Exponenta Banner

covar

Выход и ковариация состояний системы, управляемая белым шумом

Синтаксис

P = covar(sys,W)
[P,Q] = covar(sys,W)

Описание

covar вычисляет стационарную ковариацию выходов y модели LTI sys управляется Гауссовыми входами белого шума w. Эта функция обрабатывает случаи как непрерывного, так и дискретного времени.

P = covar(sys,W) возвращает ковариацию статического выходного отклика

P=E(yyT)

учитывая интенсивность шума

E(w(t)w(τ)T)=Wδ(t−τ)(непрерывное время)E(w[k]w[l]T)=Wδkl(дискретное время)

[P,Q] = covar(sys,W) также возвращает установившееся состояние ковариации

Q=E(xxT)

когда sys является моделью пространства состояний (в противном случае Q установлено в []).

При применении к N-мерный массив LTI sys, covar возвращает многомерные массивы P, Q такие, что

P(:,:,i1,...iN) и Q(:,:,i1,...iN) являются ковариационными матрицами для модели sys(:,:,i1,...iN).

Примеры

Вычислите ковариацию выходного отклика дискретной системы SISO

H(z)=2z+1z2+0.2z+0.5,Ts=0.1

из-за Гауссова белого шума интенсивности W = 5. Напечатать

sys = tf([2 1],[1 0.2 0.5],0.1);
p = covar(sys,5)

Эти команды дают следующий результат.

p =
    30.3167

Можно сравнить этот выход covar к результатам симуляции.

randn('seed',0)
w = sqrt(5)*randn(1,1000);  % 1000 samples

% Simulate response to w with LSIM:
y = lsim(sys,w);

% Compute covariance of y values
psim = sum(y .* y)/length(w);

Это дает

psim = 
    32.6269

Два ковариационных значения p и psim не согласуются идеально из-за конечного горизонта симуляции.

Алгоритмы

Передаточные функции и модели с нулями , полюса и усиления сначала преобразуются в пространство состояний с ss.

Для моделей пространства состояний в непрерывном времени

x˙=Ax+Bwy=Cx+Dw,

установившаяся ковариация Q получается путем решения уравнения Ляпунова

AQ+QAT+BWBT=0.

В дискретном времени ковариационная Q состояния решает дискретное уравнение Ляпунова

AQAT−Q+BWBT=0.

Как за непрерывное, так и за дискретное время ковариация выходного отклика задается P = CQCT + DWDT. Для нестабильных систем P и Q бесконечны. Для систем непрерывного времени с ненулевым сквозным соединением, covar возвращает Inf для выхода ковариации P.

Ссылки

[1] Bryson, A.E. and Y.C. Ho, Applied Optimal Control, Hemisphere Publishing, 1975, pp. 458-459.

См. также

|

Представлено до R2006a

Control System Toolbox документация

Поддержка