Теория оптимизации портфеля

Задачи оптимизации портфеля

Задачи оптимизации портфеля включают определение портфелей, которые удовлетворяют трем критериям:

Минимизируйте прокси для риска.
Совпадает или превышает значение прокси для возврата.
Удовлетворить основные требования к выполнимости.

Портфели являются точками из допустимого набора активов, которые составляют вселенную активов. Портфель определяет владения или веса в каждом отдельном активе во вселенной активов. Конвенция состоит в том, чтобы определить портфели с точки зрения весов, хотя инструменты оптимизации портфеля работают и с холдингами.

Набор допустимых портфелей обязательно является непустым, закрытым и ограниченным набором. Прокси для риска является функцией, которая характеризует или изменчивость, или потери, связанные с выбором портфеля. Прокси для возврата является функцией, которая характеризует валовые или чистые выгоды, связанные с выбором портфеля. Термины «риск» и «риск прокси» и «возврата» и «возврата прокси» являются взаимозаменяемыми. Фундаментальное понимание Markowitz (см. Оптимизация портфеля) заключается в том, что цель задачи выбора портфеля состоит в поиске минимального риска для заданного уровня возврата и поиске максимального возврата для заданного уровня риска. Портфели, удовлетворяющие этим критериям, являются эффективными портфелями, и график рисков и возвратов этих портфелей формирует кривую, называемую efficient frontier.

Спецификация задачи портфеля

Чтобы задать задачу оптимизации портфеля, вам нужно следующее:

Прокси для возврата портфеля (μ)
Прокси для портфельного риска (Σ)
Набор допустимых портфелей (X), называемый набором портфелей

Financial Toolbox™ имеет три объекта для решения конкретных типов задач оптимизации портфеля:

The Portfolio объект поддерживает оптимизацию портфеля со средними дисперсиями (см. Markowitz [46], [47] в Portfolio Optimization). Этот объект имеет валовые или чистые возвраты портфеля в качестве прокси возврата, отклонение возвратов портфеля в качестве прокси риска и набор портфелей, который является любой комбинацией заданных ограничений для формирования набора портфелей.
The PortfolioCVaR объект реализует то, что известно как условная оптимизация портфеля в группе риска (см. Rockafellar и Uryasev [48], [49] в Portfolio Optimization), которое обычно упоминается как оптимизация портфеля CVaR. Оптимизация портфеля CVaR работает с теми же возвратами прокси и наборами портфелей, что и оптимизация портфеля со средними дисперсиями, но использует условную оценку риска возвратов портфеля в качестве прокси риска.
The PortfolioMAD объект реализует то, что известно как оптимизация портфеля по среднему абсолютному отклонению (см. Konno и Yamazaki [50] в Portfolio Optimization), которое обычно упоминается как оптимизация портфеля MAD. Оптимизация портфеля MAD работает с теми же прокси возврата и наборами портфелей, что и оптимизация портфеля средних дисперсий, но использует возвраты портфеля средних абсолютных отклонений в качестве прокси риска.

Возврат прокси

Прокси для возврата портфеля является функцией $μ : X \to R$ на наборе портфолио $X \subset R^{n}$ который характеризует вознаграждения, связанные с выбором портфеля. Обычно прокси для возврата портфеля имеет две общие формы: валовые и чистые возвраты портфеля. Оба возврата портфеля формируют отдельную ставку без r риска 0 так что портфель $x \in X$ содержит только рискованные активы.

Независимо от базового распределения возвратов активов, набор S возвратов активов _y1,..., _yS имеет среднее значение возврата активов

$m = \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} y_{s},$

и (выборка) ковариация возвратов активов

$C = \frac{1}{S - 1} \sum_{s = 1}^{S} (y_{s} - m) {(y_{s} - m)}^{T} .$

Эти моменты (или альтернативные оценки, которые характеризуют эти моменты) используются непосредственно в оптимизации портфеля средних дисперсий, чтобы сформировать прокси для риска портфеля и возврата.

Валовые возвраты портфеля

Валовой возврат портфеля для портфеля $x \in X$ является

$μ (x) = r_{0} + {(m - r_{0} 1)}^{T} x,$

где:

r 0 является безрисковой частотой (скаляром).

m - среднее значение возвратов активов (n вектор).

Если веса портфеля равны 1, безрисковая ставка нерелевантна. Свойства в Portfolio объект для определения валовых возвратов портфеля:

RiskFreeRate для _r0
AssetMean для m

Чистые возвраты портфеля

Чистый возврат портфеля для портфеля $x \in X$ является

$μ (x) = r_{0} + {(m - r_{0} 1)}^{T} x - b^{T} \max {0, x - x_{0}} - s^{T} \max {0, x_{0} - x},$

где:

r 0 является безрисковой частотой (скаляром).

m - среднее значение возвратов активов (n вектор).

b - пропорциональная стоимость приобретения активов (n вектор).

s - пропорциональная стоимость продажи активов (n вектор).

Можно также включить фиксированные транзакционные затраты в эту модель. Хотя в этом случае необходимо включать в такие затраты цены. Свойства в Portfolio объект для определения чистых возвратов портфеля:

RiskFreeRate для r 0
AssetMean для m
InitPort для x 0
BuyCost для b
SellCost для s

Прокси риска

Прокси для портфельного риска является функцией $σ : X \to R$ на наборе портфолио $X \subset R^{n}$ который характеризует риски, связанные с выбором портфеля.

Отклонение

Отклонение возвратов портфеля для портфеля $x \in X$ является

$V a r i a n c e (x) = x^{T} C x$

где C - ковариация возвратов активов (n-by- n положительно-полуопределенная матрица).

Свойство в Portfolio объект, чтобы задать отклонение возвратов портфеля AssetCovar для C.

Несмотря на то, что прокси риска в оптимизации портфеля средних дисперсий является дисперсией возвратов портфеля, квадратный корень, который является стандартным отклонением возвратов портфеля, часто сообщается и отображается. При этом это количество часто называют «риском» портфеля. Для получения дополнительной информации см. Markowitz [46], [47] в (Оптимизация портфеля).

Условная ценность под угрозой

Условная величина риска для портфеля $x \in X$ , который также известен как ожидаемый дефицит, определяется как

$C V a R_{α} (x) = \frac{1}{1 - α} \int_{f (x, y) \geq V a R_{α} (x)} f (x, y) p (y) d y,$

где:

α является таким уровнем вероятности, что 0 <α <1.

f(x,y) - функция потерь для x портфеля и y возврата активов.

p(y) - функция плотности вероятностей для y возврата активов.

_VaRα - значение риска x портфеля при уровне вероятности α.

Значение риска определяется как

$V a R_{α} (x) = \min {γ : \Pr [f (x, Y) \leq γ] \geq α} .$

Альтернативная композиция для CVaR имеет форму:

$C V a R_{α} (x) = V a R_{α} (x) + \frac{1}{1 - α} \int_{R^{n}} \max {0, (f (x, y) - V a R_{α} (x))} p (y) d y$

Выбор для α уровня вероятности обычно составляет 0,9 или 0,95. Выбор α подразумевает, что _VaRα(x) ценности риска для x портфеля является возвратом портфеля, так что вероятность возвратов портфеля ниже этого уровня равна (1 – α). Учитывая _VaRα(x) для x портфеля, условная величина риска портфеля является ожидаемой потерей возвратов портфеля выше возврата ценности риска.

Примечание

Значение риска является положительным значением потерь, так что уровень вероятности α указывает на вероятность того, что возвраты портфеля ниже отрицательного значения риска.

Чтобы описать распределение вероятностей возвратов, PortfolioCVaR объект принимает конечную выборку возврата сценариев y s с s = 1..., S. Каждый y s является n вектора, которая содержит возвраты для каждого из n активов в s сценария. Эта выборка S сценариев сохранена как матрица сценариев размера S -by - n. Затем, прокси риска для оптимизации портфеля CVaR, для данного портфеля $x \in X$ и $α \in (0, 1)$ , вычисляется как

$C V a R_{α} (x) = V a R_{α} (x) + \frac{1}{(1 - α) S} \sum_{s = 1}^{S} \max {0, - y_{s}^{T} x - V a R_{α} (x)}$

Значение риска, VaR α (x), оценивается каждый раз, когда оценивается CVaR. Функция потерь $f (x, y_{s}) = - y_{s}^{T} x$ , который представляет собой потерю портфеля по сценарию s.

В соответствии с этим определением VaR и CVaR являются выборочными оценщиками для VaR и CVaR на основе данных сценариев. Лучшие выборки сценария дают более достоверные оценки VaR и CVaR.

Для получения дополнительной информации смотрите Rockafellar и Uryasev [48], [49], и Cornuejols и Tütünc, [51], в Portfolio Optimization.

Среднее абсолютное отклонение

Среднее абсолютное отклонение (MAD) для портфеля $x \in X$ определяется как

$M A D (x) = \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} | {(y_{s} - m)}^{T} x |$

где:

_ys возвращаемые активы со сценариями s = 1,... S (S коллекция векторов n).

f(x,y) - функция потерь для x портфеля и y возврата активов.

m - среднее значение возвратов активов (n вектор).

таким, что

$m = \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} y_{s}$

Для получения дополнительной информации смотрите Konno и Yamazaki [50] в Portfolio Optimization.

См. также

Portfolio | PortfolioCVaR | PortfolioMAD

Документация