Решите контур значения задачу - метод пятого порядка
интегрирует систему дифференциальных уравнений вида y ′ = f (x, y), заданную sol
= bvp5c(odefun
,bcfun
,solinit
)как odefun
, с учетом граничных условий, описанных bcfun
и начальное решение угадает solinit
. Используйте bvpinit
функция для создания начального предположения solinit
, который также определяет точки, в которых граничные условия в bcfun
применяются.
также использует настройки интегрирования, заданные как sol
= bvp5c(odefun
,bcfun
,solinit
,options
)options
, который является аргументом, созданным с помощью bvpset
функция. Для примера используйте AbsTol
и RelTol
опции для задания абсолютных и относительная погрешность допусков или FJacobian
опция предоставления аналитических частных производных odefun
.
Решить BVP второго порядка в MATLAB ® используя функции. В данном примере используйте уравнение второго порядка
.
Уравнение определяется интервалом при условии соблюдения граничных условий
,
.
Чтобы решить это уравнение в MATLAB, необходимо написать функцию, которая представляет уравнение как систему уравнений первого порядка, функцию для граничных условий и функцию для начального предположения. Затем решатель BVP использует эти три входов, чтобы решить уравнение.
Кодовое уравнение
Напишите функцию, которая кодирует уравнение. Используйте замены и переписать уравнение как систему уравнений первого порядка.
,
.
Соответствующая функция является
function dydx = bvpfcn(x,y) dydx = zeros(2,1); dydx = [y(2) -y(1)]; end
Примечание: Все функции включены в конец примера как локальные функции.
Граничные условия кода
Написание функции, которая кодирует граничные условия в форме . В этой форме граничные условия
,
.
Соответствующая функция является
function res = bcfcn(ya,yb) res = [ya(1) yb(1)-2]; end
Создайте начальное предположение
Используйте bvpinit
функция для создания начального предположения для решения уравнения. Поскольку уравнение относится кому разумно предположить, что решение включает тригонометрические функции. Используйте mesh пяти точек в интервале интегрирования. Первое и последнее значения в mesh находятся там, где решатель применяет граничные условия.
Функция для начального предположения принимает в качестве входов и возвращает предположение для значения и . Функция является
function g = guess(x) g = [sin(x) cos(x)]; end
xmesh = linspace(0,pi/2,5); solinit = bvpinit(xmesh, @guess);
Решение уравнения
Использование bvp5c
с производной функцией, функцией граничных условий и начальным предположением, чтобы решить задачу.
sol = bvp5c(@bvpfcn, @bcfcn, solinit);
Решение для построения графика
plot(sol.x, sol.y, '-o')
Локальные функции
Здесь перечислены локальные функции, которые bvp5c
использует, чтобы решить уравнение.
function dydx = bvpfcn(x,y) % equation to solve dydx = zeros(2,1); dydx = [y(2) -y(1)]; end %-------------------------------- function res = bcfcn(ya,yb) % boundary conditions res = [ya(1) yb(1)-2]; end %-------------------------------- function g = guess(x) % initial guess for y and y' g = [sin(x) cos(x)]; end %--------------------------------
bvp4c
и bvp5c
РешателиРешите BVP с допуском на грубую ошибку с двумя другими решателями и сравните результаты.
Рассмотрите ОДУ второго порядка
.
Уравнение определяется интервалом при условии соблюдения граничных условий
,
.
Чтобы решить это уравнение в MATLAB ®, необходимо написать функцию, которая представляет уравнение как систему уравнений первого порядка, написать функцию для граничных условий, задать некоторые значения опций и создать начальное предположение. Затем решатель BVP использует эти четыре входов, чтобы решить уравнение.
Кодовое уравнение
С заменами и , можно переписать ОДУ как систему уравнений первого порядка
,
.
Соответствующая функция является
function dydx = bvpfcn(x,y) dydx = [y(2) -2*y(2)/x - y(1)/x^4]; end
Примечание: Все функции включены в конец примера как локальные функции.
Граничные условия кода
Функция граничного условия требует, чтобы граничные условия находились в форме . В этой форме граничные условия
,
.
Соответствующая функция является
function res = bcfcn(ya,yb) res = [ya(1) yb(1)-sin(1)]; end
Задать опции
Использование bvpset
чтобы включить отображение статистики решателя и задать допуски, чтобы выделить различие в управлении ошибками между решателями. Кроме того, для эффективности укажите аналитический якобиан
.
Соответствующая функция, которая возвращает значение якобиана,
function dfdy = jac(x,y) dfdy = [0 1 -1/x^4 -2/x]; end
opts = bvpset('FJacobian',@jac,'RelTol',0.1,'AbsTol',0.1,'Stats','on');
Создайте начальное предположение
Использование bvpinit
чтобы создать начальное предположение о решении. Задайте постоянную функцию как начальное предположение с начальным mesh в 10 точек в интервале .
xmesh = linspace(1/(3*pi), 1, 10); solinit = bvpinit(xmesh, [1; 1]);
Решение уравнения
Решить уравнение обоими bvp4c
и bvp5c
.
sol4c = bvp4c(@bvpfcn, @bcfcn, solinit, opts);
The solution was obtained on a mesh of 9 points. The maximum residual is 9.794e-02. There were 157 calls to the ODE function. There were 28 calls to the BC function.
sol5c = bvp5c(@bvpfcn, @bcfcn, solinit, opts);
The solution was obtained on a mesh of 11 points. The maximum error is 6.742e-02. There were 244 calls to the ODE function. There were 29 calls to the BC function.
Графическое изображение результатов
Постройте график результатов двух вычислений для с аналитическим решением для сравнения. Аналитическое решение
,
.
xplot = linspace(1/(3*pi),1,200); yplot = [sin(1./xplot); -cos(1./xplot)./xplot.^2]; plot(xplot,yplot(1,:),'k',sol4c.x,sol4c.y(1,:),'r*',sol5c.x,sol5c.y(1,:),'bo') title('Comparison of BVP Solvers with Crude Error Tolerance') legend('True','BVP4C','BVP5C') xlabel('x') ylabel('solution y')
График подтверждает, что bvp5c
непосредственно управляет истинной ошибкой в вычислении, в то время как bvp4c
управляет им только косвенно. При более строгих допусках ошибок это различие между решателями не так очевидна.
Локальные функции
Здесь перечислены локальные функции, которые решатели BVP используют для решения задачи.
function dydx = bvpfcn(x,y) % equation to solve dydx = [y(2) -2*y(2)/x - y(1)/x^4]; end %--------------------------------- function res = bcfcn(ya,yb) % boundary conditions res = [ya(1) yb(1)-sin(1)]; end %--------------------------------- function dfdy = jac(x,y) % analytical jacobian for f dfdy = [0 1 -1/x^4 -2/x]; end %---------------------------------
odefun
- Функции для решенияФункции, которые нужно решить, заданные как указатель на функцию, который определяет функции, которые будут интегрированы. odefun
и bcfun
необходимо принять одинаковое количество входных параметров.
К коду odefun
, используйте функциональную сигнатуру dydx = odefun(x,y)
для скалярного x
и вектор-столбец y
. Значение возврата dydt
является вектор-столбец типа данных single
или double
что соответствует f (x, y). odefun
необходимо принять оба входных параметров x
и y
, даже если один из аргументов не используется в функции.
Для примера, чтобы решить , используйте функцию:
function dydt = odefun(t,y) dydt = 5*y-3; end
Для системы уравнений выход odefun
является вектором. Каждый элемент в векторе является решением одного уравнения. Для примера, чтобы решить
используйте функцию:
function dydt = odefun(t,y) dydt = zeros(2,1); dydt(1) = y(1)+2*y(2); dydt(2) = 3*y(1)+2*y(2); end
bvp5c
также может решить задачи с особенностями в решении или многоточечных граничных условиях.
Пример: sol = bvp5c(@odefun, @bcfun, solinit)
Если решаемый BVP включает неизвестные параметры, можно вместо этого использовать функциональную сигнатуру dydx = odefun(x,y,p)
, где p
является вектором значений параметров. Когда вы используете эту функциональную сигнатуру, решатель BVP вычисляет значения неизвестных параметров, начиная с начального предположения для значений параметров, представленных в solinit
.
Типы данных: function_handle
bcfun
- Граничные условияГраничные условия, заданные как указатель на функцию, который вычисляет остаточную ошибку в граничных условиях. odefun
и bcfun
необходимо принять одинаковое количество входных параметров.
К коду bcfun
, используйте функциональную сигнатуру res = bcfun(ya,yb)
для векторов-столбцов ya
и yb
. Значение возврата res
является вектор-столбец типа данных single
или double
что соответствует остаточному значению граничных условий в граничных точках.
Например, если y(a) = 1 и y(b) = 0, то функция граничного условия
function res = bcfun(ya,yb) res = [ya(1)-1 yb(1)]; end
ya(1)-1
должен быть 0
в точке x = a. Точно так же, с y(b) = 0 года, остаточное значение yb(1)
должен быть 0
в точке x = b.
Граничные точки x = a и x = b, где применяются граничные условия, заданы в исходной предположительной структуре solinit
. Для двухточечных граничных задач значения, a = solinit.x(1)
и b = solinit.x(end)
.
Пример: sol = bvp5c(@odefun, @bcfun, solinit)
Если решаемый BVP включает неизвестные параметры, можно вместо этого использовать функциональную сигнатуру res = bcfun(ya,yb,p)
, где p
является вектором значений параметров. Когда вы используете эту функциональную сигнатуру, решатель BVP вычисляет значения неизвестных параметров, начиная с начального предположения для значений параметров, представленных в solinit
.
Типы данных: function_handle
solinit
- Начальное предположение решенияНачальное предположение решения, заданное как структура. Использовать bvpinit
для создания solinit
.
В отличие от задач начального значения, краевая задача может не иметь решения, конечного числа решений или бесконечно многих решений. Важной частью процесса решения BVP является предоставление предположения для необходимого решения. Качество этой догадки может быть критическим для эффективности решателя и даже для успешных расчетов. Для некоторых рекомендаций по созданию хорошего начального предположения смотрите Initial Guess of Solution.
Пример: sol = bvp5c(@odefun, @bcfun, solinit)
Типы данных: struct
options
- Структура опцийСтруктура опций. Используйте bvpset
функция для создания или изменения структуры опций.
Пример: options = bvpset('RelTol',1e-5,'Stats','on')
задает относительную погрешность допуск 1e-5
и включает отображение статистики решателя.
Типы данных: struct
sol
- Структура решенияСтруктура решения. Вы можете получить доступ к полям в sol
с индексацией через точку, например sol.field1
. Решение (sol.x
, sol.y
) непрерывно на интервале интегрирования, заданном в исходном mesh solinit.x
и имеет непрерывную первую производную там. Можно использовать sol
с deval
функция для вычисления решения в других точках интервала.
Структура sol
имеет эти поля.
Область | Описание |
---|---|
| Mesh, выбранная по |
| Приближение к y (x) в точках сетки |
| Приближение к y ′ (x) в точках сетки |
| Окончательные значения неизвестных параметров, заданные в |
|
|
| Вычислительная статистика затрат, связанная с решением: количество точек ячеек, остаточная ошибка и количество вызовов |
Для многоточечных краевых значений задач граничные условия применяются в нескольких точках интервала интегрирования.
bvp5c
может решить многоточечные краевые задачи, где a = <reservedrangesplaceholder14> 0 <<reservedrangesplaceholder13> 1 <<reservedrangesplaceholder12> 2 <... <<reservedrangesplaceholder11> <reservedrangesplaceholder10> = b являются граничными точками в интервале [a, b]. Точки a 1, a 2,... ,a n − 1 представляют интерфейсы, которые делятся [a, b] на области. bvp5c
перечисляет области слева направо (от a до b) с индексами, начинающимися от 1. В области k, [<reservedrangesplaceholder4> <reservedrangesplaceholder3> −1, <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1>], bvp5c
оценивает производную как
yp = odefun(x,y,k)
В функции граничных условий bcfun(yleft,yright)
, yleft(:,k)
решение в левом контуре [<reservedrangesplaceholder4> <reservedrangesplaceholder3> −1, <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1>]. Точно так же yright(:,k)
- решение на правом контуре области k. В частности, yleft(:,1) = y(a)
и yright(:,end) = y(b)
.
Когда вы создаете начальное предположение с bvpinit
, используйте двойные значения в xinit
для каждой точки интерфейса. Смотрите страницу с описанием для bvpinit
для получения дополнительной информации.
Если yinit
является функцией, bvpinit
вызывает y = yinit(x,k)
чтобы получить начальное предположение для решения в x
в области k
. В структуре решения sol
возвращается по bpv4c
, sol.x
имеет двойные значения для каждой точки интерфейса. Соответствующие столбцы sol.y
содержат левое и правое решения в интерфейсе, соответственно.
Смотрите Решение BVP с несколькими граничными условиями для примера, который решает задачу граничного значения с тремя точками.
bvp5c
решает класс сингулярных краевых значений задач, включая задачи с неизвестными параметрами p
, формы
Интервал должен быть [0, b] с b > 0. Часто такие проблемы возникают при вычислении плавного решения ОДУ, которые являются результатом дифференциальных уравнений с частными производными (PDE) из-за цилиндрической или сферической симметрии. Для сингулярных задач задаете (постоянную) матрицу S
как значение 'SingularTerm'
опция bvpset
, и odefun
оценивает только f (x, y, p). Граничные условия и начальное предположение должны соответствовать необходимому условию для плавности S · y (0) = 0.
Смотрите Решение BVP с Сингулярным Термином для примера, который решает задачу сингулярного граничного значения.
bvp5c
является конечным разностным кодом, который реализует четырехэтапную формулу Лобатто IIIa [1]. Это формула коллокации, и полином коллокации обеспечивает C1- непрерывное решение, которое равномерно в пятом порядке [a,b]
. Формула реализована как неявная формула Рунге-Кутты. Некоторые различия между bvp5c
и bvp4c
являются:
bvp5c
решает алгебраические уравнения непосредственно. bvp4c
использует аналитическую конденсацию.
bvp4c
непосредственно обрабатывает неизвестные параметры. bvp5c
увеличивает систему тривиальными дифференциальными уравнениями для неизвестных параметров.
[1] Шемпине, Л.Ф., и Я. Кирженка. «Решатель BVP, который управляет невязкой и ошибкой». Дж. Нумер. Anal. Ind. App. Math. Vol. 3 (1-2), 2008, pp. 27-41.
У вас есть измененная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример с вашими правками?
1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.
2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.
3. Сохраняйте структуру оригинального текста - например, не разбивайте одно предложение на два.
4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.
5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.