Документация

e = eig(A) возвращает вектор-столбец, содержащую собственные значения квадратной матрицы A.

[V,D] = eig(A) возвращает диагональную матрицу D собственных значений и матричных V столбцы которых являются соответствующими правыми собственными векторами, так что A*V = V*D.

[V,D,W] = eig(A) также возвращает полную матрицу W столбцы которых являются соответствующими левыми собственными векторами, так что W'*A = D*W'.

Проблема собственного значения состоит в том, чтобы определить решение к уравнению <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> = <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2>, где A n-by- n матрица, v является вектором-столбцом длины n, и λ является скаляром. Значения λ, которые удовлетворяют уравнению, являются собственными значениями. Соответствующие значения v, которые удовлетворяют уравнению, являются правыми собственными векторами. Левые собственные векторы, w, удовлетворяют уравнение w» A = <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>."

e = eig(A,B) возвращает вектор-столбец, содержащую обобщенные собственные значения квадратных матриц A и B.

[V,D] = eig(A,B) возвращает диагональную матрицу D обобщенных собственных значений и полных матричных V столбцы которых являются соответствующими правыми собственными векторами, так что A*V = B*V*D.

[V,D,W] = eig(A,B) также возвращает полную матрицу W столбцы которых являются соответствующими левыми собственными векторами, так что W'*A = D*W'*B.

Обобщенная проблема собственного значения состоит в том, чтобы определить решение к уравнению <reservedrangesplaceholder7> <reservedrangesplaceholder6> = <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> <reservedrangesplaceholder3>, где A и B n-by- n матрицы, v является вектор-столбец длины n, и λ является скаляром. Значения λ, которые удовлетворяют уравнению, являются обобщенными собственными значениями. Соответствующие значения v являются обобщенными правыми собственными векторами. Левые собственные векторы, w, удовлетворяют уравнение w» A = <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1>» B.

[___] = eig(A,balanceOption), где balanceOption является 'nobalance', отключает предварительный шаг балансировки в алгоритме. Значение по умолчанию для balanceOption является 'balance', что позволяет балансировать. The eig функция может вернуть любой из выходных аргументов в предыдущих синтаксисах.

[___] = eig(A,B,algorithm), где algorithm является 'chol', использует Факторизацию Холесского B для вычисления обобщенных собственных значений. Значение по умолчанию для algorithm зависит от свойств A и B, но в целом 'qz', который использует алгоритм QZ.

Если A является эрмитовым и B является гермитовым положительным определенным, тогда это значение по умолчанию для algorithm является 'chol'.

[___] = eig(___,eigvalOption) возвращает собственные значения в форме, заданной как eigvalOption использование любого из входных или выходных аргументов в предыдущих синтаксисах. Задайте eigvalOption как 'vector' для возврата собственных значений в векторе-столбце или как 'matrix' для возврата собственных значений в диагональной матрице.

Примеры

Собственные значения матрицы

Использование gallery чтобы создать симметричную положительно определенную матрицу.

A = gallery('lehmer',4)

A = 4×4

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500
    0.5000    1.0000    0.6667    0.5000
    0.3333    0.6667    1.0000    0.7500
    0.2500    0.5000    0.7500    1.0000

Вычислим собственные значения A. Результатом является вектор-столбец.

e = eig(A)

Кроме того, используйте eigvalOption для возврата собственных значений в диагональной матрице.

D = eig(A,'matrix')

D = 4×4

    0.2078         0         0         0
         0    0.4078         0         0
         0         0    0.8482         0
         0         0         0    2.5362

Собственные значения и собственные векторы Матрицы

Использование gallery для создания циркулянтной матрицы.

A = gallery('circul',3)

A = 3×3

     1     2     3
     3     1     2
     2     3     1

Вычислите собственные значения и правые собственные векторы A.

[V,D] = eig(A)

V = 3×3 complex

  -0.5774 + 0.0000i   0.2887 - 0.5000i   0.2887 + 0.5000i
  -0.5774 + 0.0000i  -0.5774 + 0.0000i  -0.5774 + 0.0000i
  -0.5774 + 0.0000i   0.2887 + 0.5000i   0.2887 - 0.5000i

D = 3×3 complex

   6.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i  -1.5000 + 0.8660i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -1.5000 - 0.8660i

Проверьте, что результаты удовлетворяют A*V = V*D.

A*V - V*D

ans = 3×3 complex
10^-14 ×

  -0.2665 + 0.0000i  -0.0333 + 0.1110i  -0.0333 - 0.1110i
   0.0888 + 0.0000i   0.0000 + 0.1221i   0.0000 - 0.1221i
  -0.0444 + 0.0000i  -0.0111 + 0.1221i  -0.0111 - 0.1221i

В идеале разложение собственных значений удовлетворяет отношениям. Начиная с eig выполняет разложение с использованием расчетов с плавающей точкой, затем A*V может, в лучшем случае, подойти V*D. Другими словами, A*V - V*D близок, но не совсем 0.

Отсортированные собственные значения и собственные векторы

По умолчанию eig не всегда возвращает собственные значения и собственные векторы в сортированном порядке. Используйте sort функция, чтобы поместить собственные значения в порядке возрастания и переупорядочить соответствующие собственные векторы.

Вычислите собственные значения и собственные векторы магической квадратной матрицы 5 на 5.

A = magic(5)

A = 5×5

    17    24     1     8    15
    23     5     7    14    16
     4     6    13    20    22
    10    12    19    21     3
    11    18    25     2     9

[V,D] = eig(A)

V = 5×5

   -0.4472    0.0976   -0.6330    0.6780   -0.2619
   -0.4472    0.3525    0.5895    0.3223   -0.1732
   -0.4472    0.5501   -0.3915   -0.5501    0.3915
   -0.4472   -0.3223    0.1732   -0.3525   -0.5895
   -0.4472   -0.6780    0.2619   -0.0976    0.6330

D = 5×5

   65.0000         0         0         0         0
         0  -21.2768         0         0         0
         0         0  -13.1263         0         0
         0         0         0   21.2768         0
         0         0         0         0   13.1263

Собственные значения A находятся на диагонали D. Однако собственные значения являются несортированными.

Извлеките собственные значения из диагонали D использование diag(D), затем отсортируйте полученный вектор в порядке возрастания. Второй выход от sort возвращает вектор сочетания индексов.

[d,ind] = sort(diag(D))

Использование ind чтобы переупорядочить диагональные элементы D. Поскольку собственные значения в D соответствуют собственным векторам в столбцах Vнеобходимо также переупорядочить столбцы V использование тех же индексов.

Ds = D(ind,ind)

Ds = 5×5

  -21.2768         0         0         0         0
         0  -13.1263         0         0         0
         0         0   13.1263         0         0
         0         0         0   21.2768         0
         0         0         0         0   65.0000

Vs = V(:,ind)

Vs = 5×5

    0.0976   -0.6330   -0.2619    0.6780   -0.4472
    0.3525    0.5895   -0.1732    0.3223   -0.4472
    0.5501   -0.3915    0.3915   -0.5501   -0.4472
   -0.3223    0.1732   -0.5895   -0.3525   -0.4472
   -0.6780    0.2619    0.6330   -0.0976   -0.4472

Оба (V,D) и (Vs,Ds) создают собственное собственное значение A. Результаты A*V-V*D и A*Vs-Vs*Ds согласен, вплоть до округления ошибки.

e1 = norm(A*V-V*D);
e2 = norm(A*Vs-Vs*Ds);
e = abs(e1 - e2)

e = 1.8933e-29

Левые собственные векторы

Создайте матрицу 3 на 3.

 A = [1 7 3; 2 9 12; 5 22 7];

Вычислите правые собственные векторы, V, собственных значений, D, и левые собственные векторы, W.

[V,D,W] = eig(A)

V = 3×3

   -0.2610   -0.9734    0.1891
   -0.5870    0.2281   -0.5816
   -0.7663   -0.0198    0.7912

D = 3×3

   25.5548         0         0
         0   -0.5789         0
         0         0   -7.9759

W = 3×3

   -0.1791   -0.9587   -0.1881
   -0.8127    0.0649   -0.7477
   -0.5545    0.2768    0.6368

Проверьте, что результаты удовлетворяют W'*A = D*W'.

W'*A - D*W'

ans = 3×3
10^-13 ×

    0.1155   -0.0711   -0.0711
   -0.0033   -0.0215   -0.0408
    0.0022    0.0266    0.0178

В идеале разложение собственных значений удовлетворяет отношениям. Начиная с eig выполняет разложение с использованием расчетов с плавающей точкой, затем W'*A может, в лучшем случае, подойти D*W'. Другими словами, W'*A - D*W' близок, но не совсем 0.

Собственные значения недиагонизируемой (дефектной) матрицы

Создайте матрицу 3 на 3.

A = [3 1 0; 0 3 1; 0 0 3];

Вычислите собственные значения и правые собственные векторы A.

[V,D] = eig(A)

V = 3×3

    1.0000   -1.0000    1.0000
         0    0.0000   -0.0000
         0         0    0.0000

D = 3×3

     3     0     0
     0     3     0
     0     0     3

A имеет повторные собственные значения, и собственные векторы не являются независимыми. Это означает, что A не является диагонализируемым и, следовательно, дефектным.

Проверьте, что V и D удовлетворить уравнению, A*V = V*Dхотя A неисправен.

A*V - V*D

ans = 3×3
10^-15 ×

         0    0.8882   -0.8882
         0         0    0.0000
         0         0         0

Обобщенные собственные значения

Создайте две матрицы, A и B, затем решите обобщенную задачу собственного значения для собственных значений и правых собственных векторов пары (A,B).

A = [1/sqrt(2) 0; 0 1];
B = [0 1; -1/sqrt(2) 0];
[V,D]=eig(A,B)

V = 2×2 complex

   1.0000 + 0.0000i   1.0000 + 0.0000i
   0.0000 - 0.7071i   0.0000 + 0.7071i

D = 2×2 complex

   0.0000 + 1.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 - 1.0000i

Проверьте, что результаты удовлетворяют A*V = B*V*D.

A*V - B*V*D

Остаточная ошибка A*V - B*V*D в точности равен нулю.

Обобщенные собственные значения, использующие алгоритм QZ для плохо обусловленных матриц

Создайте плохо обусловленную симметричную матрицу, содержащую значения, близкие к точности машины.

format long e
A = diag([10^-16, 10^-15])

A = 2×2

     1.000000000000000e-16                         0
                         0     1.000000000000000e-15

Вычислите обобщенные собственные значения и набор правых собственных векторов с помощью алгоритма по умолчанию. В этом случае алгоритм по умолчанию является 'chol'.

[V1,D1] = eig(A,A)

V1 = 2×2

     1.000000000000000e+08                         0
                         0     3.162277660168380e+07

D1 = 2×2

     9.999999999999999e-01                         0
                         0     1.000000000000000e+00

Теперь вычислите обобщенные собственные значения и набор правых собственных векторов, используя 'qz' алгоритм.

[V2,D2] = eig(A,A,'qz')

Проверяйте, насколько хорошо 'chol' результат удовлетворяет A*V1 = A*V1*D1.

format short
A*V1 - A*V1*D1

ans = 2×2
10^-23 ×

    0.1654         0
         0   -0.6617

Теперь проверьте, насколько хорошо 'qz' результат удовлетворяет A*V2 = A*V2*D2.

A*V2 - A*V2*D2

Когда обе матрицы симметричны, eig использует 'chol' алгоритм по умолчанию. В этом случае алгоритм QZ возвращает более точные результаты.

Обобщенные собственные значения, где одна матрица сингулярна

Создайте матрицу тождеств 2 на 2, A, и сингулярную матрицу, B.

A = eye(2);
B = [3 6; 4 8];

Если вы пытаетесь вычислить обобщенные собственные значения матрицы $B^{- 1} A$ с командой [V,D] = eig(B\A), затем MATLAB ® возвращает ошибку из-за B\A производит Inf значения.

Вместо этого вычислите обобщенные собственные значения и правые собственные векторы путем передачи обеих матриц в eig функция.

[V,D] = eig(A,B)

V = 2×2

   -0.7500   -1.0000
   -1.0000    0.5000

D = 2×2

    0.0909         0
         0       Inf

Обе матрицы лучше передать по отдельности, и пусть eig выберите лучший алгоритм, чтобы решить задачу. В этом случае eig(A,B) возвращает набор собственных векторов и, по крайней мере, одно действительное собственное значение, хотя B не является инвертируемым.

Проверить $A v = λ B v$ для первого собственного значения и первого собственного вектора.

eigval = D(1,1);
eigvec = V(:,1);
A*eigvec - eigval*B*eigvec

ans = 2×1
10^-15 ×

    0.1110
    0.2220

В идеале разложение собственных значений удовлетворяет отношениям. Поскольку разложение выполняется с использованием расчетов с плавающей точкой, то A*eigvec может, в лучшем случае, подойти eigval*B*eigvecкак и в этом случае.

Входные параметры

`A` - Входная матрица
квадратная матрица

Входная матрица, заданная как действительная или комплексная квадратная матрица.

Типы данных: double | single
Поддержка комплексного числа: Да

`B` - Обобщенная входная матрица собственной задачи
квадратная матрица

Обобщенная входная матрица собственного значения задачи, заданная как квадратная матрица вещественной или комплексные числа. B должен быть того же размера, что и A.

Типы данных: double | single
Поддержка комплексного числа: Да

`balanceOption` - опция баланса
`'balance'` (по умолчанию) | `'nobalance'`

Опция баланса, заданная как: 'balance', что позволяет выполнить предварительный шаг балансировки или 'nobalance' который отключает его. В большинстве случаев шаг балансировки улучшает кондиционирование A для получения более точных результатов. Однако существуют случаи, когда балансировка приводит к неправильным результатам. Задайте 'nobalance' когда A содержит значения, шкала которых сильно отличается. Для примера, если A содержит ненулевые целые числа, а также очень маленькие (около нуля) значения, тогда шаг балансировки может масштабировать маленькие значения, чтобы сделать их столь же значимыми, как целые числа, и привести к неточным результатам.

'balance' является поведением по умолчанию. Для получения дополнительной информации о балансировке см. balance.

`algorithm` - Обобщенный алгоритм собственного значения
`'chol'` | `'qz'`

Обобщенный алгоритм собственного значения, заданный как 'chol' или 'qz', который выбирает алгоритм, который будет использоваться для вычисления обобщенных собственных значений пары.

алгоритм	Описание
`'chol'`	Вычисляет обобщенные собственные значения `A` и `B` использование Факторизации Холесского `B`.
`'qz'`	Использует алгоритм QZ, также известный как обобщенное разложение Шура. Этот алгоритм игнорирует симметрию `A` и `B`.

В целом два алгоритма возвращают один и тот же результат. Алгоритм QZ может быть более стабильным для определенных задач, таких как связанные с плохо обусловленными матрицами.

Когда вы опускаете algorithm аргумент, eig функция выбирает алгоритм на основе свойств A и B. Он использует 'chol' алгоритм для симметричного (Эрмитова) A и симметричные (эрмитовы) положительно определенные B. В противном случае он использует 'qz' алгоритм.

Независимо от заданного алгоритма, eig функция всегда использует алгоритм QZ при A или B не являются симметричными.

`eigvalOption` - Опция Собственное значение
`'vector'` | `'matrix'`

Опция Собственное значение, заданная как 'vector' или 'matrix'. Эта опция позволяет вам задать, возвращаются ли собственные значения в векторе-столбце или диагональной матрице. Поведение по умолчанию изменяется в зависимости от количества заданных выходов:

Если вы задаете один выход, такой как e = eig(A), затем собственные значения возвращаются как вектор-столбец по умолчанию.
Если вы задаете два или три выхода, таких как [V,D] = eig(A), затем собственные значения возвращаются как диагональная матрица, D, по умолчанию.

Пример: D = eig(A,'matrix') возвращает диагональную матрицу собственных значений с одним выходом.

Выходные аргументы

`e` - Собственные значения (возвращенные как вектор)
Вектор-столбец

Собственные значения, возвращенные как вектор-столбец, содержащая собственные значения (или обобщенные собственные значения пары) с кратностью. Каждое собственное значение e(k) соответствует правому собственному вектору V(:,k) и левый собственный вектор W(:,k).

Когда A является действительным симметричным или комплексным Эрмитовым, значениями e которые удовлетворяют, A v = λ v реальны.
Когда A является действительным кососимметричным или комплексным перекосом-Эрмитовым, значениями e которые удовлетворяют A v = λ v являются мнимыми.

`V` - Правые собственные векторы
квадратная матрица

Правые собственные векторы, возвращенные как квадратная матрица, столбцы которой являются правыми собственными векторами A или обобщенные правые собственные векторы пары, (A,B). Форма и нормализация V зависит от комбинации входных параметров:

[V,D] = eig(A) возвращает матрицу V, столбцы которого являются правыми собственными векторами A таким образом A*V = V*D. Собственные векторы в V нормированы так, что 2-норма каждого равна 1.
Если A является действительным симметричным, эрмитовым, или косоглазым, тогда правыми собственными векторами V являются ортонормальными.
[V,D] = eig(A,'nobalance') также возвращает матрицу V. Однако 2-норма каждого собственного вектора не обязательно равна 1.
[V,D] = eig(A,B) и [V,D] = eig(A,B,algorithm) возврат V как матрица, столбцы которой являются обобщенными правыми собственными векторами, которые удовлетворяют A*V = B*V*D. 2-норма каждого собственного вектора не обязательно равна 1. В этом случае D содержит обобщенные собственные значения пары, (A,B), по основной диагонали.
Когда eig использует 'chol' алгоритм с симметричным (Эрмитовым) A и симметричные (эрмитовы) положительно определенные B, он нормализует собственные векторы в V так что B-норма каждого равна 1.

Различные машины и релизы MATLAB^® может производить различные собственные векторы, которые все еще численно точны:

Для реальных собственных векторов может измениться знак собственных векторов.
Для комплексных собственных векторов собственные векторы могут быть умножены на любое комплексное число величин 1.
Для нескольких собственных значений его собственные векторы могут быть рекомбинированы посредством линейных комбинаций. Например, если <reservedrangesplaceholder16> <reservedrangesplaceholder15> = <reservedrangesplaceholder14> <reservedrangesplaceholder13> и <reservedrangesplaceholder12> <reservedrangesplaceholder11> = <reservedrangesplaceholder10> <reservedrangesplaceholder9>, то A (x + y) = λ (x + y), таким образом x + y также собственный вектор A.

`D` - Собственные значения (возвращенные как матрица)
диагональная матрица

Собственные значения, возвращенные как диагональная матрица с собственными значениями A на основной диагонали или собственных значениях пары, (A,B), с кратностью, на основной диагонали. Каждое собственное значение D(k,k) соответствует правому собственному вектору V(:,k) и левый собственный вектор W(:,k).

Когда A является действительным симметричным или комплексным Эрмитовым, значениями D которые удовлетворяют, A v = λ v реальны.
Когда A является действительным кососимметричным или комплексным перекосом-Эрмитовым, значениями D которые удовлетворяют A v = λ v являются мнимыми.

`W` - Левые собственные векторы
квадратная матрица

Левые собственные векторы, возвращенные как квадратная матрица, столбцы которой являются левыми собственными векторами A или обобщенные левые собственные векторы пары, (A,B). Форма и нормализация W зависит от комбинации входных параметров:

[V,D,W] = eig(A) возвращает матрицу W, столбцы которого являются левыми собственными векторами A таким образом W'*A = D*W'. Собственные векторы в W нормированы так, что 2-норма каждого равна 1. Если A симметрично, тогда W то же, что и V.
[V,D,W] = eig(A,'nobalance') также возвращает матрицу W. Однако 2-норма каждого собственного вектора не обязательно равна 1.
[V,D,W] = eig(A,B) и [V,D,W] = eig(A,B,algorithm) возвращает W как матрица, столбцы которой являются обобщенными левыми собственными векторами, которые удовлетворяют W'*A = D*W'*B. 2-норма каждого собственного вектора не обязательно равна 1. В этом случае D содержит обобщенные собственные значения пары, (A,B), по основной диагонали.
Если A и B являются симметричными, тогда W то же, что и V.

Различные машины и релизы MATLAB могут производить различные собственные векторы, которые все еще численно точны:

Для реальных собственных векторов может измениться знак собственных векторов.
Для комплексных собственных векторов собственные векторы могут быть умножены на любое комплексное число величин 1.
Для нескольких собственных значений его собственные векторы могут быть рекомбинированы посредством линейных комбинаций. Например, если <reservedrangesplaceholder16> <reservedrangesplaceholder15> = <reservedrangesplaceholder14> <reservedrangesplaceholder13> и <reservedrangesplaceholder12> <reservedrangesplaceholder11> = <reservedrangesplaceholder10> <reservedrangesplaceholder9>, то A (x + y) = λ (x + y), таким образом x + y также собственный вектор A.

Подробнее о