dsolve

Система решения дифференциальных уравнений

Поддержка ввода символьных векторов или строк будет удалена в следующем выпуске. Вместо этого используйте syms объявить переменные и заменить входные данные, такие как dsolve('Dy = -3*y') с syms y(t); dsolve(diff(y,t) == -3*y).

Синтаксис

S = dsolve (eqn)

S = dsolve (eqn, cond)

S = dsolve (___, имя, значение)

[y1,...,yN] = dsolve (___)

Описание

пример

S = dsolve(eqn) решает дифференциальное уравнение eqn, где eqn - символическое уравнение. Использовать diff и == для представления дифференциальных уравнений. Например, diff(y,x) == y представляет уравнение dy/dx = y. Решение системы дифференциальных уравнений путем задания eqn как вектор этих уравнений.

пример

S = dsolve(eqn,cond) решает eqn с начальным или граничным условием cond.

пример

S = dsolve(___,Name,Value) использует дополнительные параметры, указанные одним или несколькими Name,Value аргументы пары.

пример

[y1,...,yN] = dsolve(___) назначает решения переменным y1,...,yN.

Примеры

свернуть все

Решить дифференциальное уравнение

Открыть сценарий в реальном времени

Решите дифференциальное уравнение первого порядка $\frac{}{dydt} =$ ay.

Укажите производную первого порядка с помощью diff и уравнение с использованием = =. Затем решите уравнение с помощью dsolve.

syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
S = dsolve(eqn)

S =  $C_{1} e^{a t}$

Решение включает константу. Чтобы исключить константы, см. раздел Решение дифференциальных уравнений с условиями. Полный рабочий процесс см. в разделе Решение дифференциальных уравнений в частных производных.

Решить дифференциальное уравнение второго порядка

Открыть сценарий в реальном времени

Решите дифференциальное уравнение второго порядка $\frac{^{}}{^{d2ydt2}} =$ ay.

Укажите производную y второго порядка с помощью diff(y,t,2) и уравнение с помощью ==. Затем решите уравнение с помощью dsolve.

syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y;
ySol(t) = dsolve(eqn)

ySol(t) =  $C_{1} e^{- \sqrt{a} t} + C_{2} e^{\sqrt{a} t}$

Решение дифференциальных уравнений с условиями

Открыть сценарий в реальном времени

Решите дифференциальное уравнение первого порядка $\frac{}{dydt} =$ ay с начальным $условием y (0$ ) = 5.

Укажите начальное условие в качестве второго входного значения dsolve с помощью == оператор. Указание условия исключает произвольные константы, такие как C1, C2, ..., из решения.

syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
cond = y(0) == 5;
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)

ySol(t) =  $5 e^{a t}$

Затем решите дифференциальное уравнение второго порядка $\frac{^{}}{^{d2ydt2}} =^{}$ a2y с начальными $условиями y (0$ ) = b $^{} и y$ ′ (0) = 1.

Укажите второе начальное условие путем назначения diff(y,t) кому Dy а затем с помощью Dy(0) == 1.

syms y(t) a b
eqn = diff(y,t,2) == a^2*y;
Dy = diff(y,t);
cond = [y(0)==b, Dy(0)==1];
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)

ySol(t) = 
 $\frac{e^{a t} (a b + 1)}{2 a} + \frac{e^{- a t} (a b - 1)}{2 a}$

Это дифференциальное уравнение второго порядка имеет два заданных условия, поэтому константы исключаются из решения. В общем случае, чтобы исключить константы из решения, число условий должно равняться порядку уравнения.

Система решения дифференциальных уравнений

Открыть сценарий в реальном времени

Решить систему дифференциальных уравнений

$\begin{array}{l} \frac{}{dydt} = \\ \frac{}{} zdzdt = \end{array}$ -y.

Укажите систему уравнений как вектор. dsolve возвращает структуру, содержащую решения.

syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y];
S = dsolve(eqns)

S = struct with fields:
    z: [1x1 sym]
    y: [1x1 sym]

Получите доступ к решениям, обратившись к элементам структуры.

ySol(t) = S.y

ySol(t) =  $C_{1} \cos (t) + C_{2} \sin (t)$

zSol(t) = S.z

zSol(t) =  $C_{2} \cos (t) - C_{1} \sin (t)$

Назначение выходов функциям или переменным

Открыть сценарий в реальном времени

При решении нескольких функций dsolve возвращает структуру по умолчанию. Кроме того, можно назначить решения функциям или переменным непосредственно, явно указав выходные данные как вектор. dsolve сортирует выходные данные в алфавитном порядке с помощью symvar.

Решите систему дифференциальных уравнений и назначьте выходы функциям.

syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t)==z, diff(z,t)==-y];
[ySol(t),zSol(t)] = dsolve(eqns)

ySol(t) =  $C_{1} \cos (t) + C_{2} \sin (t)$

zSol(t) =  $C_{2} \cos (t) - C_{1} \sin (t)$

Поиск явных и неявных решений дифференциального уравнения

Открыть сценарий в реальном времени

Решите дифференциальное уравнение $\frac{}{} ∂∂ty (t)^{= e-y} (t)$ + y (t).dsolve возвращает явное решение в терминах функции Ламберта W, имеющей постоянное значение.

syms y(t)
eqn = diff(y) == y+exp(-y)

eqn(t) = 
 $\frac{\partial}{\partial t} y (t) = e^{- y (t)} + y (t)$

sol = dsolve(eqn)

sol =  ${W lambertw}_{0} (- 1)$

Чтобы вернуть неявные решения дифференциального уравнения, задайте 'Implicit' опция для true. Неявный раствор имеет форму $F (y (t)) =$ g (t).

sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)

sol = 
 $(\begin{array}{c} ({\int \frac{e^{y}}{y e^{y} + 1} d y |}_{y = y (t)}) = C_{1} + t \\ e^{- y (t)} (e^{y (t)} y (t) + 1) = 0 \end{array})$

Поиск неявного решения при отсутствии явного решения

Открыть сценарий в реальном времени

Если dsolve не может найти явное решение дифференциального уравнения аналитически, то возвращает пустой символьный массив. Дифференциальное уравнение можно решить с помощью числового решателя MATLAB ®, например ode45. Дополнительные сведения см. в разделе Численное решение дифференциального уравнения второго порядка.

syms y(x)
eqn = diff(y) == (x-exp(-x))/(y(x)+exp(y(x)));
S = dsolve(eqn)

Warning: Unable to find symbolic solution.

 
S =
 
[ empty sym ]

Можно также попытаться найти неявное решение дифференциального уравнения, указав 'Implicit' опция для true. Неявный раствор имеет форму $F (y (x)) =$ g (x).

S = dsolve(eqn,'Implicit',true)

S = 
 $e^{y (x)} + \frac{{y (x)}^{2}}{2} = C_{1} + e^{- x} + \frac{x^{2}}{2}$

Включение особых случаев путем отключения внутренних упрощений

Открыть сценарий в реальном времени

Решите дифференциальное уравнение $\frac{}{dydt} \frac{=}{\sqrt{}} ay$ + y с $условием y$ (a) = 1. По умолчаниюdsolve применяет упрощения, которые в целом не являются правильными, но дают более простые решения. Дополнительные сведения см. в разделе Алгоритмы.

syms a y(t)
eqn = diff(y) == a/sqrt(y) + y;
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)

ySimplified = 
 ${(e^{\frac{3 t}{2} - \frac{3 a}{2} + \log (a + 1)} - a)}^{2 / 3}$

Чтобы вернуть решения, включающие все возможные значения параметра $a$ , отключите упрощения путем установки 'IgnoreAnalyticConstraints' кому false.

yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)

yNotSimplified = 
 $\begin{array}{l} {\begin{array}{cl} {\begin{array}{cl} {σ_{1}} & if - \frac{π}{2} < σ_{2} \\ {σ_{1}, - {(- a + e^{\frac{3 t}{2} - \frac{3 a}{2} + \log (a + {(- \frac{1}{2} + σ_{3})}^{3 / 2}) + 2 π C_{2} i})}^{2 / 3} (\frac{1}{2} + σ_{3})} & if σ_{2} \leq - \frac{π}{2} \end{array} & if C_{2} \in Z \\ \emptyset & if C_{2} \notin Z \end{array} \\ where \\ σ_{1} = {(- a + e^{\frac{3 t}{2} - \frac{3 a}{2} + \log (a + 1) + 2 π C_{2} i})}^{2 / 3} \\ σ_{2} = angle (e^{\frac{3 C_{1}}{2} + \frac{3 t}{2}} - a) \\ σ_{3} = \frac{\sqrt{3} i}{2} \end{array}$

Найти последовательное решение дифференциального уравнения

Открыть сценарий в реальном времени

Решите дифференциальное уравнение второго порядка $(^{} x2-1)^{} \frac{^{}}{^{}} 2\partial2\partialx2y (x) + (\frac{x}{+} 1) ∂∂xy (x$ ) -y (x) = 0.dsolve возвращает решение, которое содержит член с неоцениваемым интегралом.

syms y(x)
eqn = (x^2-1)^2*diff(y,2) + (x+1)*diff(y) - y == 0;
S = dsolve(eqn)

S = 
 $C_{2} (x + 1) + C_{1} (x + 1) \int \frac{e^{\frac{1}{2 (x - 1)}} {(1 - x)}^{1 / 4}}{{(x + 1)}^{9 / 4}} d x$

Чтобы вернуть последовательные решения дифференциального уравнения вокруг $x =$ -1, установите 'ExpansionPoint' кому -1. dsolve возвращает два линейно независимых решения в терминах расширения ряда Пюисё.

S = dsolve(eqn,'ExpansionPoint',-1)

S = 
 $(\begin{array}{c} x + 1 \\ \frac{1}{{(x + 1)}^{1 / 4}} - \frac{5 {(x + 1)}^{3 / 4}}{4} + \frac{5 {(x + 1)}^{7 / 4}}{48} + \frac{5 {(x + 1)}^{11 / 4}}{336} + \frac{115 {(x + 1)}^{15 / 4}}{33792} + \frac{169 {(x + 1)}^{19 / 4}}{184320} \end{array})$

Поиск других серийных решений вокруг точки расширения $\infty$ путем установки 'ExpansionPoint' кому Inf.

S = dsolve(eqn,'ExpansionPoint',Inf)

S = 
 $(\begin{array}{c} x - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{8 x^{4}} \\ \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{1}{8 x^{4}} + \frac{1}{90 x^{5}} + 1 \end{array})$

Порядок усечения по умолчанию для расширения серии равен 6. Чтобы получить больше терминов в решениях серии Puiseux, установите 'Order' до 8.

S = dsolve(eqn,'ExpansionPoint',Inf,'Order',8)

S = 
 $(\begin{array}{c} x - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{8 x^{4}} - \frac{1}{90 x^{5}} - \frac{37}{336 x^{6}} \\ \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{1}{8 x^{4}} + \frac{1}{90 x^{5}} + \frac{37}{336 x^{6}} + \frac{37}{1680 x^{7}} + 1 \end{array})$

Определение начального условия для функции с различными односторонними пределами

Открыть сценарий в реальном времени

Решите дифференциальное уравнение $\frac{}{dydx} \frac{=}{^{}}^{\frac{}{}}$ 1x2e-1x без указания начального условия.

syms y(x)
eqn = diff(y) == exp(-1/x)/x^2;
ySol(x) = dsolve(eqn)

ySol(x) = 
 $C_{1} + e^{- \frac{1}{x}}$

Чтобы исключить константы из решения, задайте начальное условие $y (0)$ = 1.

cond = y(0) == 1;
S = dsolve(eqn,cond)

S = 
 $e^{- \frac{1}{x}} + 1$

Функция $^{\frac{}{e-1x}}$ в решении ySol(x) имеет различные односторонние пределы при $x =$ 0. Функция имеет правый предел $\underset{^{}}{,} {limx→0+}^{\frac{}{}} e-1x$ = 0, но имеет неопределенный левый $\underset{^{}}{предел,}^{limx\to0 \frac{}{-}}$ e-1x=∞.

При указании условия y(x0) для функции с различными односторонними пределами в x0, dsolve рассматривает условие как ограничение справа, $\lim_{}^{x\tox0+}$ .

Входные аргументы

свернуть все

`eqn` - Дифференциальное уравнение или система уравнений
символьное уравнение | вектор символьных уравнений

Дифференциальное уравнение или система уравнений, заданная как символическое уравнение или вектор символических уравнений. Задайте дифференциальное уравнение с помощью == оператор. Если eqn является символическим выражением (без правой стороны), решатель предполагает, что правая сторона равна 0, и решает уравнение eqn == 0.

В уравнении представим дифференциацию с помощью diff. Например, diff(y,x) дифференцирует символическую функцию y(x) в отношении x. Создание символической функции y(x) с помощью syms и решить уравнение d²y(x)/dx² = x*y(x) использование dsolve.

syms y(x)
S = dsolve(diff(y,x,2) == x*y)

Укажите систему дифференциальных уравнений, используя вектор уравнений, как в syms y(t) z(t); S = dsolve([diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y]). Здесь, y и z должны быть символьными функциями, зависящими от символьных переменных, которые являются t в данном случае. Правая сторона должна быть символьными выражениями, зависящими от t, y и z. Обратите внимание, что Symbolic Math Toolbox™ в настоящее время не поддерживает составные символьные функции, то есть символьные функции, зависящие от других символьных функций.

`cond` - Исходное или граничное условие
символьное уравнение | вектор символьных уравнений

Начальное или граничное условие, определяемое как символьное уравнение или вектор символьных уравнений.

Если условие содержит производную, представьте производную с diff. Назначить diff вызовите переменную и используйте переменную для задания условия. Например, см. раздел Решение дифференциальных уравнений с условиями.

Задайте несколько условий с помощью вектора уравнений. Если число условий меньше числа зависимых переменных, решения содержат произвольные константы C1, C2,....

Аргументы пары «имя-значение»

Укажите дополнительные пары, разделенные запятыми Name,Value аргументы. Name является именем аргумента и Value - соответствующее значение. Name должен отображаться внутри кавычек. Можно указать несколько аргументов пары имен и значений в любом порядке как Name1,Value1,...,NameN,ValueN.

Пример: 'IgnoreAnalyticConstraints',false не применяет внутренних упрощений.

`'ExpansionPoint'` - Точка расширения решения серии Puiseux
`0` (по умолчанию) | число | символьное число | символьная переменная | символьная функция | символьное выражение

Точка расширения решения серии Puiseux, заданная как число или символьное число, переменная, функция или выражение. Задание этой опции возвращает решение дифференциального уравнения в терминах ряда Пюисё (степенного ряда, допускающего отрицательные и дробные экспоненты). Точка расширения не может зависеть от переменной серии. Например, см. раздел Поиск последовательного решения дифференциального уравнения.

Типы данных: single | double | sym
Поддержка комплексного номера: Да

`'IgnoreAnalyticConstraints'` - Возможность использования внутренних упрощений
`true` (по умолчанию) | `false`

Возможность использования внутренних упрощений, указанных как true или false.

По умолчанию решатель применяет упрощения при решении дифференциального уравнения, что может привести к неправильным результатам. Другими словами, эта опция применяет математические идентичности, которые удобны, но результаты могут иметь место не для всех возможных значений переменных. Поэтому по умолчанию решатель не гарантирует полноту результатов. Если 'IgnoreAnalyticConstraints' является true, всегда проверять результаты, возвращенные dsolve функция. Дополнительные сведения см. в разделе Алгоритмы.

Для решения обычных дифференциальных уравнений без этих упрощений, установить 'IgnoreAnalyticConstraints' кому false. Результаты, полученные с помощью 'IgnoreAnalyticConstraints' установить в значение false являются правильными для всех значений аргументов. Для некоторых уравнений: dsolve может не вернуть явное решение, если задать 'IgnoreAnalyticConstraints' кому false.

`'Implicit'` - Возможность возврата неявного решения
`false` (по умолчанию) | `true`

Параметр для возврата неявного решения, указанного как false или true. Для дифференциального уравнения с переменными x и y (x) неявное решение имеет вид F (y (x)) = g (x).

По умолчанию решатель пытается найти явное решение y (x) = f (x) аналитически при решении дифференциального уравнения. Еслиdsolve не может найти явное решение, тогда можно попытаться найти решение в неявной форме, указав 'Implicit' опция для true.

`'MaxDegree'` - максимальная степень полиномиального уравнения, для которого решатель использует явные формулы;
2 (по умолчанию) | положительное целое число меньше 5

Максимальная степень полиномиальных уравнений, для которых решатель использует явные формулы, заданные как положительное целое число меньше 5. dsolve не использует явные формулы при решении полиномиальных уравнений степеней, превышающих 'MaxDegree'.

`'Order'` - Порядок усечения решения серии Puiseux
`0` (по умолчанию) | положительное целое число | символьное положительное целое число

Порядок усечения решения серии Puiseux, определяемый как положительное целое число или символическое положительное целое число. Задание этой опции возвращает решение дифференциального уравнения в терминах ряда Пюисё (степенного ряда, допускающего отрицательные и дробные экспоненты). Порядок усечения n - экспонента в O-члене: $O (^{} varn$ ) или $O (^{var}$ − n).

Выходные аргументы

свернуть все

`S` - Решения дифференциального уравнения
символьное выражение | вектор символьных выражений

Решения дифференциального уравнения, возвращаемые как символическое выражение или вектор символических выражений. Размер S - количество решений.

`y1,...,yN` - Переменные, хранящие решения дифференциальных уравнений
вектор символьных переменных

Переменные, хранящие решения дифференциальных уравнений, возвращаемые как вектор символьных переменных. Количество выходных переменных должно равняться количеству зависимых переменных в системе уравнений. dsolve сортирует зависимые переменные в алфавитном порядке, а затем назначает решения для переменных выходным переменным или символьным массивам.

Совет

Если dsolve не удается найти явное или неявное решение, после чего выдается предупреждение и возвращается пустое sym. В этом случае попробуйте найти числовое решение с помощью MATLAB ®ode23 или ode45 функция. Иногда выход представляет собой эквивалентное дифференциальное уравнение более низкого порядка или интеграл.
dsolve не всегда возвращает полные решения, даже если 'IgnoreAnalyticConstraints' является false.
Если dsolve возвращает функцию, которая имеет различные односторонние пределы в x0 и вы указываете условие y(x0), то dsolve рассматривает условие как ограничение справа, $_{}^{limx\tox0+} .$

Алгоритмы

Если не установлен 'IgnoreAnalyticConstraints' кому false, то dsolve применяет следующие правила при решении уравнения:

log (a) + log ( b) = log (a· b) для всех значений a и b. В частности, для всех значений a, b и c применяется следующее равенство:
(a· b⁾ c = ac^· bc.
log (^ab ) = b· log (a) для всех значений a и b. В частности, для всех значений a, b и c применяется следующее равенство:
(ab) c = ^ab· c.
Если f и g являются стандартными математическими функциями и f (g (x )) = x для всех малых положительных чисел, предполагается, что f (g (x)) = x является действительным для всех комплексных x. В частности:
- log (^ex ) = x
- asin (sin (x )) = x, acos (cos (x )) = x, atan ( tan (x)) = x
- asinh (sinh (x )) = x, acosh (cosh (x )) = x, atanh (tanh (x)) = x
- _Wk (x· ex) = x для всех индексов ветви k функции Ламберта W.
Решатель может умножать обе стороны уравнения на любое выражение, кроме 0.
Решения полиномиальных уравнений должны быть полными.

Вопросы совместимости

развернуть все

`dsolve` больше не будет поддерживать символьные векторные или строковые вводы

Предупреждает, начиная с R2019b

dsolve не принимает уравнения в качестве строк или символьных векторов в будущем выпуске. Вместо этого используйте символьные выражения или sym объекты для определения дифференциальных уравнений. Например, замените входные данные, такие как dsolve('Dy = exp(y)') с syms y(t); dsolve(diff(y,t) == exp(y)).

См. также

Темы

Представлен до R2006a

Документация

dsolve

Синтаксис

Описание

Примеры

Решить дифференциальное уравнение

Решить дифференциальное уравнение второго порядка

Решение дифференциальных уравнений с условиями

Система решения дифференциальных уравнений

Назначение выходов функциям или переменным

Поиск явных и неявных решений дифференциального уравнения

Поиск неявного решения при отсутствии явного решения

Включение особых случаев путем отключения внутренних упрощений

Найти последовательное решение дифференциального уравнения

Определение начального условия для функции с различными односторонними пределами

Входные аргументы

`eqn` - Дифференциальное уравнение или система уравнений
символьное уравнение | вектор символьных уравнений

`cond` - Исходное или граничное условие
символьное уравнение | вектор символьных уравнений

Аргументы пары «имя-значение»

`'ExpansionPoint'` - Точка расширения решения серии Puiseux
`0` (по умолчанию) | число | символьное число | символьная переменная | символьная функция | символьное выражение

`'IgnoreAnalyticConstraints'` - Возможность использования внутренних упрощений
`true` (по умолчанию) | `false`

`'Implicit'` - Возможность возврата неявного решения
`false` (по умолчанию) | `true`

`'MaxDegree'` - максимальная степень полиномиального уравнения, для которого решатель использует явные формулы;
2 (по умолчанию) | положительное целое число меньше 5

`'Order'` - Порядок усечения решения серии Puiseux
`0` (по умолчанию) | положительное целое число | символьное положительное целое число

Выходные аргументы

`S` - Решения дифференциального уравнения
символьное выражение | вектор символьных выражений

`y1,...,yN` - Переменные, хранящие решения дифференциальных уравнений
вектор символьных переменных

Совет

Алгоритмы

Вопросы совместимости

`dsolve` больше не будет поддерживать символьные векторные или строковые вводы

См. также

Темы

Документация по инструментам символьной математики

Поддержка

Документация

dsolve

Синтаксис

Описание

Примеры

Решить дифференциальное уравнение

Решить дифференциальное уравнение второго порядка

Решение дифференциальных уравнений с условиями

Система решения дифференциальных уравнений

Назначение выходов функциям или переменным

Поиск явных и неявных решений дифференциального уравнения

Поиск неявного решения при отсутствии явного решения

Включение особых случаев путем отключения внутренних упрощений

Найти последовательное решение дифференциального уравнения

Определение начального условия для функции с различными односторонними пределами

Входные аргументы

eqn - Дифференциальное уравнение или система уравнений символьное уравнение | вектор символьных уравнений

cond - Исходное или граничное условие символьное уравнение | вектор символьных уравнений

Аргументы пары «имя-значение»

'ExpansionPoint' - Точка расширения решения серии Puiseux 0 (по умолчанию) | число | символьное число | символьная переменная | символьная функция | символьное выражение

'IgnoreAnalyticConstraints' - Возможность использования внутренних упрощений true (по умолчанию) | false

'Implicit' - Возможность возврата неявного решения false (по умолчанию) | true

'MaxDegree' - максимальная степень полиномиального уравнения, для которого решатель использует явные формулы; 2 (по умолчанию) | положительное целое число меньше 5

'Order' - Порядок усечения решения серии Puiseux 0 (по умолчанию) | положительное целое число | символьное положительное целое число

Выходные аргументы

S - Решения дифференциального уравнения символьное выражение | вектор символьных выражений

y1,...,yN - Переменные, хранящие решения дифференциальных уравнений вектор символьных переменных

Совет

Алгоритмы

Вопросы совместимости

dsolve больше не будет поддерживать символьные векторные или строковые вводы

См. также

Темы

Документация по инструментам символьной математики

Поддержка

`eqn` - Дифференциальное уравнение или система уравнений
символьное уравнение | вектор символьных уравнений

`cond` - Исходное или граничное условие
символьное уравнение | вектор символьных уравнений

`'ExpansionPoint'` - Точка расширения решения серии Puiseux
`0` (по умолчанию) | число | символьное число | символьная переменная | символьная функция | символьное выражение

`'IgnoreAnalyticConstraints'` - Возможность использования внутренних упрощений
`true` (по умолчанию) | `false`

`'Implicit'` - Возможность возврата неявного решения
`false` (по умолчанию) | `true`

`'MaxDegree'` - максимальная степень полиномиального уравнения, для которого решатель использует явные формулы;
2 (по умолчанию) | положительное целое число меньше 5

`'Order'` - Порядок усечения решения серии Puiseux
`0` (по умолчанию) | положительное целое число | символьное положительное целое число

`S` - Решения дифференциального уравнения
символьное выражение | вектор символьных выражений

`y1,...,yN` - Переменные, хранящие решения дифференциальных уравнений
вектор символьных переменных

`dsolve` больше не будет поддерживать символьные векторные или строковые вводы