальные значения для x(t) и y(t) и их первые производные.

xy0 = [2; 1];    % x(t) and y(t)
xyp0 = [0; 0.05*xy0(2)];    % derivatives of x(t) and y(t)

Создание набора опций, содержащего массовую матрицу M, исходные условия xyp0и числовые допуски для числового поиска.

opt = odeset('mass', M, 'RelTol', 10^(-6),...
               'AbsTol', 10^(-6), 'InitialSlope', xyp0);

Решить систему уравнений с помощью ode15s.

ode15s(F, [0 7], xy0, opt)

Создайте систему дифференциальных алгебраических уравнений. Здесь символические функции x1(t) и x2(t) представляют переменные состояния системы. Задайте уравнения и переменные состояния как два символьных вектора: уравнения как вектор символьных уравнений и переменные как вектор вызовов символьных функций.

syms x1(t) x2(t)

a = -0.6;
b = -0.1;
r = @(t) cos(t)/(1 + t^2);

eqs = [diff(x1(t),t) == a*x1(t) + b*x2(t)^2,...
       x1(t)^2 + x2(t)^2 == r(t)^2];
vars = [x1(t) x2(t)];

Найти массовую матрицу M и вектор правой стороны F для этой системы. M и F см. форму $$M(t,x(\stackrel{)}{t})x\dot{}(t)=F($$t, x (t)).

[M,F] = massMatrixForm(eqs,vars)

M =
[ 1, 0]
[ 0, 0]
 
F =
               - (3*x1(t))/5 - x2(t)^2/10
 cos(t)^2/(t^2 + 1)^2 - x1(t)^2 - x2(t)^2

Создание дескрипторов функций MATLAB из M и F. Потому что большинство элементов матрицы масс M являются нулями, используйте Sparse аргумент при преобразовании M.

M = odeFunction(M,vars,'Sparse',true)
F = odeFunction(F,vars)

M = 
  function_handle with value:
    @(t,in2)sparse([1],[1],[1.0],2,2)

F = 
  function_handle with value:
    @(t,in2)[in2(1,:).*(-3.0./5.0)-in2(2,:).^2./1.0e+1;...
    cos(t).^2.*1.0./(t.^2+1.0).^2-in2(1,:).^2-in2(2,:).^2]

Укажите согласованные начальные условия для системы дисковой полки.

t0 = 0;
y0 = [-r(t0)*sin(0.1); r(t0)*cos(0.1)];
yp0= [a*y0(1) + b*y0(2)^2; 1.234];

Создание набора опций, содержащего массовую матрицу M системы и вектора yp0 исходных условий для производных.

opt = odeset('mass',M,'InitialSlope', yp0);

Решить систему уравнений с помощью ode15s.

ode15s(F, [t0, 1], y0, opt)