Полилогарифм
polylog возвращает числа с плавающей запятой или точные символьные результаты в зависимости от используемых аргументов.
Вычислите полилогарифмы числовых входных аргументов. polylog функция возвращает числа с плавающей запятой.
Li = [polylog(3,-1/2), polylog(4,1/3), polylog(5,3/4)]
Li = -0.4726 0.3408 0.7697
Вычислите полилогарифмы тех же входных аргументов, преобразовав их в символические объекты. Для большинства символических (точных) чисел, polylog возвращает неразрешенные символьные вызовы.
symA = [polylog(3,sym(-1/2)), polylog(sym(4),1/3), polylog(5,sym(3/4))]
symA = [ polylog(3, -1/2), polylog(4, 1/3), polylog(5, 3/4)]
Аппроксимация символьных результатов числом по умолчанию 32 значащие цифры с помощью vpa.
Li = vpa(symA)
Li = [ -0.47259784465889687461862319312655,... 0.3407911308562507524776409440122,... 0.76973541059975738097269173152535]
polylog функция также принимает неинтегренные значения порядка n. Вычислить polylog для сложных аргументов.
Li = polylog(-0.2i,2.5)
Li = -2.5030 + 0.3958i
Если порядок полилогарифма равен 0, 1, или отрицательное целое число, то polylog возвращает явное выражение.
Полилогарифм n = 1 - логарифмическая функция.
syms x Li = polylog(1,x)
Li = -log(1 - x)
Полилогарифмы n < 1 являются рациональными выражениями.
Li = polylog(0,x)
Li = -x/(x - 1)
Li = polylog(-1,x)
Li = x/(x - 1)^2
Li = polylog(-2,x)
Li = -(x^2 + x)/(x - 1)^3
Li = polylog(-3,x)
Li = (x^3 + 4*x^2 + x)/(x - 1)^4
Li = polylog(-10,x)
Li = -(x^10 + 1013*x^9 + 47840*x^8 + 455192*x^7 + ... 1310354*x^6 + 1310354*x^5 + 455192*x^4 +... 47840*x^3 + 1013*x^2 + x)/(x - 1)^11
polylog имеет специальные значения для некоторых параметров.
Если второй аргумент - 0, то полилогарифм равен 0 для любого целого значения первого аргумента. Если второй аргумент - 1, то полилогарифм - дзета-функция Римана первого аргумента.
syms n Li = [polylog(n,0), polylog(n,1)]
Li = [ 0, zeta(n)]
Если второй аргумент - -1, то полилогарифм имеет специальное значение для любого целого значения первого аргумента, кроме 1.
assume(n ~= 1) Li = polylog(n,-1)
Li = zeta(n)*(2^(1 - n) - 1)
Чтобы выполнить другие вычисления, очистите допущение на n путем его повторного создания с использованием syms.
syms n
Вычислите другие специальные значения полилогарифмической функции.
Li = [polylog(4,sym(1)), polylog(sym(5),-1), polylog(2,sym(i))]
Li = [ pi^4/90, -(15*zeta(5))/16, catalan*1i - pi^2/48]
Постройте график полилогарифмов целочисленных порядков n от -3 до 1 в пределах интервала x = [-4 0.3].
syms x for n = -3:1 fplot(polylog(n,x),[-4 0.3]) hold on end title('Polylogarithm') legend('show','Location','best') hold off
Многие функции, такие как diff и int, может обрабатывать выражения, содержащие polylog.
Дифференцируйте эти выражения, содержащие полилогарифмы.
syms n x dLi = diff(polylog(n, x), x) dLi = diff(x*polylog(n, x), x)
dLi = polylog(n - 1, x)/x dLi = polylog(n, x) + polylog(n - 1, x)
Вычислите интегралы этих выражений, содержащих полилогарифмы.
intLi = int(polylog(n, x)/x, x) intLi = int(polylog(n, x) + polylog(n - 1, x), x)
intLi = polylog(n + 1, x) intLi = x*polylog(n, x)
polylog(2,x) эквивалентно dilog(1 - x).
Логарифмическая интегральная функция (интегральный логарифм) использует ту же самую нотацию, li (x), но без индекса. Панель инструментов обеспечивает logint для вычисления логарифмической интегральной функции.
Оценка полилогарифмической функции с плавающей запятой может быть медленной для сложных аргументов или высокоточных чисел. Чтобы увеличить вычислительную скорость, можно уменьшить точность с плавающей запятой, используя vpa и digits функции. Дополнительные сведения см. в разделе Увеличение скорости путем уменьшения точности.
Полилогарифмическая функция связана с другими специальными функциями. Например, она может быть выражена в терминах дзета-функции Гурвица (s, a) и гамма-функции Γ (z):
1 (1 − n, 12 − ln (− z) 2xeoni)].
Здесь n ≠ 0, 1, 2,....
[1] Ольвер, Ф. В. Дж., А. Б. Ольде Даалхёйс, Д. В. Лозье, Б. И. Шнайдер, Р. Ф. Буасверт, К. В. Кларк, Б. Р. Миллер и Б. В. Сондерс, ред., глава 25. Zeta и связанные функции, Цифровая библиотека математических функций NIST, выпуск 1.0.20, 15 сентября 2018 г.
dilog | hurwitzZeta | log | logint | zeta