В этом примере показано, как вычислить комплексные интегралы линий с помощью 'Waypoints' опция integral функция. В MATLAB ® вы используете 'Waypoints' опция для определения последовательности прямой линии путей от первого предела интегрирования до первой путевой точки, от первой путевой точки до второй и так далее, и, наконец, от последней путевой точки до второго предела интегрирования.
Объединяться
где является замкнутым контуром, который окружает простой полюс в источник.
Задайте интегранд с анонимной функцией.
fun = @(z) exp(z)./z;
Можно вычислить интегралы контуров комплексных функций с помощью параметризации. В целом контур задается, а затем дифференцируется и используется для параметризации исходного интегранда. В этом случае задайте контур как модуль круг, но во всех случаях результат не зависит от выбранного контура.
g = @(theta) cos(theta) + 1i*sin(theta); gprime = @(theta) -sin(theta) + 1i*cos(theta); q1 = integral(@(t) fun(g(t)).*gprime(t),0,2*pi)
q1 = -0.0000 + 6.2832i
Этот метод параметризации, хотя и надежный, может быть трудным и длительным, поскольку производная должна быть вычислена до выполнения интегрирования. Даже для простых функций нужно записать несколько строк кода, чтобы получить правильный результат. Поскольку результат является тем же самым с любым замкнутым контуром, который окружает полюс (в данном случае, источник), вместо этого можно использовать 'Waypoints' опция integral чтобы создать квадратный или треугольный путь, который окружает полюс.
Если любой предел интегрирования или элемент вектора путевых точек комплексен, то integral выполняет интегрирование по последовательности прямой линии путей в комплексной плоскости. Естественное направление вокруг контура против часовой стрелки; установка контура по часовой стрелке сродни умножению на -1. Задайте контур таким образом, чтобы он окружал одну функциональную особенность. Если вы задаете контур, который не окружает полюсов, то интегральная теорема Коши гарантирует, что значение интеграла с обратной связью равняется нулю.
Чтобы увидеть это, интегрируйте fun вокруг квадратного контура от источника. Используйте равные пределы интегрирования для формирования замкнутого контура.
C = [2+i 2+2i 1+2i];
q = integral(fun,1+i,1+i,'Waypoints',C)q = -3.3307e-16 + 6.6613e-16i
Результат - по порядку eps и фактически ноль.
Задайте квадратный контур, который полностью окружает полюс в источник, и затем интегрируйте.
C = [1+i -1+i -1-i 1-i];
q2 = integral(fun,1,1,'Waypoints',C)q2 = -0.0000 + 6.2832i
Этот результат согласен с q1 вычислено выше, но использует намного более простой код.
Точный ответ на эту проблему .
2*pi*i
ans = 0.0000 + 6.2832i