Модель

Модельное уравнение для этой задачи

где $$A_1$$, $$A_2$$, $$r_1$$, и $$r_2$$ являются неизвестными параметрами, $$y$$ является ответом, и $$t$$ время. Задача требует данных для времени tdata и (шумные) измерения отклика ydata. Цель - найти лучшее $$A$$ и $$r$$, что означает те значения, которые минимизируют

Выборочные данные

Как правило, у вас есть данные для задачи. В этом случае сгенерируйте искусственные зашумленные данные для задачи. Использование A = [1,2] и r = [-1,-3] в качестве базовых значений и используйте 200 случайных значений из 0 в 3 в качестве временных данных. Постройте график получившихся точек данных.

rng default % For reproducibility
A = [1,2];
r = [-1,-3];
tdata = 3*rand(200,1);
tdata = sort(tdata); % Increasing times for easier plotting
noisedata = 0.05*randn(size(tdata)); % Artificial noise
ydata = A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata) + noisedata;
plot(tdata,ydata,'r*')
xlabel 't'
ylabel 'Response'

Данные зашумленные. Поэтому решение, вероятно, не будет совпадать с исходными параметрами A и r очень хорошо.

Основанный на проблеме подход

Чтобы найти оптимальные параметры A и rсначала задайте переменные оптимизации с этими именами.

A = optimvar('A',2);
r = optimvar('r',2);

Создайте выражение для целевой функции, которая является суммой квадратов, чтобы минимизировать.

fun = A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata);
obj = sum((fun - ydata).^2);

Создайте задачу оптимизации с целевой функцией obj.

lsqproblem = optimproblem("Objective",obj);

Для основанного на проблеме подхода задайте начальную точку как структуру с именами переменных в качестве полей структуры. Задайте начальное A = [1/2,3/2] и начальное r = [-1/2,-3/2].

x0.A = [1/2,3/2];
x0.r = [-1/2,-3/2];

Проверьте формулировку задачи.

show(lsqproblem)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       A, r

	minimize :
       sum(arg6)

       where:

         arg5 = extraParams{3};
         arg6 = (((A(1) .* exp((r(1) .* extraParams{1}))) + (A(2) .* exp((r(2) .* extraParams{2})))) - arg5).^2;

       extraParams

Основанное на проблеме решение

Решите проблему.

[sol,fval] = solve(lsqproblem,x0)

Solving problem using lsqnonlin.

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>

sol = struct with fields:
    A: [2×1 double]
    r: [2×1 double]

fval = 0.4724

Постройте график получившегося решения и исходных данных.

figure
responsedata = evaluate(fun,sol);
plot(tdata,ydata,'r*',tdata,responsedata,'b-')
legend('Original Data','Fitted Curve')
xlabel 't'
ylabel 'Response'
title("Fitted Response")

График показывает, что подгоненные данные довольно хорошо соответствуют исходным зашумленным данным.

Посмотрите, насколько подобранные параметры соответствуют исходным параметрам A = [1,2] и r = [-1,-3].

disp(sol.A)

    1.1615
    1.8629

disp(sol.r)

   -1.0882
   -3.2256

Установленные параметры отключены примерно на 15% в A и 8% в r.

Неподдерживаемые функции требуют fcn2optimexpr

Если ваша целевая функция не состоит из элементарных функций, необходимо преобразовать функцию в выражение оптимизации с помощью fcn2optimexpr. См. Преобразование нелинейной функции в выражение оптимизации. Для настоящего примера:

fun = @(A,r) A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata);
response = fcn2optimexpr(fun,A,r);
obj = sum((response - ydata).^2);

Остальные шаги в решении задачи те же. Единственное другое различие заключается в стандартной программе графического изображения, где вы вызываете response вместо fun:

responsedata = evaluate(response,sol);

Список поддерживаемых функций см. в Поддерживаемые операции с переменными оптимизации и выражениями.