Документация

О полиномиальных моделях

Полиномиальные модели для кривых заданы

где n + 1 является порядком полинома, n - степень полинома и 1 ≤ <reservedrangesplaceholder0> ≤ 9. Порядок задает количество коэффициентов, которые будут соответствовать, и степень дает самую высокую степень переменной предиктора.

В этом руководстве полиномы описаны в терминах их степени. Для примера полином третьей степени (кубический) задается как

Полиномы часто используются, когда требуется простая эмпирическая модель. Можно использовать полиномиальную модель для интерполяции или экстраполяции или для характеристики данных с помощью глобальной подгонки. Для примера преобразование температуры в напряжение для термопары типа J в диапазоне от 0 до 760^o температурная область значений описана полиномом седьмой степени.

Основные преимущества аппроксимаций полиномом включают разумную гибкость для данных, которая не слишком сложна, и они линейны, что означает, что процесс подгонки прост. Главный недостаток заключается в том, что подгонки высокой степени могут стать нестабильными. Кроме того, полиномы любой степени могут обеспечить хорошую подгонку в области значений данных, но могут дико различаться вне этой области значений. Поэтому проявляйте осторожность при экстраполяции полиномами.

Когда вы подбираетесь с полиномами высокой степени, процедура аппроксимации использует значения предиктора в качестве базиса для матрицы с очень большими значениями, что может привести к проблемам масштабирования. Чтобы справиться с этим, вы должны нормализовать данные, центрируя их в нулевом среднем и масштабируя их до стандартного отклонения модулей измерения. Нормализуйте данные путем установки флажка Центр и шкалу в приложении Аппроксимирование Кривыми.

Построение полиномиальных моделей в интерактивном режиме

Для кривых, Polynomial модель подходит для полинома в x.

Для поверхностей, Polynomial модель подходит для полинома в x и y.

Можно задать следующие опции:

Для примера сравнения различных аппроксимаций полиномом см. «Сравнение подгонок в приложении Аппроксимирование Кривыми».

Подгонка полиномов с использованием функции подгонки

В этом примере показано, как использовать fit функция для аппроксимации полиномов к данным. Шаги строятся и строят полиномы кривых и поверхности, задают опции подгонки, возвращают качество статистики подгонки, вычисляют предсказания и показывают доверительные интервалы.

Модель полиномиальной библиотеки является входным параметром к функциям подгонки и fittype. Задайте тип модели poly далее следует степень x (до 9), или x и y (до 5). Для примера задаете квадратичную кривую с 'poly2' , или кубическая поверхность с 'poly33' .

load census;
fitpoly2=fit(cdate,pop,'poly2')
% Plot the fit with the plot method.
plot(fitpoly2,cdate,pop)
% Move the legend to the top left corner.
legend('Location','NorthWest' );

fitpoly2 = 

     Linear model Poly2:
     fitpoly2(x) = p1*x^2 + p2*x + p3
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =    0.006541  (0.006124, 0.006958)
       p2 =      -23.51  (-25.09, -21.93)
       p3 =   2.113e+04  (1.964e+04, 2.262e+04)

fitpoly3=fit(cdate,pop,'poly3')
plot(fitpoly3,cdate,pop)

Warning: Equation is badly conditioned. Remove repeated data points or try
centering and scaling. 

fitpoly3 = 

     Linear model Poly3:
     fitpoly3(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =   3.855e-06  (-4.078e-06, 1.179e-05)
       p2 =    -0.01532  (-0.06031, 0.02967)
       p3 =       17.78  (-67.2, 102.8)
       p4 =       -4852  (-5.834e+04, 4.863e+04)

fit3=fit(cdate, pop,'poly3','Normalize','on','Robust','on')
plot(fit3,cdate,pop)

fit3 = 

     Linear model Poly3:
     fit3(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4
       where x is normalized by mean 1890 and std 62.05
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =     -0.4619  (-1.895, 0.9707)
       p2 =       25.01  (23.79, 26.22)
       p3 =       77.03  (74.37, 79.7)
       p4 =       62.81  (61.26, 64.37)

fitoptions poly3

ans =

    Normalize: 'off'
      Exclude: []
      Weights: []
       Method: 'LinearLeastSquares'
       Robust: 'Off'
        Lower: [1x0 double]
        Upper: [1x0 double]

[fit4, gof]=fit(cdate, pop,'poly3','Normalize','on');
gof

gof = 

  struct with fields:

           sse: 149.7687
       rsquare: 0.9988
           dfe: 17
    adjrsquare: 0.9986
          rmse: 2.9682

plot(fit4,cdate, pop,'residuals');

plot( cdate, pop, 'o' );
xlim( [1900, 2050] );
hold on
plot( fit4 );
hold off

plot(fit4,cdate,pop,'predobs')

plot( cdate, pop, 'o' );
xlim( [1900, 2050] )
hold on
plot( fit4, 'predobs' );
hold off

cdateFuture = (2000:10:2020).';
popFuture = fit4( cdateFuture )

popFuture =

  276.9632
  305.4420
  335.5066

ci = predint( fit4, cdateFuture, 0.95, 'observation' )

ci =

  267.8589  286.0674
  294.3070  316.5770
  321.5924  349.4208

plot(cdate, pop, 'o');
xlim([1900, 2040])
hold on
plot(fit4)
h = errorbar(cdateFuture,popFuture,popFuture-ci(:,1),ci(:,2)-popFuture,'.');
hold off
legend('cdate v pop','poly3','prediction','Location','NorthWest')

load franke;
fitsurface=fit([x,y],z, 'poly44','Normalize','on')
plot(fitsurface, [x,y],z)

     Linear model Poly44:
     fitsurface(x,y) = p00 + p10*x + p01*y + p20*x^2 + p11*x*y + p02*y^2 + p30*x^3 
                    + p21*x^2*y + p12*x*y^2 + p03*y^3 + p40*x^4 + p31*x^3*y 
                    + p22*x^2*y^2 + p13*x*y^3 + p04*y^4
       where x is normalized by mean 1982 and std 868.6
       and where y is normalized by mean 0.4972 and std 0.2897
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p00 =      0.3471  (0.3033, 0.3909)
       p10 =     -0.1502  (-0.1935, -0.107)
       p01 =     -0.4203  (-0.4637, -0.377)
       p20 =      0.2165  (0.1514, 0.2815)
       p11 =      0.1717  (0.1175, 0.2259)
       p02 =     0.03189  (-0.03351, 0.09729)
       p30 =     0.02778  (0.00749, 0.04806)
       p21 =     0.01501  (-0.002807, 0.03283)
       p12 =    -0.03659  (-0.05439, -0.01879)
       p03 =      0.1184  (0.09812, 0.1387)
       p40 =    -0.07661  (-0.09984, -0.05338)
       p31 =    -0.02487  (-0.04512, -0.004624)
       p22 =   0.0007464  (-0.01948, 0.02098)
       p13 =    -0.02962  (-0.04987, -0.009366)
       p04 =    -0.02399  (-0.0474, -0.0005797)

Полином модели модели подгонки

Все методы аппроксимации имеют свойства по умолчанию Normalize, Exclude, Weights, и Method. Для получения примера смотрите Определение Опций подгонки в командной строке.

Полиномиальные модели имеют Method значение свойства LinearLeastSquares, и дополнительные свойства опций подгонки, показанные в следующей таблице. Для получения дополнительной информации обо всех опциях подгонки, смотрите fitoptions страница с описанием.

Определение полиномиальных членов для полиномиальных поверхностных аппроксимаций

Можно управлять терминами для включения в модель полиномиальной поверхности, задавая степени для входов x и y. Если i - степень в x, а j - степень в y, общая степень полинома является максимальной из i и j. Степень x в каждом члене меньше или равна i, и степень y в каждом члене меньше или равна j. Максимум и для i, и для j - пять.

Для примера:

poly21  Z = p00 + p10*x + p01*y + p20*x^2 + p11*x*y

poly13  Z = p00 + p10*x + p01*y + p11*x*y + p02*y^2 
                      + p12*x*y^2 + p03*y^3

poly55  Z = p00 + p10*x + p01*y +...+ p14*x*y^4 
                      + p05*y^5

Для примера, если вы задаете степень x 3 и степень y 2, имя модели poly32. Условия модели следуют форме в этой таблице.

Общая степень полинома не может превышать максимума в i и j. В этом примере такие термины, как x³y и x²y² исключены, потому что их степени равны более 3. В обоих случаях общая степень 4.