Предположим, что скрытый процесс является случайной ходьбой. Следовательно, уравнение состояния

где $$u_t$$ является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Сгенерируйте случайную серию из 100 наблюдений $$x_t$$, принимая, что серия начинается с 1,5.

T = 100; 
rng(1); % For reproducibility 
u = randn(T,1);
x = cumsum([1.5;u]);
x = x(2:end);

Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной ошибке измерения. Следовательно, уравнение наблюдения

где $${\epsilon }_t$$ является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.

y = x + randn(T,1);

Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний. Предположим, что состояние является стационарным процессом AR (1). Тогда модель пространства состояний для оценки

Задайте матрицы коэффициентов. Использование NaN значения для неизвестных параметров.

A = NaN;
B = NaN;
C = 1;
D = NaN;

Создайте модель рассеянного пространства состояний путем передачи матриц коэффициентов в dssm и указание, что тип состояния является рассеянным.

StateType = 2;
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',StateType);

Mdl является dssm объект модели. Программное обеспечение устанавливает значения для среднего начального состояния и отклонения равными 0 и Inf. Проверьте, что модель задана правильно, используя отображение в Командном окне.

Найдите хороший набор начальных параметров для оценки.

params0 = [1 1 1]; % Initial values chosen arbitrarily
Output = refine(Mdl,y,params0);

Output - массив структур 1 на 5, содержащий рекомендуемые начальные значения параметров.

Выберите начальные значения параметров, соответствующие наибольшей логарифмической правдоподобности

logL = cell2mat({Output.LogLikelihood})';
[~,maxLogLIndx] = max(logL)

maxLogLIndx = 3

refinedParams0 = Output(maxLogLIndx).Parameters

refinedParams0 = 1×3

    0.9781    0.8965    0.9336

Description = Output(maxLogLIndx).Description

Description = 
'Loose bound interior point'

Алгоритм, который приводит к наибольшему значению логарифмической правдоподобности Quasi-Newton, который является первым struct в массиве структур Output.

Оценка Mdl использование refinedParams0, который является вектором уточненных начальных значений параметров.

EstMdl = estimate(Mdl,y,refinedParams0,'lb',[-Inf,0,0]);

Method: Maximum likelihood (fmincon)
Effective Sample size:             99
Logarithmic  likelihood:     -179.018
Akaike   info criterion:      364.036
Bayesian info criterion:      371.851
      |     Coeff       Std Err   t Stat     Prob  
---------------------------------------------------
 c(1) |  0.97805       0.02947   33.18393   0      
 c(2) |  0.89651       0.18465    4.85529  0.00000 
 c(3) |  0.93355       0.15187    6.14707   0      
      |                                            
      |   Final State   Std Dev    t Stat    Prob  
 x(1) | -3.95108       0.72269   -5.46719   0      

Коэффициент модели находится внутри двух стандартных ошибок 1, что предполагает, что процессы состояния являются случайной прогулкой.

Предположим, что связь между уровнем безработицы и номинальным валовым национальным продуктом (ННП) линейна. Предположим далее, что уровень безработицы является серией AR (1). Символически, и в форме пространство состояний, модель является

где:

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит данные о уровне безработицы и рядах nGNP.

load Data_NelsonPlosser

Предварительно обработайте данные, взяв первое различие уровня безработицы и преобразовав nGNP в серию возвратов. Удалите наблюдения, соответствующие последовательности NaN значения в начале ряда уровней безработицы.

isNaN = any(ismissing(DataTable),2);       % Flag periods containing NaNs
gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN);
y = DataTable.UR(~isNaN);
y = diff(y);
T = size(y,1);
Z = [ones(T,1) price2ret(gnpn)];

Этот пример продолжает использовать серию без NaN значения. Однако, используя среду фильтра Калмана, программное обеспечение может включать серии, содержащие отсутствующие значения.

Задайте матрицы коэффициентов.

A = NaN;
B = NaN;
C = 1;

Создайте модель пространства состояний с помощью dssm путем подачи матриц коэффициентов и определения, что значения состояний исходят из диффузного распределения. Спецификация диффуза указывает на полное невежество о моментах начального распределения.

StateType = 2;
Mdl = dssm(A,B,C,'StateType',StateType);

Mdl является dssm объект модели.

Найдите хороший набор начальных параметров для оценки.

params0 = [150 1000]; % Initial values chosen arbitrarily
Beta0 = [1 -100];
Output = refine(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,'Beta0',Beta0);

Output - массив структур 1 на 5, содержащий рекомендуемые начальные значения параметров.

Выберите начальные значения параметров, соответствующие наибольшей логарифмической правдоподобности.

logL = cell2mat({Output.LogLikelihood})';
[~,maxLogLIndx] = max(logL)

maxLogLIndx = 5

refinedParams0 = Output(maxLogLIndx).Parameters

refinedParams0 = 1×4

    0.2070   -1.3229    1.3610  -24.8848

Description = Output(maxLogLIndx).Description

Description = 
'Starting value shrinkage'

Алгоритм, который приводит к наибольшему значению логарифмической правдоподобности Nelder-Mead simplex, которая является вторым struct в массиве структур Output.

Оценка Mdl использование уточненных начальных значений параметров refinedParams0.

EstMdl = estimate(Mdl,y,refinedParams0(1:(end - 2)),'Predictors',Z,...
    'Beta0',refinedParams0((end - 1):end));

Method: Maximum likelihood (fminunc)
Effective Sample size:             60
Logarithmic  likelihood:     -101.924
Akaike   info criterion:      211.849
Bayesian info criterion:      220.292
           |      Coeff       Std Err    t Stat     Prob  
----------------------------------------------------------
 c(1)      |   0.20700       0.12330     1.67891  0.09317 
 c(2)      |  -1.32287       0.08415   -15.71964   0      
 y <- z(1) |   1.36101       0.23736     5.73388   0      
 y <- z(2) | -24.88484       1.78021   -13.97861   0      
           |                                              
           |    Final State   Std Dev     t Stat    Prob  
 x(1)      |   1.21611        0           Inf      0