fsolve

Решает систему нелинейных уравнений

Синтаксис

x = fsolve(fun,x0)

x = fsolve(fun,x0,options)

x = fsolve(problem)

[x,fval]
= fsolve(___)

[x,fval,exitflag,output]
= fsolve(___)

[x,fval,exitflag,output,jacobian]
= fsolve(___)

Описание

Решатель нелинейной системы

Решает задачу, заданную как

F (<reservedrangesplaceholder0>) = 0

для x, где F (x) является функцией, которая возвращает вектору значение.

x является вектором или матрицей; см. Матричные аргументы.

пример

x = fsolve(fun,x0) начинается с x0 и пытается решить уравнения fun(x) = 0, массив нулей.

пример

x = fsolve(fun,x0,options) решает уравнения с опциями оптимизации, заданными в options. Использовать optimoptions чтобы задать эти опции.

пример

x = fsolve(problem) решает problem, структуру, описанную в problem.

пример

[x,fval] = fsolve(___)для любого синтаксиса возвращает значение целевой функции fun в решении x.

пример

[x,fval,exitflag,output] = fsolve(___) дополнительно возвращает значение exitflag который описывает условие fsolve, и структуру output с информацией о процессе оптимизации.

[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(___) возвращает якобиан fun в решении x.

Примеры

свернуть все

Решение 2-D нелинейной системы

Открыть скрипт

Этот пример показывает, как решить два нелинейных уравнения в двух переменных. Уравнения

$\begin{array}{c}
{e^{ - {e^{ - ({x_1} + {x_2})}}}} = {x_2}\left( {1 + x_1^2} \right)\\
{x_1}\cos \left( {{x_2}} \right) + {x_2}\sin \left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{2}.
\end{array}$

Преобразуйте уравнения в форму. $F(x) = \bf{0}$

$\begin{array}{c}
{e^{ - {e^{ - ({x_1} + {x_2})}}}} - {x_2}\left( {1 + x_1^2} \right) = 0\\
{x_1}\cos \left( {{x_2}} \right) + {x_2}\sin \left( {{x_1}} \right)
- \frac{1}{2} = 0. \end{array}$

Напишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

Сохраните этот код как файл с именем root2d.m на пути MATLAB ®.

Решить систему уравнений, начиная с точки [0,0].

fun = @root2d;
x0 = [0,0];
x = fsolve(fun,x0)

Equation solved.

fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.


x =

    0.3532    0.6061

Решение с опциями Nondefault

Открыть скрипт

Исследуйте процесс решения для нелинейной системы.

Установите опции, чтобы не было отображения, и функцию построения графика, которая отображает оптимальность первого порядка, которая должна сходиться к 0, когда алгоритм итератирует.

options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);

Уравнения в нелинейной системе

$\begin{array}{c}
{e^{ - {e^{ - ({x_1} + {x_2})}}}} = {x_2}\left( {1 + x_1^2} \right)\\
{x_1}\cos \left( {{x_2}} \right) + {x_2}\sin \left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{2}.
\end{array}$

Преобразуйте уравнения в форму. $F(x) = \bf{0}$

$\begin{array}{c}
{e^{ - {e^{ - ({x_1} + {x_2})}}}} - {x_2}\left( {1 + x_1^2} \right) = 0\\
{x_1}\cos \left( {{x_2}} \right) + {x_2}\sin \left( {{x_1}} \right)
- \frac{1}{2} = 0. \end{array}$

Напишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

Сохраните этот код как файл с именем root2d.m на пути MATLAB ®.

Решить нелинейную систему начиная с точки [0,0] и наблюдать за процессом решения.

fun = @root2d;
x0 = [0,0];
x = fsolve(fun,x0,options)

x =

    0.3532    0.6061

Решите структуру задачи

Открыть скрипт

Создайте структуру задачи для fsolve и решить проблему.

Решите ту же задачу, что и в Solution with Nondefault Options, но сформулируйте задачу с помощью структуры задачи.

Установите опции для задачи, чтобы не было отображения, и функции построения графика, которая отображает оптимальность первого порядка, которая должна сходиться к 0, когда алгоритм итератирует.

problem.options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);

Уравнения в нелинейной системе

$\begin{array}{c}
{e^{ - {e^{ - ({x_1} + {x_2})}}}} = {x_2}\left( {1 + x_1^2} \right)\\
{x_1}\cos \left( {{x_2}} \right) + {x_2}\sin \left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{2}.
\end{array}$

Преобразуйте уравнения в форму. $F(x) = \bf{0}$

$\begin{array}{c}
{e^{ - {e^{ - ({x_1} + {x_2})}}}} - {x_2}\left( {1 + x_1^2} \right) = 0\\
{x_1}\cos \left( {{x_2}} \right) + {x_2}\sin \left( {{x_1}} \right)
- \frac{1}{2} = 0. \end{array}$

Напишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

Сохраните этот код как файл с именем root2d.m на пути MATLAB ®.

Создайте оставшиеся поля в структуре задачи.

problem.objective = @root2d;
problem.x0 = [0,0];
problem.solver = 'fsolve';

Решите проблему.

x = fsolve(problem)

x =

    0.3532    0.6061

Процесс решения нелинейной системы

Открыть Live Script

Этот пример возвращает итеративное отображение, показывающее процесс решения для системы двух уравнений и двух неизвестных

$\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} = e^{- x_{1}} \\ - x_{1} + 2 x_{2} = e^{- x_{2}} . \end{array}$

Перепишите уравнения в виде $F (x) = 0$ :

$\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} - e^{- x_{1}} = 0 \\ - x_{1} + 2 x_{2} - e^{- x_{2}} = 0 . \end{array}$

Начните поиск решения в x0 = [-5 -5].

Во-первых, напишите функцию, которая вычисляет F, значения уравнений в x.

F = @(x) [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));
         -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];

Создайте начальную точку x0.

x0 = [-5;-5];

Установите опции, чтобы вернуть итеративное отображение.

options = optimoptions('fsolve','Display','iter');

Решить уравнения.

[x,fval] = fsolve(F,x0,options)

                                         Norm of      First-order   Trust-region
 Iteration  Func-count     f(x)          step         optimality    radius
     0          3         47071.2                      2.29e+04               1
     1          6         12003.4              1       5.75e+03               1
     2          9         3147.02              1       1.47e+03               1
     3         12         854.452              1            388               1
     4         15         239.527              1            107               1
     5         18         67.0412              1           30.8               1
     6         21         16.7042              1           9.05               1
     7         24         2.42788              1           2.26               1
     8         27        0.032658       0.759511          0.206             2.5
     9         30     7.03149e-06       0.111927        0.00294             2.5
    10         33     3.29525e-13     0.00169132       6.36e-07             2.5

Equation solved.

fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.

fval = 2×1
10^-6 ×

   -0.4059
   -0.4059

Итеративное отображение показывает f(x), который является квадратом нормы функции F(x). Это значение уменьшается до почти нуля по мере продолжения итераций. Мера оптимальности первого порядка также уменьшается до почти нуля по мере продолжения итераций. Эти записи показывают сходимость итераций к решению. Значения других записей см. в разделе Итеративное отображение.

The fval выход приводит к значению функции F(x), который должен быть нулем в решении (в пределах FunctionTolerance допуск).

Исследуйте решение матричного уравнения

Открыть Live Script

Найдите матрицу $X$ который удовлетворяет

$X * X * X = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ ,

начиная с точки x0 = [1,1;1,1]. Создайте анонимную функцию, которая вычисляет матричное уравнение и создает точку x0.

fun = @(x)x*x*x - [1,2;3,4];
x0 = ones(2);

Установите опции без отображения.

options = optimoptions('fsolve','Display','off');

Исследуйте fsolve выходы для просмотра качества и процесса решения.

[x,fval,exitflag,output] = fsolve(fun,x0,options)

x = 2×2

   -0.1291    0.8602
    1.2903    1.1612

fval = 2×2
10^-9 ×

   -0.1618    0.0778
    0.1160   -0.0474

exitflag = 1

output = struct with fields:
       iterations: 6
        funcCount: 35
        algorithm: 'trust-region-dogleg'
    firstorderopt: 2.4095e-10
          message: '...'

Значение выходного флага 1 указывает, что решение надежно. Чтобы проверить это вручную, вычислите невязку (сумму квадратов fval), чтобы увидеть, насколько близко это к нулю.

sum(sum(fval.*fval))

ans = 4.7957e-20

Эта небольшая невязка подтверждает, что x является решением.

Вы можете увидеть в output структурировать, сколько итераций и вычислений функции fsolve выполняется для поиска решения.

Входные параметры

свернуть все

`fun` - Нелинейные уравнения для решения
указатель на функцию | имя функции

Нелинейные уравнения для решения, заданные как указатель на функцию или имя функции. fun является функцией, которая принимает вектор x и возвращает вектор F, нелинейные уравнения, рассчитанные в x. Решаемые уравнения F = 0 для всех компонентов F. Функция fun может быть задан как указатель на функцию для файла

x = fsolve(@myfun,x0)

где myfun является MATLAB^® функция, такая как

function F = myfun(x)
F = ...            % Compute function values at x

fun может также быть указателем на функцию для анонимной функции.

x = fsolve(@(x)sin(x.*x),x0);

Если заданные пользователем значения для x и F являются массивами, они преобразуются в векторы с помощью линейной индексации (см. Индексация массивов).

Если якобиан также может быть вычислен и 'SpecifyObjectiveGradient' опция true, устанавливается

options = optimoptions('fsolve','SpecifyObjectiveGradient',true)

функции fun должен вернуть во втором выходном аргументе значение якобиана J, матрица, в x.

Если fun возвращает вектор (матрицу) m компоненты и x имеет длину n, где n - длина x0, якобиан J является m-by- n матрица, где J(i,j) - частная производная F(i) относительно x(j). (Якобиан J - транспонирование градиента F.)

Пример: fun = @(x)x*x*x-[1,2;3,4]

Типы данных: char | function_handle | string

`x0` - Начальная точка
вектор действительных чисел | вещественный массив

Начальная точка, заданная как вектор действительных чисел или вещественный массив. fsolve использует количество элементов в и размер x0 для определения количества и размера переменных, которые fun принимает.

Пример: x0 = [1,2,3,4]

Типы данных: double

`options` - Опции оптимизации
выход `optimoptions` | структуру следующим `optimset` возвраты

Опции оптимизации, заданные как выход optimoptions или структуру, такую как optimset возвращает.

Некоторые опции применяются ко всем алгоритмам, а другие релевантны для конкретных алгоритмов. Подробную информацию см. в Ссылке по опциям оптимизации.

Некоторые опции отсутствуют в optimoptions отображение. Эти опции выделены курсивом в следующей таблице. Для получения дополнительной информации см. раздел «Опции представления».

Все алгоритмы
`Algorithm`	Выберите между `'trust-region-dogleg'` (по умолчанию), `'trust-region'`, и `'levenberg-marquardt'`. The `Algorithm` опция задаёт выбор, для какого алгоритма использовать. Это только выбор, потому что для алгоритма доверительной области нелинейная система уравнений не может быть недостаточно определена; то есть количество уравнений (количество элементов `F` возвращается по `fun`) должно быть не менее длины `x`. Точно так же для алгоритма доверительной области-резкого искривления количество уравнений должно быть таким же, как и длина `x`. `fsolve` использует алгоритм Левенберга-Марквардта, когда выбранный алгоритм недоступен. Для получения дополнительной информации о выборе алгоритма смотрите Выбор алгоритма. Чтобы задать некоторые опции алгоритма, используя `optimset` вместо `optimoptions`: `Algorithm` - Установите алгоритм равным `'trust-region-reflective'` вместо `'trust-region'`. InitDamping - Установите начальный параметр Левенберга-Марквардта λ путем установки `Algorithm` в массив ячеек, такой как `{'levenberg-marquardt',.005}`.
`CheckGradients`	Сравните поставляемые пользователем производные (градиенты цели или ограничения) с конечными дифференцирующими производными. Выбор следующий `true` или значение по умолчанию `false`. Для `optimset`, имя `DerivativeCheck` и значения `'on'` или `'off'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
Диагностика	Отобразите диагностическую информацию о функции, которая будет минимизирована или решена. Выбор следующий `'on'` или значение по умолчанию `'off'`.
DiffMaxChange	Максимальное изменение переменных для градиентов конечных различий (a положительной скалярной величины). Значение по умолчанию является `Inf`.
DiffMinChange	Минимальное изменение переменных для градиентов с конечной разностью (a положительной скалярной величины). Значение по умолчанию является `0`.
`Display`	Level of display (см. Итеративное отображение): `'off'` или `'none'` не отображает выход. `'iter'` отображает выход при каждой итерации и выдает выходное сообщение по умолчанию. `'iter-detailed'` отображает выход при каждой итерации и выдает техническое выходное сообщение. `'final'` (по умолчанию) отображает только окончательный выход и выдает выходное сообщение по умолчанию. `'final-detailed'` отображает только окончательный выход и выдает техническое выходное сообщение.
`FiniteDifferenceStepSize`	Скаляр или векторный коэффициент размера для конечных различий. Когда вы задаете `FiniteDifferenceStepSize` в вектор `v`, прямые конечные различия `delta` являются `delta = v.sign′(x).max(abs(x),TypicalX);` где `sign′(x) = sign(x)` кроме `sign′(0) = 1`. Центральные конечные различия `delta = v.*max(abs(x),TypicalX);` Скалярные `FiniteDifferenceStepSize` расширяется до вектора. Значение по умолчанию является `sqrt(eps)` для прямых конечных различий и `eps^(1/3)` для центральных конечных различий. Для `optimset`, имя `FinDiffRelStep`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`FiniteDifferenceType`	Конечные различия, используемые для оценки градиентов, либо `'forward'` (по умолчанию), или `'central'` (с центром). `'central'` принимает в два раза больше вычислений функции, но должен быть более точным. Алгоритм осторожен, чтобы подчиниться границам при оценке обоих типов конечных различий. Так, например, это может занять различие назад, а не вперед, чтобы избежать оценки в точке вне границ. Для `optimset`, имя `FinDiffType`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`FunctionTolerance`	Отклонение завершения функции от значения, a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `1e-6`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя `TolFun`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
FunValCheck	Проверьте, действительны ли значения целевой функции. `'on'` отображает ошибку, когда целевая функция возвращает значение, которое `complex`, `Inf`, или `NaN`. Значение по умолчанию, `'off'`, не отображает ошибок.
`MaxFunctionEvaluations`	Максимально допустимое количество вычислений функции, положительное целое число. Значение по умолчанию является `100*numberOfVariables`. См. Допуски и критерий остановки и итерации и счетчики функций. Для `optimset`, имя `MaxFunEvals`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`MaxIterations`	Максимально допустимое количество итераций, положительное целое число. Значение по умолчанию является `400`. См. Допуски и критерий остановки и итерации и счетчики функций. Для `optimset`, имя `MaxIter`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`OptimalityTolerance`	Допуск завершения по оптимальности первого порядка (a положительной скалярной величины). Значение по умолчанию является `1e-6`. См. «Мера оптимальности первого порядка». Внутренне, `'levenberg-marquardt'` алгоритм использует допуск оптимальности (критерий остановки) `1e-4` время `FunctionTolerance` и не использует `OptimalityTolerance`.
`OutputFcn`	Задайте одну или несколько пользовательских функций, которые вызываются функциями оптимизации при каждой итерации. Передайте указатель на функцию или cell-массив указателей на функцию. Значением по умолчанию является none (`[]`). Смотрите Выходные функции и Синтаксис функции построения графика.
`PlotFcn`	Строит графики различных показателей прогресса во время выполнения алгоритма; выберите из предопределенных графиков или напишите свои собственные. Передайте встроенное имя функции построения графика, указатель на функцию или массив ячеек со встроенными именами функций построения графика или указателями на функцию. Для пользовательских функций построения графика передайте указатели на функцию. Значением по умолчанию является none (`[]`): `'optimplotx'` строит графики текущей точки. `'optimplotfunccount'` строит график счетчика функций. `'optimplotfval'` строит график значения функции. `'optimplotstepsize'` строит графики размера шага. `'optimplotfirstorderopt'` строит графики меры оптимальности первого порядка. Пользовательские функции построения графика используют тот же синтаксис, что и выходные функции. Смотрите Выходные функции для Optimization Toolbox™ и синтаксиса выходной функции и функции построения графика. Для `optimset`, имя `PlotFcns`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`SpecifyObjectiveGradient`	Если `true`, `fsolve` использует определяемый пользователем якобиан (заданный в `fun`), или якобианскую информацию (при использовании `JacobianMultiplyFcn`), для целевой функции. Если `false` (по умолчанию), `fsolve` аппроксимирует якобиан, используя конечные различия. Для `optimset`, имя `Jacobian` и значения `'on'` или `'off'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`StepTolerance`	Допуск завершения на `x`, а положительная скалярная величина. Значение по умолчанию является `1e-6`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя `TolX`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`TypicalX`	Типичные `x` значения. Количество элементов в `TypicalX` равно количеству элементов в `x0`, а начальная точка. Значение по умолчанию `ones(numberofvariables,1)`. `fsolve` использует `TypicalX` для масштабирования конечных различий для оценки градиента. The `trust-region-dogleg` алгоритм использует `TypicalX` как диагональные условия масштабирующей матрицы.
`UseParallel`	Когда `true`, `fsolve` оценивает градиенты параллельно. Отключите, установив значение по умолчанию, `false`. См. Параллельные вычисления.
Алгоритм доверительной области
`JacobianMultiplyFcn`	Функция умножения якобиана, заданная как указатель на функцию. Для крупномасштабных структурированных задач эта функция вычисляет матричный продукт Якобия `JY`, `J'Y`, или `J'(JY)` не образуя фактически `J`. Функция имеет вид W = jmfun(Jinfo,Y,flag) где `Jinfo` содержит матрицу, используемую для вычисления `JY` (или `J'Y`, или `J'(JY)`). Первый аргумент `Jinfo` должен совпадать со вторым аргументом, возвращаемым целевой функцией `fun`, для примера, в [F,Jinfo] = fun(x) `Y` - матрица, которая имеет одинаковое число строк, так как в задаче есть размерности. `flag` определяет, какой продукт вычислить: Если `flag == 0`, `W = J'(JY)`. Если `flag > 0`, `W = JY`. Если `flag < 0`, `W = J'Y`. В каждом случае `J` не формируется явным образом. `fsolve` использует `Jinfo` для вычисления средства предварительной подготовки. Смотрите Передачу Дополнительных Параметров для получения информации о том, как задать значения для любых дополнительных параметров `jmfun` потребности. Примечание `'SpecifyObjectiveGradient'` должно быть установлено в `true` для `fsolve` для прохождения `Jinfo` от `fun` на `jmfun`. Смотрите Минимизацию с Плотным Структурированным Гессианом, Линейными Равенствами для аналогичного примера. Для `optimset`, имя `JacobMult`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
JacobPattern	Разреженность шаблона якобиана для конечного дифференцирования. Задайте `JacobPattern(i,j) = 1` когда `fun(i)` зависит от `x(j)`. В противном случае задайте `JacobPattern(i,j) = 0`. Другими словами, `JacobPattern(i,j) = 1` когда можно ∂ `fun(i)`/ `<reservedrangesplaceholder0>` ≠ 0. Использование `JacobPattern` когда неудобно вычислять матрицу Якобия `J` в `fun`хотя можно определить (скажем, по осмотру), когда `fun(i)` зависит от `x(j)`. `fsolve` может аппроксимировать `J` через разреженные конечные различия, когда вы даете `JacobPattern`. В худшем случае, если структура неизвестна, не устанавливайте `JacobPattern`. Поведение по умолчанию как будто `JacobPattern` - плотная матрица таковых. Тогда `fsolve` вычисляет полное приближение конечной разности в каждой итерации. Это может быть очень дорого для больших задач, поэтому обычно лучше определить структуру разреженности.
MaxPCGIter	Максимальное количество итераций PCG (предварительно обусловленный сопряженный градиент), a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `max(1,floor(numberOfVariables/2))`. Для получения дополнительной информации см. Алгоритмы решения уравнений.
PrecondBandWidth	Верхняя шумовая полоса предкондиционера для PCG, неотрицательного целого числа. Значение по умолчанию `PrecondBandWidth` является `Inf`, что означает, что используется прямая факторизация (Холецкий), а не сопряженные градиенты (CG). Прямая факторизация является в вычислительном отношении более дорогой, чем CG, но производит более качественный шаг к решению. Задайте `PrecondBandWidth` на `0` для диагонального предварительного преобразования (верхняя полоса пропускания 0). Для некоторых задач промежуточная полоса пропускания уменьшает количество итераций PCG.
`SubproblemAlgorithm`	Определяет, как вычисляется шаг итерации. Значение по умолчанию, `'factorization'`, делает более медленный, но более точный шаг, чем `'cg'`. См. Алгоритм доверительной области.
TolPCG	Допуск завершения на итерации PCG, a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `0.1`.
Алгоритм Левенберга-Марквардта
InitDamping	Начальное значение параметра Левенберга-Марквардта, a положительной скалярной величины. По умолчанию это `1e-2`. Для получения дополнительной информации см. Метод Левенберга-Марквардта.
ScaleProblem	`'jacobian'` иногда может улучшить сходимость плохо масштабируемой задачи. Значение по умолчанию является `'none'`.

Пример: options = optimoptions('fsolve','FiniteDifferenceType','central')

`problem` - Структура задачи
структура

Структура задачи, заданная как структура со следующими полями:

Имя поля	Вход
`objective`	Целевая функция
`x0`	Начальная точка для `x`
`solver`	`'fsolve'`
`options`	Опции, созданные с `optimoptions`

Типы данных: struct

Выходные аргументы

свернуть все

`x` - Решение
вектор действительных чисел | вещественный массив

Решение, возвращенное как вектор действительных чисел или действительный массив. Размер x совпадает с размером x0. Как правило, x является локальным решением проблемы, когда exitflag положительно. Для получения информации о качестве решения см., Когда решатель преуспевает.

`fval` - Значение целевой функции в решении
вектор действительных чисел

Значение целевой функции в решении, возвращаемое как вектор действительных чисел. Обычно fval = fun(x).

`exitflag` - Причины `fsolve` остановленный
целое число

Причина fsolve stop, возвращается как целое число.

`1`	Уравнение решено. Оптимальность первого порядка небольшая.
`2`	Уравнение решено. Изменение в `x` меньше заданного допуска, или якобиан при `x` не определено.
`3`	Уравнение решено. Изменение невязки меньше заданного допуска.
`4`	Уравнение решено. Величина направления поиска меньше заданного допуска.
`0`	Превышено количество итераций `options.MaxIterations` или превышено количество вычислений функции `options.MaxFunctionEvaluations`.
`-1`	Выходная функция или функция построения графика остановили алгоритм.
`-2`	Уравнение не решено. Выходное сообщение может иметь дополнительную информацию.
`-3`	Уравнение не решено. Радиус доверительной области стал слишком маленьким (`trust-region-dogleg` алгоритм).

`output` - Информация о процессе оптимизации
структура

Информация о процессе оптимизации, возвращенная как структура с полями:

`iterations`	Количество проделанных итераций
`funcCount`	Количество вычислений функции
`algorithm`	Используемый алгоритм оптимизации
`cgiterations`	Общее количество итераций PCG (`'trust-region'` только алгоритм)
`stepsize`	Окончательное перемещение в `x` (не в `'trust-region-dogleg'`)
`firstorderopt`	Мера оптимальности первого порядка
`message`	Выходное сообщение

`jacobian` - якобиан в решении
действительная матрица

Якобиан в решении, вернулся как действительная матрица. jacobian(i,j) - частная производная fun(i) относительно x(j) в решении x.

Ограничения

Функция, которая будет решена, должна быть непрерывной.
Когда успешно, fsolve дает только один корень.
Метод резкого искривления доверительной области по умолчанию может только использоваться, когда система уравнений квадратная, т.е., количество уравнений равняется количеству неизвестных. Для метода Левенберга-Марквардта система уравнений не должна быть квадратной.

Совет

Для больших задач, означающих те, у кого тысячи переменных или больше, сохраните память (и, возможно, сэкономьте время), установив Algorithm опция для 'trust-region' и SubproblemAlgorithm опция для 'cg'.

Алгоритмы

Методы Левенберга-Марквардта и доверительной области основаны на нелинейном методе наименьших квадратов алгоритмах, также используемых в lsqnonlin. Используйте один из следующих методов, если в системе может не быть нуля. Алгоритм все еще возвращает точку, где невязка маленькая. Однако, если якобиан системы сингулярен, алгоритм может сходиться к точке, которая не является решением системы уравнений (см. Ограничения).

По умолчанию fsolve выбирает алгоритм резкого искривления доверительной области. Алгоритм является вариантом метода резкого искривления Пауэлла, описанного в [8]. Он аналогичен алгоритму, реализованному в [7]. См. Алгоритм доверительной области-резкого искривления.
Алгоритм доверительной области является подпространственным методом доверительной области и основан на интерьерно-отражающем методе Ньютона, описанном в [1] и [2]. Каждая итерация включает приблизительное решение большой линейной системы с использованием метода предварительно обусловленных сопряженных градиентов (PCG). См. Алгоритм доверительной области.
Метод Левенберга-Марквардта описан в ссылках [4], [5] и [6]. См. Метод Левенберга-Марквардта.

Альтернативная функциональность

Приложение

Задача Optimize Live Editor обеспечивает визуальный интерфейс для fsolve.

Ссылки

[1] Coleman, T.F. and Y. Li, «An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds», SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, pp. 418-445, 1996.

[2] Coleman, T.F. and Y. Li, «On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large Nonlinear Minimization Subjected to Bounds», Mathematical Programming, Vol. 67, Number 2, pp. 189-224, 1994.

[3] Деннис, Дж. Э. Младший, «Нелинейные наименьшие квадраты», Состояние искусства в численном анализе, ред. Д. Якобс, Академическая пресса, стр. 269-312.

[4] Левенберг, К., «Метод решения некоторых задач в наименьших квадратах», ежеквартальная прикладная математика 2, стр. 164-168, 1944.

[5] Марквардт, Д., «Алгоритм оценки нелинейных параметров методом наименьших квадратов», SIAM Journal Applied Mathematics, Vol. 11, pp. 431-441, 1963.

[6] Moré, J. J., «The Levenberg-Marquardt Algorithm: Implementation and Theory», Numerical Analysis, ed. G. A. Watson, Lecture Notes in Mathematics 630, Springer Verlag, pp. 105-116, 1977.

[7] Море, Дж. Дж., Б. С. Garbow, and K. E. Hillstrom, Руководство for MINPACK 1, Argonne National Laboratory, Rept. ANL-80-74, 1980.

[8] Пауэлл, М. Дж. Д., «Стандартная подпрограмма Фортрана для решения систем нелинейных алгебраических уравнений», Численные методы для нелинейных алгебраических уравнений, П. Рабиновиц, изд., Ch.7, 1970.

Расширенные возможности

Генерация кода C/C + +
Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®

Для получения примера смотрите Сгенерировать Код для fsolve.

Автоматическая параллельная поддержка
Ускорите код путем автоматического выполнения расчетов параллельно с помощью Parallel Computing Toolbox™.

Чтобы запустить параллельно, установите 'UseParallel' опция для true.

опции = optimoptions ('solvername',' UseParallel ', true)

Для получения дополнительной информации смотрите Использование параллельных вычислений в Optimization Toolbox.

См. также

fzero | lsqcurvefit | lsqnonlin | Оптимизировать | optimoptions

Темы

Представлено до R2006a

Документация

fsolve

Синтаксис

Описание

Примеры

Решение 2-D нелинейной системы

Решение с опциями Nondefault

Решите структуру задачи

Процесс решения нелинейной системы

Исследуйте решение матричного уравнения

Входные параметры

`fun` - Нелинейные уравнения для решения
указатель на функцию | имя функции

`x0` - Начальная точка
вектор действительных чисел | вещественный массив

`options` - Опции оптимизации
выход `optimoptions` | структуру следующим `optimset` возвраты

`problem` - Структура задачи
структура

Выходные аргументы

`x` - Решение
вектор действительных чисел | вещественный массив

`fval` - Значение целевой функции в решении
вектор действительных чисел

`exitflag` - Причины `fsolve` остановленный
целое число

`output` - Информация о процессе оптимизации
структура

`jacobian` - якобиан в решении
действительная матрица

Ограничения

Совет

Алгоритмы

Альтернативная функциональность

Приложение

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C + +
Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®

Автоматическая параллельная поддержка
Ускорите код путем автоматического выполнения расчетов параллельно с помощью Parallel Computing Toolbox™.

См. также

Темы

Документация по Optimization Toolbox

Поддержка

Документация

fsolve

Синтаксис

Описание

Примеры

Решение 2-D нелинейной системы

Решение с опциями Nondefault

Решите структуру задачи

Процесс решения нелинейной системы

Исследуйте решение матричного уравнения

Входные параметры

fun - Нелинейные уравнения для решения указатель на функцию | имя функции

x0 - Начальная точка вектор действительных чисел | вещественный массив

options - Опции оптимизации выход optimoptions | структуру следующим optimset возвраты

problem - Структура задачи структура

Выходные аргументы

x - Решение вектор действительных чисел | вещественный массив

fval - Значение целевой функции в решении вектор действительных чисел

exitflag - Причины fsolve остановленный целое число

output - Информация о процессе оптимизации структура

jacobian - якобиан в решении действительная матрица

Ограничения

Совет

Алгоритмы

Альтернативная функциональность

Приложение

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C + + Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®

Автоматическая параллельная поддержка Ускорите код путем автоматического выполнения расчетов параллельно с помощью Parallel Computing Toolbox™.

См. также

Темы

Документация по Optimization Toolbox

Поддержка

`fun` - Нелинейные уравнения для решения
указатель на функцию | имя функции

`x0` - Начальная точка
вектор действительных чисел | вещественный массив

`options` - Опции оптимизации
выход `optimoptions` | структуру следующим `optimset` возвраты

`problem` - Структура задачи
структура

`x` - Решение
вектор действительных чисел | вещественный массив

`fval` - Значение целевой функции в решении
вектор действительных чисел

`exitflag` - Причины `fsolve` остановленный
целое число

`output` - Информация о процессе оптимизации
структура

`jacobian` - якобиан в решении
действительная матрица

Генерация кода C/C + +
Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®

Автоматическая параллельная поддержка
Ускорите код путем автоматического выполнения расчетов параллельно с помощью Parallel Computing Toolbox™.