Предсказание численности населения США

Этот пример показывает, что экстраполяция данных с помощью полиномов даже небольшой степени является рискованной и ненадежной.

Этот пример старше MATLAB ®. Это началось как упражнение в Computer Methods for Mathematical Computations, Forsythe, Malcolm and Moler, опубликованное Prentice Hall в 1977.

Теперь MATLAB значительно облегчает изменение параметров и просмотр результатов, но базовые математические принципы неизменны.

Создайте и постройте два вектора с данными переписи населения США с 1910 по 2000 год.

% Time interval
t = (1910:10:2000)';

% Population
p = [91.972 105.711 123.203 131.669 150.697...
    179.323 203.212 226.505 249.633 281.422]';

% Plot
plot(t,p,'bo');
axis([1910 2020 0 400]);
title('Population of the U.S. 1910-2000');
ylabel('Millions');

Каковы ваши предположения для населения в 2010 году?

p

p = 10×1

   91.9720
  105.7110
  123.2030
  131.6690
  150.6970
  179.3230
  203.2120
  226.5050
  249.6330
  281.4220

Подгонка данных с помощью полинома в t и использовать его для экстраполяции населения в t = 2010. Получите коэффициенты в полиноме путем решения линейной системы уравнений с матрицей Вандермонда 11 на 11 с элементами как степенями масштабируемого времени A(i,j) = s(i)^(n-j).

n = length(t);
s = (t-1950)/50;
A = zeros(n);
A(:,end) = 1;
for j = n-1:-1:1
   A(:,j) = s .* A(:,j+1);
end

Получите коэффициенты c для полинома степени d который подходит для данных p решением линейной системы уравнений с последними d+1 столбцы матрицы Вандермонде:

A(:,n-d:n)*c ~= p

В любом случае используйте оператор обратной косой черты, чтобы решить систему. Коэффициенты для кубического соответствия:

c = A(:,n-3:n)\p

c = 4×1

   -5.7042
   27.9064
  103.1528
  155.1017

Теперь оцените полином каждый год с 1910 по 2010 год и постройте график результатов.

v = (1910:2020)';
x = (v-1950)/50;
w = (2010-1950)/50;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,w);

hold on
plot(v,y,'k-');
plot(2010,z,'ks');
text(2010,z+15,num2str(z));
hold off

Сравните кубическое соответствие с квартиком. Заметьте, что экстраполированная точка сильно отличается.

c = A(:,n-4:n)\p;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,w);

hold on
plot(v,y,'k-');
plot(2010,z,'ks');
text(2010,z-15,num2str(z));
hold off

Когда степень увеличивается, экстраполяция становится еще более неустойчивой.

cla
plot(t,p,'bo')
hold on
axis([1910 2020 0 400])
colors = hsv(8);
labels = {'data'};
for d = 1:8
   [Q,R] = qr(A(:,n-d:n));
   R = R(1:d+1,:);
   Q = Q(:,1:d+1);
   c = R\(Q'*p);    % Same as c = A(:,n-d:n)\p;
   y = polyval(c,x);
   z = polyval(c,11);
   plot(v,y,'color',colors(d,:));
   labels{end+1} = ['degree = ' int2str(d)];
end
legend(labels, 'Location', 'NorthWest')
hold off

См. также

polyfit