Найдите минимум ограниченной нелинейной многомерной функции
Нелинейный программный решатель.
Находит минимум задачи, заданной в
b и beq являются векторами, A и Aeq являются матрицами, c (x) и ceq (x) являются функциями, которые возвращают векторы, а f (x) является функцией, которая возвращает скаляр. f (x), c (x) и ceq (x) могут быть нелинейными функциями.
x, lb и ub могут быть переданы как векторы или матрицы; см. Матричные аргументы.
x = fmincon(fun,x0,A,b)x0 и пытается найти минимизатор x функции, описанной в fun удовлетворяющее линейным неравенствам A*x ≤ b. x0 может быть скаляром, вектором или матрицей.
Примечание
Передача дополнительных параметров объясняет, как передать дополнительные параметры целевой функции и нелинейным ограничительным функциям, если это необходимо.
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x, так что решение всегда находится в области значений lb ≤ x ≤ ub. Если равенств не существует, задайте Aeq = [] и beq = []. Если x(i) неограниченно внизу, установите lb(i) = -Inf, и если x(i) неограниченно выше, задайте ub(i) = Inf.
Примечание
Если заданные входные ограничения для задачи несогласованны, fmincon выдает ошибку. В этом случае выводите x является x0 и fval является [].
Для 'interior-point' по умолчанию алгоритм, fmincon устанавливает компоненты x0 которые нарушают границы lb ≤ x ≤ ub, или равны привязке, к внутренней части связанной области. Для 'trust-region-reflective' алгоритм, fmincon устанавливает нарушающие компоненты во внутреннюю часть связанной области. Для других алгоритмов, fmincon устанавливает нарушающие компоненты на ближайшую границу. Компоненты, которые соответствуют границам, не изменяются. Смотрите Итерации могут нарушать ограничения.
Найдите минимальное значение функции Розенбрка, когда существует линейное ограничение неравенства.
Установите целевую функцию fun быть функцией Розенбрка. Функция Розенбрка, как известно, трудно минимизировать. Это минимальное целевое значение 0 в точке (1,1). Для получения дополнительной информации см. «Решение ограниченной нелинейной задачи, основанной на решателе».
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
Найдите минимальное значение, начиная с точки [-1,2], ограничено иметь . Выразите это ограничение в форме Ax <= b путем взятия A = [1,2] и b = 1. Заметьте, что это ограничение означает, что решение не будет в без ограничений решении (1,1), потому что в этой точке .
x0 = [-1,2]; A = [1,2]; b = 1; x = fmincon(fun,x0,A,b)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.5022 0.2489
Найдите минимальное значение функции Розенбрка, когда существуют как линейное ограничение неравенства, так и линейное ограничение равенства.
Установите целевую функцию fun быть функцией Розенбрка.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
Найдите минимальное значение, начиная с точки [0.5,0], ограничено иметь и .
Выразите линейное ограничение неравенства в форме A*x <= b путем взятия A = [1,2] и b = 1.
Выразите линейное ограничение равенства в форме Aeq*x = beq путем взятия Aeq = [2,1] и beq = 1.
x0 = [0.5,0]; A = [1,2]; b = 1; Aeq = [2,1]; beq = 1; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.4149 0.1701
Найдите минимум целевой функции при наличии связанных ограничений.
Целевая функция является простой алгебраической функцией двух переменных.
fun = @(x)1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1));
Посмотрите в области, где имеет положительные значения, , и .
lb = [0,0]; ub = [1,2];
Задача не имеет линейных ограничений, поэтому установите эти аргументы равными [].
A = []; b = []; Aeq = []; beq = [];
Попробуйте начальную точку в середине области.
x0 = (lb + ub)/2;
Решите проблему.
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.0000 2.0000
Другая начальная точка может привести к другому решению.
x0 = x0/5; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
10-6 ×
0.4000 0.4000
Чтобы определить, какое решение лучше, см. Раздел «Получение значения целевой функции».
Найдите минимум функции, удовлетворяющей нелинейным ограничениям
Найдите точку, где функция Розенбрка минимизирована в круге, также удовлетворяющем связанным ограничениям.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
Посмотрите в область
,.
lb = [0,0.2]; ub = [0.5,0.8];
Также посмотрите в окружности с центром [1/3,1/3] с радиусом 1/3. Скопируйте следующий код в файл по пути MATLAB ® с именем circlecon.m.
% Copyright 2015 The MathWorks, Inc. function [c,ceq] = circlecon(x) c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2; ceq = [];
Линейных ограничений нет, поэтому установите эти аргументы равными [].
A = []; b = []; Aeq = []; beq = [];
Выберите начальную точку, удовлетворяющую всем ограничениям.
x0 = [1/4,1/4];
Решите проблему.
nonlcon = @circlecon; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
0.5000 0.2500
Установите опции, чтобы просмотреть итерации по мере их возникновения и использовать другой алгоритм.
Чтобы наблюдать за fmincon процесс решения, установите Display опция для 'iter'. Также попробуйте 'sqp' алгоритм, который иногда быстрее или точнее, чем по умолчанию 'interior-point' алгоритм.
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');
Найдите минимум функций Розенбрка на единичном диске,. 
Сначала создайте функцию, которая представляет нелинейное ограничение. Сохраните его как файл с именем unitdisk.m на пути MATLAB ®.
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
Создайте оставшиеся спецификации проблемы. Затем запустите fmincon.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; nonlcon = @unitdisk; x0 = [0,0]; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
Iter Func-count Fval Feasibility Step Length Norm of First-order
step optimality
0 3 1.000000e+00 0.000e+00 1.000e+00 0.000e+00 2.000e+00
1 12 8.913011e-01 0.000e+00 1.176e-01 2.353e-01 1.107e+01
2 22 8.047847e-01 0.000e+00 8.235e-02 1.900e-01 1.330e+01
3 28 4.197517e-01 0.000e+00 3.430e-01 1.217e-01 6.172e+00
4 31 2.733703e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.254e-02 5.705e-01
5 34 2.397111e-01 0.000e+00 1.000e+00 7.498e-02 3.164e+00
6 37 2.036002e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.960e-02 3.106e+00
7 40 1.164353e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.459e-01 1.059e+00
8 43 1.161753e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.754e-01 7.383e+00
9 46 5.901601e-02 0.000e+00 1.000e+00 1.547e-02 7.278e-01
10 49 4.533081e-02 2.898e-03 1.000e+00 5.393e-02 1.252e-01
11 52 4.567454e-02 2.225e-06 1.000e+00 1.492e-03 1.679e-03
12 55 4.567481e-02 4.406e-12 1.000e+00 2.095e-06 1.502e-05
13 58 4.567481e-02 0.000e+00 1.000e+00 2.203e-12 1.406e-05
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fmincon stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
0.7864 0.6177
Включите градиентную оценку в целевую функцию для более быстрых или более надежных расчетов.
Включите оценку градиента в качестве обусловленного выхода в файл целевой функции. Для получения дополнительной информации смотрите Включая градиенты и Гессианы. Целевой функцией является функция Розенбрка,
который имеет градиент
![$$\nabla f(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 400\left( {{x_2} - x_1^2} \right){x_1} - 2\left( {1 - {x_1}} \right)}\\
{200\left( {{x_2} - x_1^2} \right)}
\end{array}} \right].$$](../../examples/optim/win64/IncludeGradientExample_eq09200576097084404414.png)
function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x) % Calculate objective f f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; if nargout > 1 % gradient required g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)); 200*(x(2)-x(1)^2)]; end
Сохраните этот код как файл с именем rosenbrockwithgrad.m на пути MATLAB ®.
Создайте опции, чтобы использовать градиент целевой функции.
options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true);
Создайте другие входы для задачи. Затем позвоните fmincon.
fun = @rosenbrockwithgrad; x0 = [-1,2]; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = [-2,-2]; ub = [2,2]; nonlcon = []; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
1.0000 1.0000
Решите ту же задачу, что и в Опциях Nondefault, используя структуру задачи вместо отдельных аргументов.
Создайте опции и структуру задачи. Имена полей и обязательные поля см. в разделе «Проблема».
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp'); problem.options = options; problem.solver = 'fmincon'; problem.objective = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; problem.x0 = [0,0];
Нелинейная функция ограничения unitdisk появляется в конце этого примера. Включите нелинейную функцию ограничения в problem.
problem.nonlcon = @unitdisk;
Решите проблему.
x = fmincon(problem)
Iter Func-count Fval Feasibility Step Length Norm of First-order
step optimality
0 3 1.000000e+00 0.000e+00 1.000e+00 0.000e+00 2.000e+00
1 12 8.913011e-01 0.000e+00 1.176e-01 2.353e-01 1.107e+01
2 22 8.047847e-01 0.000e+00 8.235e-02 1.900e-01 1.330e+01
3 28 4.197517e-01 0.000e+00 3.430e-01 1.217e-01 6.172e+00
4 31 2.733703e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.254e-02 5.705e-01
5 34 2.397111e-01 0.000e+00 1.000e+00 7.498e-02 3.164e+00
6 37 2.036002e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.960e-02 3.106e+00
7 40 1.164353e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.459e-01 1.059e+00
8 43 1.161753e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.754e-01 7.383e+00
9 46 5.901601e-02 0.000e+00 1.000e+00 1.547e-02 7.278e-01
10 49 4.533081e-02 2.898e-03 1.000e+00 5.393e-02 1.252e-01
11 52 4.567454e-02 2.225e-06 1.000e+00 1.492e-03 1.679e-03
12 55 4.567481e-02 4.406e-12 1.000e+00 2.095e-06 1.501e-05
13 58 4.567481e-02 0.000e+00 1.000e+00 2.159e-09 1.511e-05
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fmincon stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.7864 0.6177
Итеративное отображение и решение те же, что и в опциях Nondefault.
Следующий код создает unitdisk функция.
function [c,ceq] = unitdisk(x) c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1; ceq = []; end
Функции fmincon с fval выход для получения значения целевой функции в решении.
Пример Минимизировать со Связанными Ограничениями показывает два решения. Что лучше? Запустите пример, запрашивающий fval выход, а также решение.
fun = @(x)1+x(1)./(1+x(2)) - 3*x(1).*x(2) + x(2).*(1+x(1)); lb = [0,0]; ub = [1,2]; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; x0 = (lb + ub)/2; [x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.0000 2.0000
fval = -0.6667
Запустите задачу с другой начальной точки x0.
x0 = x0/5; [x2,fval2] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x2 = 1×2
10-6 ×
0.4000 0.4000
fval2 = 1.0000
Это решение имеет значение целевой функции fval2 = 1, что выше первого значения fval = –0.6667. Первое решение x имеет более низкое локальное минимальное значение целевой функции.
Чтобы легко изучить качество решения, запросите exitflag и output выходы.
Установите задачу минимизации функции Розенбрка на единичном диске,. 
Сначала создайте функцию, которая представляет нелинейное ограничение. Сохраните его как файл с именем unitdisk.m на пути MATLAB ®.
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
Создайте оставшиеся спецификации проблемы.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; nonlcon = @unitdisk; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; x0 = [0,0];
Функции fmincon использование fval, exitflag, и output выходы.
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
0.7864 0.6177
fval =
0.0457
exitflag =
1
output =
struct with fields:
iterations: 24
funcCount: 84
constrviolation: 0
stepsize: 6.9162e-06
algorithm: 'interior-point'
firstorderopt: 2.4373e-08
cgiterations: 4
message: '...'
bestfeasible: [1x1 struct]
The exitflag значение 1 указывает, что решение является локальным минимумом.
The output структура сообщает несколько статистических данных о процессе решения. В частности, это приводит количество итераций в output.iterations, количество вычислений функции в output.funcCount, и выполнимость в output.constrviolation.
fmincon при необходимости возвращает несколько выходов, которые можно использовать для анализа отчетного решения.
Установите задачу минимизации функции Розенбрка на единичном диске. Сначала создайте функцию, которая представляет нелинейное ограничение. Сохраните его как файл с именем unitdisk.m на пути MATLAB ®.
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
Создайте оставшиеся спецификации проблемы.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; nonlcon = @unitdisk; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; x0 = [0,0];
Запросить все fmincon выходы.
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
0.7864 0.6177
fval =
0.0457
exitflag =
1
output =
struct with fields:
iterations: 24
funcCount: 84
constrviolation: 0
stepsize: 6.9162e-06
algorithm: 'interior-point'
firstorderopt: 2.4373e-08
cgiterations: 4
message: '...'
bestfeasible: [1x1 struct]
lambda =
struct with fields:
eqlin: [0x1 double]
eqnonlin: [0x1 double]
ineqlin: [0x1 double]
lower: [2x1 double]
upper: [2x1 double]
ineqnonlin: 0.1215
grad =
-0.1911
-0.1501
hessian =
497.2903 -314.5589
-314.5589 200.2392
The lambda.ineqnonlin выход показывает, что нелинейное ограничение активно в решении, и задает значение связанного множителя Лагранжа.
The grad выход задает значение градиента целевой функции в решении x.
The hessian выход описан в fmincon Hessian.
fmincon является основанным на градиенте методом, который предназначен для работы с задачами, где целевые и ограничительные функции являются непрерывными и имеют непрерывные первые производные.
Для 'trust-region-reflective' алгоритм, вы должны предоставить градиент в fun и установите 'SpecifyObjectiveGradient' опция для true.
The 'trust-region-reflective' алгоритм не допускает равных верхних и нижних границ. Для примера, если lb(2)==ub(2), fmincon приводит к следующей ошибке:
Equal upper and lower bounds not permitted in trust-region-reflective algorithm. Use either interior-point or SQP algorithms instead.
Существует два различных синтаксиса для прохождения Гессиана, и существуют два разных синтаксиса для прохождения HessianMultiplyFcn функция; один для trust-region-reflective, и другое для interior-point. Смотрите включая Гессиан.
Для trust-region-reflectiveГессиан Лагрангиана аналогичен Гессиану целевой функции. Вы передаете этот Гессиан как третий выход целевой функции.
Для interior-point, Гессиан Лагранжа включает множители Лагранжа и Гессианы нелинейных ограничительных функций. Вы передаете Гессиана как отдельную функцию, которая учитывает обе текущие точки x и структуру множителя Лагранжа lambda.
Когда задача недопустима, fmincon пытается минимизировать максимальное значение ограничения.
Задача Optimize Live Editor обеспечивает визуальный интерфейс для fmincon.
[1] Byrd, R. H., J. C. Gilbert, and J. Nocedal. Метод доверительной области на основе методов внутренней точки для нелинейного программирования. Математическое программирование, том 89, № 1, 2000, с. 149-185.
[2] Byrd, R. H., Mary E. Hribar, and Jorge Nocedal. Алгоритм внутренней точки для крупномасштабного нелинейного программирования. SIAM Journal по оптимизации, том 9, № 4, 1999, с. 877-900.
[3] Коулман, Т. Ф. и Я. Ли. Подход внутренней доверительной области для нелинейной минимизации с учетом границ. SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, 1996, pp. 418-445.
[4] Коулман, Т. Ф. и Я. Ли. «О сходимости отражающих методов Ньютона для крупномасштабной нелинейной минимизации, подверженной границам». Математическое программирование, том 67, номер 2, 1994, стр. 189-224.
[5] Гилл, П. Е., У. Мюррей и М. Х. Райт. Практическая оптимизация, Лондон, Академическая пресса, 1981.
[6] Хан, С. П. «Глобально сходимый метод нелинейного программирования». Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 22, 1977, pp. 297.
[7] Пауэлл, М. Дж. Д. «Быстрый алгоритм для нелинейных вычислений оптимизации с ограничениями». Численный анализ, ред. Г. А. Ватсон, Лекционные заметки по математике, Springer-Verlag, том 630, 1978.
[8] Пауэлл, М. Дж. Д. «Сходимость методов переменной метрики для нелинейных вычислений оптимизации с ограничениями». Нелинейное программирование 3 (О. Л. Мангасарян, Р. Р. Meyer, and S. M. Robinson, eds.), Academic Press, 1978.
[9] Вальс, Р. А., Дж. Л. Моралес, Дж. Нокедал и Д. Орбан. Внутренний алгоритм нелинейной оптимизации, который объединяет линии шагов области поиска и доверия. Математическое программирование, том 107, № 3, 2006, стр. 391-408.
fminbnd | fminsearch | fminunc | Оптимизировать | optimoptions