lyap

Непрерывное решение уравнения Ляпунова

Синтаксис

lyap X = lyap(A,Q) X = lyap(A,B,C) X = lyap(A,Q,[],E)

Описание

lyap решает особые и общие формы уравнения Ляпунова. Уравнения Ляпунова возникают в нескольких областях управления, включая теорию устойчивости и изучение RMS-поведения систем.

X = lyap(A,Q) решает уравнение Ляпунова

$A X + X A^{T} + Q = 0$

где A и Q представляют квадратные матрицы одинаковых размеров. Если Q является симметричной матрицей, решение X является также симметричной матрицей.

X = lyap(A,B,C) решает уравнение Сильвестра

$A X + X B + C = 0$

Матрицы A, B, и C должны иметь совместимые размерности, но не должны быть квадратными.

X = lyap(A,Q,[],E) решает обобщенное уравнение Ляпунова

$A X E^{T} + E X A^{T} + Q = 0$

где Q - симметричная матрица. Необходимо использовать пустые квадратные скобки [] для этой функции. Если вы помещаете какие-либо значения в скобки, функция ошибается.

Ограничения

Непрерывное уравнение Ляпунова имеет уникальное решение, если собственные значения $α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}$ A и $β_{1}, β_{2}, ..., β_{n}$ из B удовлетворить

$α_{i} + β_{j} \neq 0 f o r a l l p a i r s (i, j)$

Если это условие нарушено, lyap выдает сообщение об ошибке:

Solution does not exist or is not unique.

Примеры

Пример 1

Решение уравнения Ляпунова

Решите уравнение Ляпунова

$A X + X A^{T} + Q = 0$

где

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 3 & - 4 \end{matrix}] Q = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$

Матрица A стабильна, и матрица Q положительно определена.

A = [1 2; -3 -4];  
Q = [3 1; 1 1];
X = lyap(A,Q)

Эти команды возвращают следующую матрицу X:

X =

    6.1667   -3.8333
   -3.8333    3.0000

Можно вычислить собственные значения, чтобы увидеть, что X положительно определено.

eig(X)

Команда возвращает следующий результат:

ans =

    0.4359
    8.7308

Пример 2

Решение уравнения Сильвестра

Решение уравнения Сильвестра

$A X + X B + C = 0$

где

$A = 5 B = [\begin{matrix} 4 & 3 \\ 4 & 3 \end{matrix}] C = [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}]$

A = 5;
B = [4 3; 4 3];
C = [2 1];
X = lyap(A,B,C)

Эти команды возвращают следующую матрицу X:

X =

   -0.2000   -0.0500

Алгоритмы

lyap использует стандартные программы SLICOT SB03MD и SG03AD для уравнений и SB04MD Ляпунова (SLICOT) и ZTRSYL (LAPACK) для уравнений Сильвестра.

Ссылки

[1] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, «Solution of the Matrix Equation AX + XB = C», Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.

[2] Барро, A.Y., «Численный алгоритм для решения A XA - X = Q», IEEE^® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883-885, 1977.

[3] Хаммарлинг, С.Ж., «Численное решение устойчивого, неотрицательного определенного уравнения Ляпунова», ИМА Ж. Нум. Анал., том 2, стр. 303 - 325, 1982.

[4] Penzl, T., «Численное решение обобщенных уравнений Ляпунова», Усовершенствования Компл. Math., Vol. 8, pp. 33-48, 1998.

[5] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., «A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C», IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909-913, 1979.

См. также

covar | dlyap

Представлено до R2006a

Документация