Определите дифференциальное уравнение второго порядка:

Преобразование дифференциального уравнения второго порядка в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

syms y(t)
eqn = diff(y,2) + y^2*t == 3*t;
V = odeToVectorField(eqn)

V = 
$$\left(\begin{array}{c}{Y}_2\\ 3\hspace{0.17em}t-t\hspace{0.17em}{Y_1}^2\end{array}\right)$$

Элементы V представляют систему дифференциальных уравнений первого порядка, где V[i] = $${{}_{\mathrm{Yi}}}^{}$$′ и $${}_{\mathrm{}}Y1$$= y. Здесь выходные данныеV представляет следующие уравнения:

Дополнительные сведения о связи между входом и выходом см. в разделе Алгоритмы.

При уменьшении порядка дифференциальных уравнений возвращаем замены, которые odeToVectorField создает путем указания второго выходного аргумента.

syms f(t) g(t)
eqn1 = diff(g) == g-f;
eqn2 = diff(f,2) == g+f;
eqns = [eqn1 eqn2];
[V,S] = odeToVectorField(eqns)

V = 
$$\left(\begin{array}{c}{Y}_2\\ Y_1+Y_3\\ Y_3-Y_1\end{array}\right)$$

S = 
$$\left(\begin{array}{c}f\\ \mathrm{Df}\\ g\end{array}\right)$$

Элементы V представляют систему дифференциальных уравнений первого порядка, где V[i] = $${{}_{\mathrm{Yi}}}^{}$$′. Выходные данные S показывают выполняемые замены, S [1] $${=}_{\mathrm{}}\mathrm{Y1}$$= f, S [$$2_{\mathrm{]}}$$ = Y2 =diff(f)и S [3] = $${}_{\mathrm{}}Y3$$= g.

Решите дифференциальное уравнение более высокого порядка численно, уменьшив порядок уравнения, создав дескриптор функции MATLAB ®, а затем найдя числовое решение с помощью ode45 функция.

Преобразование следующего дифференциального уравнения второго порядка в систему дифференциальных уравнений первого порядка с помощью odeToVectorField.

syms y(t)
eqn = diff(y,2) == (1-y^2)*diff(y)-y;
V = odeToVectorField(eqn)

V = 
$$\left(\begin{array}{c}{Y}_2\\ -\left({Y_1}^2-1\right)\hspace{0.17em}{Y}_2-Y_1\end{array}\right)$$

Создание дескриптора функции MATLAB из V с помощью matlabFunction.

M = matlabFunction(V,'vars',{'t','Y'})

M = function_handle with value:
    @(t,Y)[Y(2);-(Y(1).^2-1.0).*Y(2)-Y(1)]

Укажите интервал решения, который должен быть [0 20] и начальные условия должны быть $$y^{}\prime \mathrm{}(0\mathrm{)}$$ = 2 $${}^{и}\mathrm{y}\prime \mathrm{}$$′ (0) = 0. Решить систему дифференциальных уравнений первого порядка с помощьюode45.

interval = [0 20];
yInit = [2 0];
ySol = ode45(M,interval,yInit);

Затем постройте график решения $$y(t$$) в интервале $$$$t = [0 20]. Создание значений t с помощью linspace. Вычислите решение для $$y(t$$), которое является первым индексом вySol, путем вызова deval с индексом 1. Постройте график решения с помощью plot.

tValues = linspace(0,20,100);
yValues = deval(ySol,tValues,1);
plot(tValues,yValues)

Преобразуйте дифференциальное уравнение второго порядка $$y^{\prime }\prime (x$$) = x с начальным $$\mathrm{}условиемy$$ (0) = a в систему первого порядка.

syms y(x) a
eqn = diff(y,x,2) == x;
cond = y(0) == a;
V = odeToVectorField(eqn,cond)

V = 
$$\left(\begin{array}{c}{Y}_2\\ x\end{array}\right)$$