Документация

Что такое вейвлеты Морса?

Обобщённые вейвлеты Морса - семейство точно аналитических вейвлетов. Аналитические вейвлеты представляют собой комплексные вейвлеты, преобразования Фурье которых поддерживаются только на положительной вещественной оси. Они полезны для анализа модулированных сигналов, которые являются сигналами с изменяющейся во времени амплитудой и частотой. Они также полезны для анализа локализованных разрывов. Основополагающая статья для обобщенных морсовских вейвлетов - Ольхеде и Вальден [1]. Теория морсовых вейвлетов и их применения к анализу модулированных сигналов получила дальнейшее развитие в серии работ Лилли и Ольхеде [2], [3] и [4]. Эффективные алгоритмы вычисления вейвлетов Морзе и их свойств разработаны Лилли [5].

Преобразование Фурье обобщенного импульса Морса равно

где U (λ) - единичный шаг, $${}_{ap,}$$ γ - нормирующая константа, P2 - произведение временной полосы пропускания, $$и$$ γ характеризует симметрию импульса Морса. Большая часть литературы о вейвлетах Морса $$\mathrm{использует}$$β, который можно рассматривать как параметр затухания или компактности, а не произведение временной полосы P2 $${}^{\mathrm{}}$$= βγ. Уравнение для импульса Морса в области Фурье, параметризованное $$$$β $$$$и γ, равно

Подробное объяснение параметризации вейвлетов Морса см. в [2].

Корректируя произведение временной полосы и параметры симметрии вейвлета Морса, можно получить аналитические вейвлеты с различными свойствами и поведением. Сила морсовских вейвлетов заключается в том, что многие обычно используемые аналитические вейвлеты являются особыми случаями обобщенного морсовского вейвлета. Например, вейвлеты Коши имеют $$\gamma$$ = 1 и вейвлеты Бесселя аппроксимируются $$\beta$$ = 8 и $$\gamma$$ = 0,25. См. Обобщенные морсы и аналитические вейвлеты Морлет.

Параметры морса-вейвлета

Как упоминалось выше, вейвлеты Морса имеют два параметра, симметрию и произведение временной полосы, которые определяют форму вейвлета и влияют на поведение преобразования. Гамма-параметр импульса Морса γ $$$$управляет симметрией импульса во времени через искажение демодуляции [2]. Квадратный корень произведения временной полосы пропускания P пропорционален длительности вейвлета во времени. Для удобства, импульс Морса в cwt и cwtfilterbank параметризованы как продукт временной полосы пропускания и гамма. Длительность определяет, сколько колебаний может поместиться в центральное окно вейвлета временной области на его пиковой частоте. Пиковая частота равна $${\left(\frac{{}^{\mathrm{}}}{\mathrm{P2\gamma }}\right)}^{\frac{\mathrm{}}{}}$$1γ .

(Демодуляция) асимметрии импульса Морса равна 0, когда гамма равна 3. Вейвлеты Морса также имеют минимальную площадь Гейзенберга, когда гамма равна 3. По этим причинам cwt и cwtfilterbank используйте это в качестве значения по умолчанию.

Влияние значений параметров на форму морса-вейвлета

Эти графики показывают, как различные значения симметрии и временной полосы пропускания влияют на форму Морса вейвлета. Более длинные временные полосы расширяют центральную часть импульса и увеличивают скорость длительного временного затухания. Увеличение симметрии расширяет вейвлет-огибающую, но не влияет на длительный временной распад. Для значений симметрии, меньших или равных 3, время затухания увеличивается по мере увеличения полосы пропускания. Для симметрии, большей или равной 3, уменьшение временной полосы делает вейвлет менее симметричным. По мере увеличения как симметрии, так и полосы пропускания, вейвлет колеблется больше во времени и сужается в частоте. Очень малая полоса пропускания и большие значения симметрии создают нежелательные боковые обочины временной области и асимметрию частотной области.

Взаимосвязь между аналитическим морсом и аналитическим сигналом

Коэффициенты от вейвлет-преобразования с использованием аналитического вейвлета на реальном сигнале пропорциональны коэффициентам соответствующего аналитического сигнала. Аналитический сигнал определяется как обратное преобразование Фурье

Значение аналитического сигнала зависит от λ.

Пусть $$\mathrm{Wf}(u,$$s) обозначает вейвлет-преобразование сигнала, f (t), при трансляции u и масштабе S. Если анализирующий вейвлет является аналитическим, получается $$Wf(u\frac{\mathrm{,}}{\mathrm{}}s{)}_{}=$$12Wfa (u, s)_, где fa (t) - аналитический сигнал, соответствующий f (t). Для всех вейвлетов, используемых вcwtамплитуда вейвлет-полосового фильтра на пиковой частоте для каждой шкалы устанавливается равной 2. Дополнительно, cwt использует нормализацию L1. Для синусоидального входа с реальным знаком с частотой радиана _ω0 и амплитуда A, небольшая волна преобразовывает использование аналитических коэффициентов урожаев небольшой волны, которые колеблются на той же частоте, _ω0, с амплитудой, равной $$\frac{}{\mathrm{}}\stackrel{}{}{}_{\mathrm{}}A2\psi ^\; (s\omega 0$$). Изолируя коэффициенты в масштабе, $$\frac{{}_{}}{{}_{\mathrm{}}}$$ωψω0, пиковая величина 2 гарантирует, что у проанализированного колебательного компонента есть правильная амплитуда, A .

Сравнение коэффициентов аналитического вейвлет-преобразования и аналитического сигнала

Этот пример показывает, как аналитическое вейвлет-преобразование реального сигнала аппроксимирует соответствующий аналитический сигнал.

Это демонстрируется с использованием синусоидальной волны. Если получить вейвлет-преобразование синусоидальной волны с помощью аналитического вейвлета и извлечь вейвлет-коэффициенты в масштабе, соответствующем частоте синусоидальной волны, коэффициенты аппроксимируют аналитический сигнал. Для синусоидальной волны аналитический сигнал является комплексной экспонентностью той же частоты.

Создать синусоиду с частотой 50 Гц.

t = 0:.001:1;
x = cos(2*pi*50*t);

Получить его непрерывное вейвлет-преобразование, используя аналитический вейвлет Морса и аналитический сигнал. Для использования необходимо иметь Toolbox™ обработки сигналов hilbert.

[wt,f] = cwt(x,1000,'voices',32,'ExtendSignal',false);
analytsig = hilbert(x);

Получить вейвлет-коэффициенты на шкале, ближайшей к частоте синусоидальной волны 50 Гц.

[~,idx] = min(abs(f-50));
morsecoefx = wt(idx,:);

Сравните действительную и мнимую части аналитического сигнала с вейвлет-коэффициентами на частоте сигнала.

figure;
plot(t,[real(morsecoefx)' real(analytsig)']);
title('Real Parts'); 
ylim([-2 2]); grid on;
legend('Wavelet Coefficients','Analytic Signal','Location','SouthEast');
xlabel('Time'); ylabel('Amplitude');

figure;
plot(t,[imag(morsecoefx)' imag(analytsig)']);
title('Imaginary Parts'); 
ylim([-2 2]); grid on;
legend('Wavelet Coefficients','Analytic Signal','Location','SouthEast');
xlabel('Time'); ylabel('Amplitude');

cwt использует нормализацию L1 и масштабирует вейвлет-полосовые фильтры для получения пиковой величины 2. Коэффициент 1/2 в приведенном выше уравнении отменяется значением пиковой величины.

Вейвлет-преобразование представляет собой частотно-локализованную фильтрацию сигнала. Соответственно, коэффициенты CWT менее чувствительны к шуму, чем коэффициенты преобразования Гильберта.

Добавьте шум верхних частот к сигналу и повторно проверьте вейвлет-коэффициенты и аналитический сигнал.

y = x + filter(1,[1 0.9],0.1*randn(size(x)));
analytsig = hilbert(y);
[wt,f] = cwt(y,1000,'voices',32,'ExtendSignal',0);
morsecoefy = wt(idx,:);

figure;
plot(t,[real(analytsig)' x']);
legend('Analytic Signal','Original Signal');
grid on;
xlabel('Time'); ylabel('Amplitude');
ylim([-2 2])

figure;
plot(t,[real(morsecoefy)' x']);
legend('Wavelet Coefficients','Original Signal');
grid on;
xlabel('Time'); ylabel('Amplitude');
ylim([-2 2])

Рекомендуемые настройки морса для CWT

Для получения наилучших результатов при использовании CWT используйте симметрию $$\gamma$$, равную 3, которая является значением по умолчанию для cwt и cwtfilterbank. При фиксированном гамма-излучении увеличение произведения временной полосы $${}^{\mathrm{P2}}$$ сужает вейвлет-фильтр по частоте при увеличении ширины центральной части фильтра по времени. Это также увеличивает число колебаний импульса под центральной частью фильтра.

Ссылки