Метод решателя моментов для металлических и диэлектрических структур

Метод расчета моментов для металлической и диэлектрической антенн.

Антенны, использующие диэлектрическую подложку, состоят из металлической части и диэлектрической части. Первым шагом в вычислительном решении электромагнитных задач является дискретизация уравнений Максвелла. Процесс приводит к этой матрично-векторной системе:

$V = Z I$

V - Вектор приложенного напряжения. Этот сигнал может быть напряжением или степенью, приложенной к антенне, или падающим сигналом, падающим на антенну.
I - Вектор тока, который представляет ток на поверхности антенны.
Z - Матрица взаимодействия или матрица импеданса, которая относится V к I. Для вычисления матрицы взаимодействия, эффект металлической и диэлектрической частей в антенне берутся отдельно.

Antenna Toolbox™ использует метод моментов (MoM), чтобы вычислить матрицу взаимодействия и решить системные уравнения.

Состав MoM

Состав МоМ разделяют на три части.

Дискретизация диэлектриков

Дискретизация позволяет сформулировать формулировку из непрерывной области в дискретную область. Этот шаг называется сеткой в антенной литературе. В МоМ-рецептуре металлическая поверхность антенны зацепляется в треугольники, а диэлектрический объем зацепляется в тетраэдры.

Базисные функции

Базисные функции используются для представления неизвестных величин. В случае антенн, использующих диэлектрики, неизвестными величинами являются поверхностный ток на металлической структуре и плотность потока из-за диэлектрического объема. Antenna Toolbox использует базисные функции Рао-Уилтона-Глиссона (RWG) [2]. Для базиса функций для металлической структуры в антенне смотрите, Метод Решателя Моментов для Металлоконструкций.

Для диэлектрического объема антенны Antenna Toolbox использует базисную функцию ребра нулевого порядка, чтобы смоделировать плотность потока.

Рисунок показывает основанную на ребре базисную функцию. Изменение вектора перпендикулярно основанию ребро (или $\bar{l}$ ). Вектор ребра CD (или $\bar{p}$ ) определяет функцию базиса. В пределах тетраэдра базисная функция является постоянным полем, заданным как

$\vec{f} = c \vec{p}$

c - коэффициент нормализации.
p - вектор ребра, определяющий базисную функцию.

Матрица взаимодействия

Матрица взаимодействия является комплексной плотной симметричной матрицей. Для металло-диэлектрической антенны существует два набора базисных функций и четыре взаимодействия. Чтобы заполнить матрицу взаимодействия, вычислите функцию свободного пространства Грина между всеми базисными функциями на поверхности антенны. Конечные матричные уравнения взаимодействия:

_ZMM - взаимодействие металла с металлом. Для чистой металлической структуры вычисляется только эта симметричная квадратная матрица.
$Z_{m n}^{M M} = (\frac{j ω μ}{4 π}) \int_{S} \int_{S} {\vec{f}}^{M}_{m} (\vec{r}) . {\vec{f}}^{M}_{n} (\vec{r^{'}}) g d \vec{r^{'}} d \vec{r} - (\frac{j}{4 π ω ε}) \int_{S} \int_{S} (\nabla . {\vec{f}}^{M}_{m}) (\nabla . {\vec{f}}^{M}_{n}) g d \vec{r^{'}} d \vec{r}$
_ZDD - диэлектрический к диэлектрическому взаимодействию. Для чистых диэлектрических структур вы вычисляете только эту симметричную квадратную матрицу.
$\begin{array}{l} {\hat{Z}}_{m n}^{D D} = \sum_{p - 1}^{P} \sum_{p^{'} - 1}^{P^{'}} \frac{K_{p}}{{\hat{ε}}_{p}} \int_{V_{D}} {\vec{f}}_{m p} (\vec{r}) \cdot {\vec{f}}_{n p^{'}} (\vec{r}) d \vec{r} \\ - \frac{ω^{2} μ_{0}}{4 π} \sum_{p - 1}^{P} \sum_{p^{'} - 1}^{P^{'}} K_{p} K_{p^{'}} \int_{V_{D}} \int_{V_{D^{'}}} g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) {\vec{f}}_{m p} (\vec{r}) \cdot {\vec{f}}_{n p^{'}} (\vec{r^{'}}) d \vec{r} d \vec{r^{'}} \\ - \frac{1}{4 π ε_{0}} \sum_{q - 1}^{Q} \sum_{q^{'} - 1}^{Q^{'}} {\hat{K}}_{q} {\hat{K}}_{q^{'}} \int_{Ω_{q}} \int_{Ω_{q^{'}}} g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) f_{⊥ m q} (\vec{r}) f_{⊥ n q^{'}} (\vec{r^{'}}) d_{s} d_{s^{'}} m, n = 1, ...., N \end{array}$
_ZMD и _ZDM - Эти матрицы вычисляют взаимодействие между металлом и диэлектриком. Эта матрица не является симметричной квадратной матрицей.
$\begin{array}{l} Z_{m n}^{M D} = - \frac{ω^{2} μ_{0}}{4 π} \sum_{p - 1}^{2} \sum_{p^{'} - 1}^{P^{'}} K_{p} \int_{t} \int_{V_{D^{'}}} {\vec{f}}_{n}^{M} (\vec{r}) \cdot {\vec{f}}_{m p^{'}} (\vec{r^{'}}) g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d \vec{r^{'}} d_{s} \\ - \frac{1}{4 π ε_{0}} \sum_{p - 1}^{2} \sum_{q - 1}^{Q} {\hat{K}}_{q} \int_{t_{D}} \int_{Ω_{q^{'}}} (\nabla_{s} \cdot {\vec{f}}_{n}^{M} (\vec{r})) f_{⊥ m q} (\vec{r^{'}}) g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d_{Ω^{'}} d_{s} \\ m = 1, ...., N_{D}; n = 1, ..., N_{M} \end{array}$
$\begin{array}{l} Z_{m n}^{D M} = - \frac{j ω μ_{0}}{4 π} \sum_{p - 1}^{2} \sum_{p^{'} - 1}^{P^{'}} K_{p^{'}} \int_{V_{D}} \int_{S_{D^{'}}} {\vec{f}}_{n p} (\vec{r}) \cdot {\vec{f}}_{m}^{M} (\vec{r^{'}}) g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d_{s^{'}} d \vec{r} \\ + \frac{1}{4 π ε_{0} ω} \sum_{p - 1}^{2} \sum_{q - 1}^{Q} {\hat{K}}_{q} \int_{Ω_{q}} \int_{S_{D^{'}}} f_{⊥ n q} (\vec{r}) \cdot (\nabla_{s} \cdot {\vec{f}}_{m}^{M} (\vec{r^{'}})) g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d_{s^{'}} d_{Ω} \\ m = 1, ...., N_{D}; n = 1, ..., N_{M} \end{array}$

где

$g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) = \frac{\exp (- j k R)}{R}, R = | \vec{r} - \vec{r^{'}} |$ - это Функция Грина свободного пространства.
$K = \frac{{\hat{ε}}^{\pm} - ε_{0}}{{\hat{ε}}^{\pm}}$ - комплексная диэлектрическая константа в каждом тетраэдре.
${\hat{K}}_{q} = K_{+} - K_{-}$ - дифференциальный контраст на каждой грани тетраэдра.

Для составной металлической структуры необходимо вычислить все четыре матрицы.

Соседняя область

Рисунок показывает типовую матрицу взаимодействия для металлической структуры _ZMM с 256 базисными функциями.

Из матричного графика взаимодействия вы наблюдаете, что матрица является диагонально доминирующей. Матрица диэлектрического взаимодействия также является диагонально доминирующей. Когда вы удаляетесь от диагонали, величина членов уменьшается. Это поведение совпадает с поведением функции Грина. Функция Грина уменьшается, когда расстояние между r и r' увеличений. Поэтому важно точно вычислить область по диагонали и близкую к диагонали.

Эта область на диагонали и вокруг нее называется соседней областью. Для металлически-диэлектрической антенны область окрестности основана на среднем размере тетраэдра.

Подробные сведения о соседних областях для металлических антенн см. в разделе «Метод решателя моментов для металлоконструкций».

Экстракция особенности

Вдоль диагонали r и r' идентичны, и заданная функция Грина становится сингулярной. Чтобы удалить особенность, экстракция выполняется на этих терминах. Уравнения для извлечения особенности _ZMM матрицы:

$\begin{array}{l} \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} ({\vec{ρ}}_{i} . {\vec{ρ}}^{'}_{j}) g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d s' d s = \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} \frac{({\vec{ρ}}_{i} . {\vec{ρ}}^{'}_{j})}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d s' d s + \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} \frac{(\exp (- j k | \vec{r} - \vec{r^{'}} |) - 1) ({\vec{ρ}}_{i} . {\vec{ρ}}^{'}_{j})}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d s' d s \\ \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d s' d s = \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d s' d s + \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} \frac{(\exp (- j k | \vec{r} - \vec{r^{'}} |) - 1)}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d s' d s \end{array}$

Два интеграла в правой части уравнений, называемые потенциальными или статическими интегралами, найдены с помощью аналитических результатов [3].

Уравнения для извлечения особенности _ZDD матрицы:

$\begin{array}{l} \int_{V_{D}} \int_{V_{D^{'}}} g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d \vec{r} d \vec{r^{'}} = \int_{V_{D}} \int_{V_{q}} \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d \vec{r} d \vec{r^{'}} + \int_{V_{D}} \int_{V_{q}} \frac{(\exp (- j k | \vec{r} - \vec{r^{'}} |) - 1)}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d \vec{r} d \vec{r^{'}} \\ \int_{Ω_{q}} \int_{Ω_{q^{'}}} g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d Ω d Ω' = \int_{Ω_{D}} \int_{Ω_{q}} \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d Ω d Ω' + \int_{S_{D}} \int_{S_{q}} \frac{(\exp (- j k | \vec{r} - \vec{r^{'}} |) - 1)}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d Ω d Ω \end{array}$

Конечные массивы

Формулировка MoM для конечных массивов такая же, как и для одного антенного элемента. Основное различие - количество возбуждений (кормов). Для конечных массивов вектор напряжения теперь является матрицей напряжений. Количество столбцов равно количеству элементов в массиве.

Для примера матрица вектора напряжения для 2x2 массив прямоугольной закрашенная фигура (с диэлектрической подложкой и без нее) имеет четыре столбца, так как каждая антенна может возбуждаться отдельно.

Бесконечный массив

Чтобы смоделировать бесконечный массив, вы изменяете MoM, чтобы учесть бесконечное поведение. Для этого вы заменяете функции свободного пространства Грина на периодические функции Грина. Периодическая функция Грина является бесконечным двойным суммированием.

Функция Грина	Периодическая функция Грина
$\begin{array}{l} g = \frac{e^{- j k R}}{R} \\ R = \| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} \| \end{array}$	$\begin{array}{l} g_{periodic} = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{j ϕ_{m n}} \frac{e^{- j k R_{m n}}}{R_{m n}} \\ R_{m n} = \sqrt{{(x - x^{'} - x_{m})}^{2} + {(y - y^{'} - y_{n})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}} \\ ϕ_{m n} = - k (x_{m} \sin θ \cos φ + y_{n} \sin θ \sin φ) \\ x_{m} = m \cdot d_{x}, y_{n} = n \cdot d_{y} \end{array}$

Функция Грина

Периодическая функция Грина

$\begin{array}{l} g = \frac{e^{- j k R}}{R} \\ R = | \vec{r} - {\vec{r}}^{'} | \end{array}$

$\begin{array}{l} g_{periodic} = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{j ϕ_{m n}} \frac{e^{- j k R_{m n}}}{R_{m n}} \\ R_{m n} = \sqrt{{(x - x^{'} - x_{m})}^{2} + {(y - y^{'} - y_{n})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}} \\ ϕ_{m n} = - k (x_{m} \sin θ \cos φ + y_{n} \sin θ \sin φ) \\ x_{m} = m \cdot d_{x}, y_{n} = n \cdot d_{y} \end{array}$

d x и _d y являются размерностями наземной плоскости, которые определяют x и y размерности единичной камеры. θ и Φ являются углами скана.

Сравнивая две функции Грина, вы наблюдаете дополнительный экспоненциальный член, который добавляется к бесконечной сумме. Этот _Φmn учитывает сканирование бесконечного массива. Периодическая функция Грина также учитывает эффект взаимного взаимодействия.

Для получения дополнительной информации см. «Бесконечные массивы».

Ссылки

[1] Harringhton, R. F. Расчет by Moment Methods. Нью-Йорк: Макмиллан, 1968.

[2] Рао, С. М., Д. Р. Уилтон и А. У. Глиссон. Электромагнитное рассеяние поверхностями произвольной формы. IEEE. Trans. Antennas and Propagation, Vol. AP-30, № 3, May 1982, pp. 409-418.

[3] Уилтон, Д. Р., С. М. Рао, А. В. Глиссон, Д. Х. Шоберт, О. М. Аль-Бундак. и С. М. Батлер. Потенциальные интегралы для равномерного и линейного распределения источников в полигональных и многогранных областях. IEEE. Транс. антенны и распространение. Том AP-30, № 3, май 1984, с. 276-281.

[4] Balanis, C.A. Antenna Theory. Анализ и проект. 3rd Ed. New York: John Wiley & Sons, 2005.

Документация