bspligui

Экспериментируйте с B-сплайном как функцией его узлов

Синтаксис

bspligui

Описание

bspligui запускает графический пользовательский интерфейс (GUI) для исследования того, как B-сплайн зависит от его узлов. Когда вы добавляете, перемещаете или удаляете узлы, вы видите, как B-сплайн и его первые три производные изменяются соответственно.

Вы наблюдаете следующие основные факты о B-сплайне с последовательностью узлов t0tk:

  • B-сплайн положителен на открытом интервале (t 0.. tk). Он равен нулю в концевых узлах, t 0 и tk, если только они не являются узлами кратности k. B-сплайн также равен нулю вне закрытого интервала [t 0.. tk], но эта часть B-сплайна не показана в графическом интерфейсе пользователя.

  • Даже на максимуме B-сплайн никогда не бывает больше 1. Значение, 1 внутри интервала (t 0.. tk), достигает только в узле кратности не менее k -1. С другой стороны, этот максимум не может быть произвольно маленьким; это кажется самым маленьким, когда нет узлов интерьера.

  • B-сплайн является кусочно-полиномом порядка k, т.е. его полиномиальные части все имеют степень < k. Для k = 1:4 можно даже заметить, что все его ненулевые полиномиальные части имеют точную степень k-1, рассмотрев первые три производные B-сплайна. Это означает, что степень поднимается/понижается на 1 каждый раз, когда вы добавляете/удаляете узел.

  • Каждый узел tj является пропуском для B-сплайна, но допустимо, чтобы несколько узлов совпадали. Поэтому количество нетривиальных полиномиальных частей максимально k (когда все узлы разные) и минимально 1 (когда нет «внутренних» узлов), и возможно любое число от 1 до k.

  • Гладкость B-сплайна через пропуск зависит от кратности соответствующего узла. Если пропуск происходит в последовательности узлов m раза, то (k - m) вторая производная B-сплайна имеет переход через этот пропуск, в то время как все производные порядка ниже (k - m) непрерывны через этот пропуск. Таким образом, варьируя кратность узла, можно управлять плавностью B-сплайна на этом узле.

  • Когда один узел приближается к другому, самая высокая производная, которая непрерывна через оба, развивает переход, и более высокие производные становятся неограниченными. Но ничего драматического не происходит ни в одной из производных нижнего порядка.

  • B-сплайн имеет форму колокола в следующем смысле: если первая производная не идентично равна нулю, то она имеет ровно одно изменение знака в интервале (t 0.. tk), отсюда сам B-сплайн является унимодальным, что означает, что он имеет ровно один максимум. Кроме того, если вторая производная не равна одинаково нулю, то она имеет ровно два изменения знака в этом интервале. Наконец, если третья производная не равна одинаково нулю, то она имеет ровно три изменения знака в этом интервале. Это иллюстрирует тот факт, что для j = 0: k - 1, если j-я производная не идентично равна нулю, то она имеет точно j знака изменения в интервале (t 0.. tk); именно это свойство подразумевается под термином «колокольчатый». Для того чтобы это утверждение было строго верным, нужно быть осторожным со значением «изменение знака» в случае, если есть узлы с кратностями. Например, (k -1) st производная кусочно константа, поэтому она не может иметь k -1 изменений знака в прямом смысле, если нет k полиномиальных частей, то есть, если только все узлы не просты.

См. также

| |