Диагональное масштабирование для повышения точности собственных значений
[T,B] = balance(A)
[S,P,B] = balance(A)
B = balance(A)
B = balance(A,'noperm')
[T,B] = balance(A) возвращает преобразование подобия T таким образом B = T\A*T, и B имеет, по возможности, примерно равные нормы для строк и столбцов. T является сочетанием диагональной матрицы, элементы которой являются целочисленными степенями двойки, чтобы предотвратить введение ошибки округления. Если A симметрично, тогда B == A и T - матрица тождеств.
[S,P,B] = balance(A) возвращает вектор масштабирования S и вектор сочетания P отдельно. Преобразование T и сбалансированные матричные B получаются из A, S, и P по T(:,P) = diag(S) и B(P,P) = diag(1./S)*A*diag(S).
B = balance(A) возвращает только сбалансированную матрицу B.
B = balance(A,'noperm') шкалы A без разрешения его строк и столбцов.
В этом примере показана основная идея. Матрица A имеет большие элементы в верхнем правом и малые элементы в нижнем левом. Это далеко не симметрично.
A = [1 100 10000; .01 1 100; .0001 .01 1]
A =
1.0e+04 *
0.0001 0.0100 1.0000
0.0000 0.0001 0.0100
0.0000 0.0000 0.0001Балансировка создает диагональную матрицу T с элементами, которые являются степенями двойки и сбалансированной матрицей B что ближе к симметрии, чем A.
[T,B] = balance(A)
T =
1.0e+03 *
2.0480 0 0
0 0.0320 0
0 0 0.0003
B =
1.0000 1.5625 1.2207
0.6400 1.0000 0.7813
0.8192 1.2800 1.0000Чтобы увидеть эффект на собственных векторах, сначала вычислите собственные векторы A, показанный здесь как столбцы V.
[V,E] = eig(A); V V = 0.9999 -0.9999 -0.9999 0.0100 0.0059 + 0.0085i 0.0059 - 0.0085i 0.0001 0.0000 - 0.0001i 0.0000 + 0.0001i
Обратите внимание, что все три вектора имеют первый компонент самый большой. Это указывает на V плохо обусловлена; фактически cond(V) является 8.7766e+003. Далее рассмотрим собственные векторы B.
[V,E] = eig(B); V V = 0.6933 -0.6993 -0.6993 0.4437 0.2619 + 0.3825i 0.2619 - 0.3825i 0.5679 0.2376 - 0.4896i 0.2376 + 0.4896i
Теперь собственные векторы хорошо себя ведут и cond(V) является 1.4421. Плохое кондиционирование концентрируется в матрице масштабирования; cond(T) является 8192.
Этот пример невелик и не очень плохо масштабирован, поэтому вычисленные собственные значения A и B согласиться в пределах округлой ошибки; балансировка мало влияет на вычисленные результаты.
Балансировка может уничтожить свойства определенных матриц; использовать его с некоторой осторожностью. Если матрица содержит маленькие элементы, которые вызваны ошибкой округления, балансировка может масштабировать их, чтобы сделать их столь же значимыми, как и другие элементы исходной матрицы.
Несимметричные матрицы могут иметь плохо обусловленные собственные значения. Небольшие возмущения в матрице, такие как ошибки округления, могут привести к большим возмущениям собственных значений. Число обусловленности матрицы собственного вектора,
cond(V) = norm(V)*norm(inv(V))
где
[V,T] = eig(A)
связывает размер возмущения матрицы с размером возмущения собственного значения. Обратите внимание, что число обусловленности A сама по себе нерелевантна задаче собственного значения.
Балансировка является попыткой сконцентрировать любое плохое обусловление собственной векторной матрицы в диагональном масштабировании. Балансировка обычно не может превратить несимметричную матрицу в симметричную матрицу; он пытается только сделать норму каждой строки равной норме соответствующего столбца.
Примечание
MATLAB® собственное значение функции, eig(A)автоматическое сальдо A перед вычислением собственных значений. Отключите балансировку с eig(A,'nobalance').