Решение нелинейного уравнения в одной переменной

The fzero функция пытается найти корень из одного уравнения с одной переменной. Можно вызвать эту функцию с помощью либо одноэлементной начальной точки, либо двухэлементного вектора, который обозначает начальный интервал. Если вы дадите fzero а начальная точка x0, fzero сначала ищет интервал вокруг этой точки, где функция изменяет знак. Если интервал найден, fzero возвращает значение вблизи, где функция изменяет знак. Если такой интервал не найден, fzero возвращает NaN. Кроме того, если вы знаете две точки, где значение функции отличается знаком, можно задать этот начальный интервал с помощью двухэлементного вектора; fzero гарантированно сужает интервал и возвращает значение около изменения знака.

Следующие разделы содержат два примера, которые иллюстрируют, как найти нуль функции с помощью начального интервала и начальной точки. В примерах используется функция humps.m, который поставляется с MATLAB ®. Следующий рисунок показывает график humps.

x = -1:.01:2;
y = humps(x);
plot(x,y)
xlabel('x');
ylabel('humps(x)')
grid on

Настройка опций для fzero

Можно управлять несколькими аспектами fzero функция путем установки опций. Вы настраиваете опции используя optimset. Опции включают:

Использование начального интервала

Область графика humps указывает, что функция отрицательная на x = -1 и положительный при x = 1. Подтвердить это можно путем вычисления humps в этих двух точках.

humps(1)

ans = 16

humps(-1)

ans = -5.1378

Следовательно, можно использовать [-1 1] как начальный интервал для fzero.

Итерационный алгоритм для fzero находит меньшие и меньшие подынтервалы [-1 1]. Для каждого подынтервала - знак humps отличается в двух конечных точках. Когда конечные точки подынтервалов становятся все ближе и ближе, они сходятся к нулю для humps.

Чтобы показать прогресс fzero при каждой итерации устанавливайте Display опция для iter использование optimset функция.

options = optimset('Display','iter');

Затем позвоните fzero следующим образом:

a = fzero(@humps,[-1 1],options)

 
 Func-count    x          f(x)             Procedure
    2              -1      -5.13779        initial
    3       -0.513876      -4.02235        interpolation
    4       -0.513876      -4.02235        bisection
    5       -0.473635      -3.83767        interpolation
    6       -0.115287      0.414441        bisection
    7       -0.115287      0.414441        interpolation
    8       -0.132562    -0.0226907        interpolation
    9       -0.131666    -0.0011492        interpolation
   10       -0.131618   1.88371e-07        interpolation
   11       -0.131618   -2.7935e-11        interpolation
   12       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
   13       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
 
Zero found in the interval [-1, 1]

a = -0.1316

Каждое значение x представляет лучшую конечную точку на данный момент. The Procedure столбец сообщает, использует ли каждый шаг алгоритма бисекцию или интерполяцию.

Можно проверить, что значение функции в a близок к нулю путем ввода

humps(a)

ans = 8.8818e-16

Использование начальной точки

Предположим, что вы не знаете двух точек, в которых значения функции humps отличаются знаком. В этом случае можно выбрать скаляр x0 в качестве начальной точки для fzero. fzero сначала ищет интервал вокруг этой точки, на котором функция изменяет знак. Если fzero находит такой интервал, он переходит к алгоритму, описанному в предыдущем разделе. Если такой интервал не найден, fzero возвращает NaN.

Для примера установите начальную точку равной -0.2, а Display опция для Iter, и звоните fzero:

options = optimset('Display','iter');
a = fzero(@humps,-0.2,options)

 
Search for an interval around -0.2 containing a sign change:
 Func-count    a          f(a)             b          f(b)        Procedure
    1            -0.2      -1.35385          -0.2      -1.35385   initial interval
    3       -0.194343      -1.26077     -0.205657      -1.44411   search
    5          -0.192      -1.22137        -0.208       -1.4807   search
    7       -0.188686      -1.16477     -0.211314      -1.53167   search
    9          -0.184      -1.08293        -0.216      -1.60224   search
   11       -0.177373     -0.963455     -0.222627      -1.69911   search
   13          -0.168     -0.786636        -0.232      -1.83055   search
   15       -0.154745      -0.51962     -0.245255      -2.00602   search
   17          -0.136     -0.104165        -0.264      -2.23521   search
   18        -0.10949      0.572246        -0.264      -2.23521   search
 
Search for a zero in the interval [-0.10949, -0.264]:
 Func-count    x          f(x)             Procedure
   18        -0.10949      0.572246        initial
   19       -0.140984     -0.219277        interpolation
   20       -0.132259    -0.0154224        interpolation
   21       -0.131617   3.40729e-05        interpolation
   22       -0.131618  -6.79505e-08        interpolation
   23       -0.131618  -2.98428e-13        interpolation
   24       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
   25       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
 
Zero found in the interval [-0.10949, -0.264]

a = -0.1316

Конечные точки текущего подынтервала при каждой итерации перечислены под заголовками a и b, в то время как соответствующие значения humps конечные точки перечислены в разделе f(a) и f(b), соответственно.

Примечание: Конечные точки a и b не указаны в каком-либо конкретном порядке: a может быть больше b или менее b.

Для первых девяти шагов, знак humps отрицательно на обеих конечных точках текущего подынтервала, что показано на выходе. На десятом шаге знак humps положительно на a, -0.10949, но отрицательно на b, -0.264. С этого момента алгоритм продолжает сужать интервал [-0.10949 -0.264], как описано в предыдущем разделе, пока оно не достигает значения -0.1316.