Решение уравнений с ограничениями неравенства

fsolve решает систему нелинейных уравнений. Однако это не позволяет включать какие-либо ограничения, даже связанные ограничения. Так как можно решить систему нелинейных уравнений, когда у вас есть ограничения?

Решение, удовлетворяющее вашим ограничениям, не гарантировано. На самом деле, задача может не иметь никакого решения, даже такого, которое не удовлетворяет вашим ограничениям. Однако существуют методы, которые помогают вам искать решения, которые удовлетворяют вашим ограничениям.

Чтобы проиллюстрировать методы, рассмотрим, как решить уравнения

где компоненты $$x$$ должно быть неотрицательным. Уравнения имеют четыре решения:

Только одно решение удовлетворяет ограничениям, а именно $$x = (10,20)$$.

The fbnd helper функция в конце этого примера вычисляет $$F(x)$$ численно.

Использование различных начальных точек

Как правило, система $$N$$ уравнения в $$N$$ переменные имеют изолированные решения, что означает, что каждое решение не имеет ближайших соседей, которые также являются решениями. Итак, один из способов поиска решения, удовлетворяющего некоторым ограничениям, - это сгенерировать ряд начальных точек x0, а затем запустите fsolve начиная с каждого x0.

В данном примере, чтобы найти решение системы уравнений $$F(x)=0$$, взять 10 случайных точек, которые обычно распределены со средним 0 и стандартным отклонением 100.

rng default % For reproducibility
N = 10; % Try 10 random start points
pts = 100*randn(N,2); % Initial points are rows in pts
soln = zeros(N,2); % Allocate solution
opts = optimoptions('fsolve','Display','off');
for k = 1:N
    soln(k,:) = fsolve(@fbnd,pts(k,:),opts); % Find solutions
end

Перечислите решения, которые удовлетворяют ограничениям.

idx = soln(:,1) >= 0 & soln(:,2) >= 0;
disp(soln(idx,:))

   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000

Используйте различные алгоритмы

fsolve имеет три алгоритма. Каждый может привести к различным решениям.

В данном примере примите   x0 = [1,9] и исследуйте решение каждого алгоритма возвратов.

x0 = [1,9];
opts = optimoptions(@fsolve,'Display','off',...
    'Algorithm','trust-region-dogleg');
x1 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x1 = 1×2

   -1.0000   -2.0000

opts.Algorithm = 'trust-region';
x2 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x2 = 1×2

   -1.0000   20.0000

opts.Algorithm = 'levenberg-marquardt';
x3 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x3 = 1×2

    0.9523    8.9941

Здесь все три алгоритма находят различные решения для одной и той же начальной точки. Ни один из них не удовлетворяет ограничениям. Сообщенное «решение» x3 это даже не решение, а просто локально стационарная точка.

Использование lsqnonlin с границами

lsqnonlin пытается минимизировать сумму квадратов компонентов в функции вектора $$F(x)$$. Поэтому он пытается решить уравнение $$F(x) = 0$$. Кроме того, lsqnonlin принимает ограничения привязки.

Сформулируйте пример задачи для lsqnonlin и решить его.

lb = [0,0];
rng default
x0 = 100*randn(2,1);
[x,res] = lsqnonlin(@fbnd,x0,lb)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

x = 2×1

   10.0000
   20.0000

res = 2.4783e-25

В этом случае lsqnonlin сходится к решению, удовлетворяющему ограничениям. Можно использовать lsqnonlin с помощью Global Optimization Toolbox MultiStart решатель для автоматического поиска по многим начальным точкам. Смотрите MultiStart Использование lsqcurvefit или lsqnonlin (Global Optimization Toolbox).

Установите уравнения и неравенства как fmincon Ограничения

Можно переформулировать задачу и использовать fmincon следующим образом:

The fminconstr Функция helper в конце этого примера реализует нелинейные ограничения. Решите ограниченную задачу.

lb = [0,0]; % Lower bound constraint
rng default % Reproducible initial point
x0 = 100*randn(2,1);
opts = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','interior-point','Display','off');
x = fmincon(@(x)0,x0,[],[],[],[],lb,[],@fminconstr,opts)

x = 2×1

   10.0000
   20.0000

В этом случае fmincon решает задачу с начальной точки.

Вспомогательные функции

Этот код создает fbnd вспомогательная функция.

function F = fbnd(x)

F(1) = (x(1)+1)*(10-x(1))*(1+x(2)^2)/(1+x(2)^2+x(2));
F(2) = (x(2)+2)*(20-x(2))*(1+x(1)^2)/(1+x(1)^2+x(1));
end

Этот код создает fminconstr вспомогательная функция.

function [c,ceq] = fminconstr(x)

c = []; % No nonlinear inequality
ceq = fbnd(x); % fsolve objective is fmincon nonlinear equality constraints
end