The fzero функция пытается найти корень из одного уравнения с одной переменной. Можно вызвать эту функцию с помощью либо одноэлементной начальной точки, либо двухэлементного вектора, который обозначает начальный интервал. Если вы дадите fzero а начальная точка x0, fzero сначала ищет интервал вокруг этой точки, где функция изменяет знак. Если интервал найден, fzero возвращает значение вблизи, где функция изменяет знак. Если такой интервал не найден, fzero возвращает NaN. Кроме того, если вы знаете две точки, где значение функции отличается знаком, можно задать этот начальный интервал с помощью двухэлементного вектора; fzero гарантированно сужает интервал и возвращает значение около изменения знака.
Следующие разделы содержат два примера, которые иллюстрируют, как найти нуль функции с помощью начального интервала и начальной точки. В примерах используется функция humps.m, который поставляется с MATLAB ®. Следующий рисунок показывает график humps.
x = -1:.01:2; y = humps(x); plot(x,y) xlabel('x'); ylabel('humps(x)') grid on
fzeroМожно управлять несколькими аспектами fzero функция путем установки опций. Вы настраиваете опции используя optimset. Опции включают:
Выбор величины отображения fzero generates - см. «Установка опций оптимизации», «Использование начального интервала» и «Использование начальной точки».
Выбор различных допусков, которые управляют тем, как fzero определяет его в корне - см. «Задать опции оптимизации».
Выбор функции построения графика для наблюдения прогресса fzero к корню - см. Оптимизация Решателя Функций построения графика.
Использование пользовательской запрограммированной выходной функции для наблюдения прогресса fzero в направлении корня - см. «Выходные функции решателя оптимизации».
Область графика humps указывает, что функция отрицательная на x = -1 и положительный при x = 1. Подтвердить это можно путем вычисления humps в этих двух точках.
humps(1)
ans = 16
humps(-1)
ans = -5.1378
Следовательно, можно использовать [-1 1] как начальный интервал для fzero.
Итерационный алгоритм для fzero находит меньшие и меньшие подынтервалы [-1 1]. Для каждого подынтервала - знак humps отличается в двух конечных точках. Когда конечные точки подынтервалов становятся все ближе и ближе, они сходятся к нулю для humps.
Чтобы показать прогресс fzero при каждой итерации устанавливайте Display опция для iter использование optimset функция.
options = optimset('Display','iter');
Затем позвоните fzero следующим образом:
a = fzero(@humps,[-1 1],options)
Func-count x f(x) Procedure
2 -1 -5.13779 initial
3 -0.513876 -4.02235 interpolation
4 -0.513876 -4.02235 bisection
5 -0.473635 -3.83767 interpolation
6 -0.115287 0.414441 bisection
7 -0.115287 0.414441 interpolation
8 -0.132562 -0.0226907 interpolation
9 -0.131666 -0.0011492 interpolation
10 -0.131618 1.88371e-07 interpolation
11 -0.131618 -2.7935e-11 interpolation
12 -0.131618 8.88178e-16 interpolation
13 -0.131618 8.88178e-16 interpolation
Zero found in the interval [-1, 1]
a = -0.1316
Каждое значение x представляет лучшую конечную точку на данный момент. The Procedure столбец сообщает, использует ли каждый шаг алгоритма бисекцию или интерполяцию.
Можно проверить, что значение функции в a близок к нулю путем ввода
humps(a)
ans = 8.8818e-16
Предположим, что вы не знаете двух точек, в которых значения функции humps отличаются знаком. В этом случае можно выбрать скаляр x0 в качестве начальной точки для fzero. fzero сначала ищет интервал вокруг этой точки, на котором функция изменяет знак. Если fzero находит такой интервал, он переходит к алгоритму, описанному в предыдущем разделе. Если такой интервал не найден, fzero возвращает NaN.
Для примера установите начальную точку равной -0.2, а Display опция для Iter, и звоните fzero:
options = optimset('Display','iter'); a = fzero(@humps,-0.2,options)
Search for an interval around -0.2 containing a sign change:
Func-count a f(a) b f(b) Procedure
1 -0.2 -1.35385 -0.2 -1.35385 initial interval
3 -0.194343 -1.26077 -0.205657 -1.44411 search
5 -0.192 -1.22137 -0.208 -1.4807 search
7 -0.188686 -1.16477 -0.211314 -1.53167 search
9 -0.184 -1.08293 -0.216 -1.60224 search
11 -0.177373 -0.963455 -0.222627 -1.69911 search
13 -0.168 -0.786636 -0.232 -1.83055 search
15 -0.154745 -0.51962 -0.245255 -2.00602 search
17 -0.136 -0.104165 -0.264 -2.23521 search
18 -0.10949 0.572246 -0.264 -2.23521 search
Search for a zero in the interval [-0.10949, -0.264]:
Func-count x f(x) Procedure
18 -0.10949 0.572246 initial
19 -0.140984 -0.219277 interpolation
20 -0.132259 -0.0154224 interpolation
21 -0.131617 3.40729e-05 interpolation
22 -0.131618 -6.79505e-08 interpolation
23 -0.131618 -2.98428e-13 interpolation
24 -0.131618 8.88178e-16 interpolation
25 -0.131618 8.88178e-16 interpolation
Zero found in the interval [-0.10949, -0.264]
a = -0.1316
Конечные точки текущего подынтервала при каждой итерации перечислены под заголовками a и b, в то время как соответствующие значения humps конечные точки перечислены в разделе f(a) и f(b), соответственно.
Примечание: Конечные точки a и b не указаны в каком-либо конкретном порядке: a может быть больше b или менее b.
Для первых девяти шагов, знак humps отрицательно на обеих конечных точках текущего подынтервала, что показано на выходе. На десятом шаге знак humps положительно на a, -0.10949, но отрицательно на b, -0.264. С этого момента алгоритм продолжает сужать интервал [-0.10949 -0.264], как описано в предыдущем разделе, пока оно не достигает значения -0.1316.