Belsley collinearity diagnostics оцениваете силу и источники коллинеарности среди переменных в многофакторные линейные регрессии.

Чтобы оценить коллинеарность, программа вычисляет сингулярные значения масштабированной матрицы переменных, X, и затем преобразует их в индексы условий. Условные индексы идентифицируют количество и силу любых близких зависимостей между переменными в матрице переменных. Программа разлагает отклонение обычных оценок коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов (OLS) с точки зрения сингулярных значений, чтобы идентифицировать переменные, участвующие в каждой близкой зависимости, и степень, в которой зависимости ухудшают регрессию.

condition indices для масштабированной матрицы X идентифицировать количество и силу любых близких зависимостей в X.

Для масштабированных матричных X с p столбцами и сингулярными значениями $$S_1\ge S_2\ge \dots \ge S_p$$, индексы условия столбцов X $$S_1/S_j,$$ j = 1..., p.

Все индексы условий ограничены одним и числом обусловленности.

condition number масштабированной матричной X является общей диагностикой для обнаружения коллинеарности.

Для масштабированных матричных X с p столбцами и сингулярными значениями $$S_1\ge S_2\ge \dots \ge S_p$$, число обусловленности $$S_1/S_p.$$

Число обусловленности достигает своей нижней границы единицы, когда столбцы масштабированных X ортонормальны. Число обусловленности увеличивается, поскольку изменения показывают большую зависимость.

Ограничение числа обусловленности как диагностики заключается в том, что она не обеспечивает специфику на силу и источники любых близких зависимостей.

A multiple linear regression model является моделью вида $$Y=X\beta +\epsilon .$$ X - проект матрица регрессионных переменных, а β - вектор коэффициентов регрессии.

singular values масштабированных матричных X являются диагональными элементами матричных S в сингулярном разложении $$US{V}^{\prime }.$$

В порядке убывания сингулярные значения масштабированной матрицы, X с p столбцами, $$S_1\ge S_2\ge \dots \ge S_p$$.

Variance-decomposition proportions идентифицируете группы вариатов, участвующих в близких зависимостях, и степень, в которой зависимости ухудшают регрессию.

Из сингулярного разложения $$US{V}^{\prime }$$ масштабируемого проекта матрицы X (с p столбцами), позвольте:

Дисперсия оценки OLS нескольких i коэффициентов линейной регрессии, _βi, пропорциональна сумме

где $$V(i,j)$$ обозначает элемент (i, j) V.

Пропорция дисперсии-разложения (i, j) - доля членов, j в сумме относительно всей суммы, j = 1,..., p.

Условия $$S_j^2$$ являются собственными значениями масштабированных $$X^{\prime }X$$. Таким образом, большие пропорции дисперсии-разложения соответствуют небольшим собственным значениям $$X^{\prime }X$$, общая диагностика коллинеарности. Сингулярное разложение обеспечивает более прямое, численно стабильное представление собственной системы масштабируемых $$X^{\prime }X$$.