A state-space model является дискретной стохастической моделью, которая содержит два набора уравнений:
Один из них, описывающий, как латентный процесс изменяется во времени (state equation)
Другой, описывающий, как наблюдатель измеряет латентный процесс в каждом периоде (observation equation)
Символически можно написать линейную, многомерную, изменяющуюся во времени Гауссову модель пространства состояний с помощью следующей системы уравнений
для t = 1,..., T.
является mt -мерным вектором состояния, описывающим динамику некоторого, возможно, ненаблюдаемого, явления в период t. Начальное распределение состояний (x 0) является Гауссовым со средним μ 0 и ковариационной матрицей Σ 0.
является nt -мерным вектором наблюдения, описывающим, как состояния измеряются наблюдателями в период t.
At - mt -by- m t - 1 матрица перехода состояний, описывающая, как состояния в момент времени t переходом к состояниям в периоде t - 1.
Bt - mt матрица kt возмущения состояния, описывающая, как состояния в период t объединяться с инновациями в период t.
Ct - nt -by mt матрица чувствительности к измерениям, описывающая, как наблюдения в t периода связаны с состояниями в t периоде.
Dt - матрица nt -by ht observation-innovation, описывающая, как наблюдения в t периода сочетаются с ошибками наблюдений в t периода.
Матрицы At, Bt, Ct и Dt называются coefficient matrices и могут содержать неизвестные параметры.
является kt -мерным, Гауссовым, белошумовым, единично-дисперсионным вектором нарушений порядка состояния в период t.
является ht -мерным, Гауссовым, белошумовым, единично-дисперсионным вектором инноваций наблюдений в t периоде.
εt и ut являются некоррелированными.
Для инвариантных по времени моделей пространства состояний,
- строка t T -by d матрицы предикторов Z. Каждый столбец Z соответствует предиктору, а каждая последовательная строка - последующему периоду. Если наблюдения являются многомерными, то все предикторы дефлируют каждое наблюдение.
β является d -by - n матрицей коэффициентов регрессии для Zt.
Чтобы записать инвариантную по времени модель пространства состояний, отбросьте t индексы всех матриц коэффициентов и размерностей.
Модель рассеянного пространства состояний является моделью пространства состояний, которая может содержать, по крайней мере, одно состояние с бесконечным начальным отклонением, называемой diffuse state. В дополнение к бесконечному начальному отклонению, все диффузные состояния некоррелированы со всеми другими состояниями в модели. Существует несколько мотиваций для использования моделей рассеянного пространства состояний:
Изучение очень ранних начальных точек некоторых нестационарных систем, таких как процесс случайной ходьбы, приводит к начальным отклонениям распределения, которые приближаются к бесконечности.
Бесконечная спецификация отклонения для начального распределения состояний указывает на полное невежество или отсутствие предшествующих знаний о диффузных состояниях. Преимущество этой спецификации состоит в том, что анализ этих состояний более объективен. То есть наблюдения, а не дополнительные предположения о распределении, помогают в понимании диффузных состояний. Недостатком является то, что апостериорные распределения состояний могут быть неподходящими, и функция правдоподобия неограниченна. Однако с достаточным количеством данных и идентифицируемой Гауссовой моделью пространства состояний, фильтрованными и сглаженными состояниями и вероятностью, основанной на них, можно вычислить с помощью диффузного фильтра Калмана.
Представьте статическое начальное состояние как неизвестный параметр, приписав ему бесконечное отклонение.
В time-invariant модели пространства состояний:
Матрицы коэффициентов эквивалентны для всех периодов.
Количество состояний, нарушений порядка состояний, наблюдений и инноваций наблюдений одинаково для всех периодов.
Для примера для всех t следующая система уравнений
представляет собой инвариантную по времени модель пространства состояний.
В time-varying модели пространства состояний:
Матрицы коэффициентов могут меняться от периода к периоду.
Количество состояний, нарушений порядка состояний, наблюдений и инноваций наблюдений может изменяться от периода к периоду, dimension-varying model. Для примера это может произойти, если происходит сдвиг режима или одно из состояний или наблюдений не может быть измерено во время временной системы координат дискретизации. Кроме того, можно смоделировать сезонность с помощью изменяющихся во времени моделей.
Чтобы проиллюстрировать сдвиг режима, предположим, для t = 1,.., 10
для t = 11
и для t = 12,.., T
Существует три набора матриц перехода состояний, в то время как существует только два набора других матриц коэффициентов.
Чтобы создать стандартную или диффузную модель пространства состояний, используйте ssm или dssm, соответственно. Для инвариантных по времени моделей явным образом задайте параметрическую форму вашей модели пространства состояний путем подачи матриц коэффициентов. Для варианта во времени, сложных моделей или моделей, которые требуют ограничений, задайте функцию отображения параметр-в-матрицу. Программное обеспечение может вывести тип состояния (стационарное, постоянное или нестационарное), но лучшей практике предоставить тип состояния, используя, для примера, StateType аргумент пары "имя-значение".
Фильтрация и сглаживание состояний заданного ssm или dssm модель, программное обеспечение использует стандартный фильтр Калмана или диффузный фильтр Калмана. Для реализации либо программного обеспечения требуются параметры начального распределения состояний (x 0).
Для стационарных состояний (StateType является 0), начальные средства, отклонения и ковариации являются конечными, и программное обеспечение выводит их. Однако можно задать другие значения, используя свойства Mean0 и Cov0, и запись через точку.
Для состояний, которые являются постоянными для всех периодов (StateType является 1), начальное значение состояния равно 1, и ковариации равны 0.
Для нестационарных или диффузных состояний (StateType является 2):
Для стандартной модели пространства состояний начальные средства состояний 0 и начальное отклонение состояний 1e7 по умолчанию. Чтобы задать начальное состояние ковариации Inf, создать dssm вместо этого моделируйте объект.
Для моделей в диффузном пространстве состояний начальное средство состояния 0, и начальное отклонение состояний Inf.
[1] Дурбин Дж., и С. Дж. Копман. Анализ временных рядов по методам пространства состояний. 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2012.