Оценка изменяющейся во времени модели рассеянного пространства состояний

Открыть скрипт

Этот пример показывает, как создать и оценить модель рассеянного пространства состояний, содержащую изменяющиеся во времени параметры.

Предположим, что модель AR (2) и MA (1) содержат латентный процесс. Существует 50 периодов, и процесс MA (1) выпадает из модели на последние 25 периодов. Следовательно, уравнение состояния для первых 25 периодов является

$\begin{array}{l}
{x_{1,t}} = 0.7{x_{1,t - 1}} - 0.2{x_{1,t - 2}} + {u_{1,t}}\\
{x_{2,t}} = {u_{2,t}} + 0.6{u_{2,t - 1}}.
\end{array}$

Для последних 25 периодов уравнение состояния является

${x_{1,t}} = 0.7{x_{1,t - 1}} - 0.2{x_{1,t - 2}} + {u_{1,t}},$

где $u_{1,t}$ и $u_{2,t}$ являются Гауссовыми со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Сгенерируйте случайную серию из 50 наблюдений от $x_{1,t}$ и, $x_{2,t}$ принимая, что серия начинается с 1,5 и 1, соответственно.

T = 50;
ARMdl = arima('AR',{0.7,-0.2},'Constant',0,'Variance',1);
MAMdl = arima('MA',0.6,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = [1.5 1; 1.5 1];
rng(1);
x = [simulate(ARMdl,T,'Y0',x0(:,1)),...
    [simulate(MAMdl,T/2,'Y0',x0(:,2));nan(T/2,1)]];

Последние 25 значений для моделируемых данных MA (1) отсутствуют.

Латентные процессы измеряются с помощью

${y_t} = 2\left( {{x_{1,t}} + {x_{2,t}}} \right) + {\varepsilon _t}$

за первые 25 периодов, и

${y_t} = 2{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}$

за последние 25 периодов. $\varepsilon_t$ является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Сгенерируйте наблюдения, используя процесс случайного, скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения.

y = 2*sum(x','omitnan')' + randn(T,1);

Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний. Если коэффициенты являются неизвестными параметрами, модель пространства состояний

$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}\\
{{x_{3,t}}}\\
{{x_{4,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&{{\theta _1}}\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&0\\
0&1\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_{1,t}}}\\
{{u_{2,t}}}
\end{array}} \right]\\
{y_t} = a({x_{1,t}} + {x_{3,t}}) + {\varepsilon _t}
\end{array}{\rm for\;}t = 1,...,25,$

$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}{\rm for\;}t = 26,$

$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}\\
1&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}{\rm for\;}t = 27,...,50.$

Написание функции, которая задает, как параметры в params сопоставить с матрицами модели пространства состояний, начальными значениями состояний и типом состояния.


% Copyright 2015 The MathWorks, Inc.

function [A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = diffuseAR2MAParamMap(params,T)
%diffuseAR2MAParamMap Time-variant diffuse state-space model parameter
%mapping function
%
% This function maps the vector params to the state-space matrices (A, B,
% C, and D) and the type of state (StateType). From periods 1 to T/2, the
% state model is an AR(2) and an MA(1) model, and the observation model is
% the sum of the two states. From periods T/2 + 1 to T, the state model is
% just the AR(2) model.  The AR(2) model is diffuse.
    A1 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 params(3); 0 0 0 0]};
    B1 = {[1 0; 0 0; 0 1; 0 1]}; 
    C1 = {params(4)*[1 0 1 0]};
    Mean0 = [];
    Cov0 = [];
    StateType = [2 2 0 0];
    A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]};
    B2 = {[1; 0]};
    A3 = {[params(1) params(2); 1 0]};
    B3 = {[1; 0]}; 
    C3 = {params(5)*[1 0]};
    A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)];
    B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)];
    C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)];
    D = 1;
end

Сохраните этот код в файле с именем diffuseAR2MAParamMap на пути MATLAB ®.

Создайте модель пространства состояний путем передачи функции diffuseAR2MAParamMap как указатель на функцию, чтобы dssm.

Mdl = dssm(@(params)diffuseAR2MAParamMap(params,T));

dssm неявно задает модель рассеянного пространства состояний. Обычно вы не можете проверить модели рассеянного пространства состояний, которые неявно созданы.

Чтобы оценить параметры, передайте наблюдаемые отклики (y) к estimate . Задайте положительные начальные значения для неизвестных параметров.

params0 = 0.1*ones(5,1);
EstMdl = estimate(Mdl,y,params0)

Method: Maximum likelihood (fminunc)
Effective Sample size:             48
Logarithmic  likelihood:     -110.313
Akaike   info criterion:      230.626
Bayesian info criterion:      240.186
      |     Coeff       Std Err   t Stat     Prob  
---------------------------------------------------
 c(1) |  0.44041       0.27687    1.59069  0.11168 
 c(2) |  0.03949       0.29585    0.13349  0.89380 
 c(3) |  0.78364       1.49222    0.52515  0.59948 
 c(4) |  1.64260       0.66736    2.46134  0.01384 
 c(5) |  1.90409       0.49374    3.85648  0.00012 
      |                                            
      |   Final State   Std Dev    t Stat    Prob  
 x(1) | -0.81932       0.46706   -1.75420  0.07940 
 x(2) | -0.29909       0.45939   -0.65107  0.51500 

EstMdl = 


State-space model type: <a href="matlab: doc dssm">dssm</a>

State vector length: Time-varying
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: Time-varying
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: 50

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...

State equations of period 1, 2, 3,..., 25:
x1(t) = (0.44)x1(t-1) + (0.04)x2(t-1) + u1(t)
x2(t) = x1(t-1)
x3(t) = (0.78)x4(t-1) + u2(t)
x4(t) = u2(t)

State equations of period 26:
x1(t) = (0.44)x1(t-1) + (0.04)x2(t-1) + u1(t)
x2(t) = x1(t-1)

State equations of period 27, 28, 29,..., 50:
x1(t) = (0.44)x1(t-1) + (0.04)x2(t-1) + u1(t)
x2(t) = x1(t-1)


Observation equation of period 1, 2, 3,..., 25:
y1(t) = (1.64)x1(t) + (1.64)x3(t) + e1(t)

Observation equation of period 26, 27, 28,..., 50:
y1(t) = (1.90)x1(t) + e1(t)


Initial state distribution:

Initial state means
 x1  x2  x3  x4 
  0   0   0   0 

Initial state covariance matrix
     x1   x2   x3    x4 
 x1  Inf  0     0     0 
 x2  0    Inf   0     0 
 x3  0    0    1.61   1 
 x4  0    0     1     1 

State types
    x1       x2        x3          x4     
 Diffuse  Diffuse  Stationary  Stationary

Предполагаемые параметры находятся в пределах одной стандартной ошибки от их истинных значений, но стандартные ошибки довольно высоки. Поверхности вероятностей моделей пространства состояний могут содержать локальные максимумы. Поэтому попробуйте несколько начальных значений параметров или рассмотрите использование refine.

См. также

dssm | estimate | refine

Документация

Оценка изменяющейся во времени модели рассеянного пространства состояний

См. также

Похожие примеры

Подробнее о

Документация по Econometrics Toolbox

Поддержка