fmincon

Найдите минимум ограниченной нелинейной многомерной функции

Свернуть все на странице

Синтаксис

x = fmincon(fun,x0,A,b)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x = fmincon(problem)

[x,fval]
= fmincon(___)

[x,fval,exitflag,output]
= fmincon(___)

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]
= fmincon(___)

Описание

Нелинейный программный решатель.

Находит минимум задачи, заданной в

$\min_{x} f (x) таким , что {\begin{matrix} c (x) \leq 0 \\ c e q (x) = 0 \\ A \cdot x \leq b \\ A e q \cdot x = b e q \\ l b \leq x \leq u b, \end{matrix}$

b и beq являются векторами, A и Aeq являются матрицами, c (x) и ceq (x) являются функциями, которые возвращают векторы, а f (x) является функцией, которая возвращает скаляр. f (x), c (x) и ceq (x) могут быть нелинейными функциями.

x, lb и ub могут быть переданы как векторы или матрицы; см. Матричные аргументы.

пример

x = fmincon(fun,x0,A,b) начинается с x0 и пытается найти минимизатор x функции, описанной в fun удовлетворяющее линейным неравенствам A*x ≤ b. x0 может быть скаляром, вектором или матрицей.

Примечание

Передача дополнительных параметров объясняет, как передать дополнительные параметры целевой функции и нелинейным ограничительным функциям, если это необходимо.

пример

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) минимизирует fun удовлетворяющее линейным равенствам Aeq*x = beq и A*x ≤ b. Если неравенства не существует, задайте A = [] и b = [].

пример

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) задает набор нижних и верхних границ переменных проектов в x, так что решение всегда находится в области значений lb ≤ x ≤ ub. Если равенств не существует, задайте Aeq = [] и beq = []. Если x(i) неограниченно внизу, установите lb(i) = -Inf, и если x(i) неограниченно выше, задайте ub(i) = Inf.

Примечание

Если заданные входные ограничения для задачи несогласованны, fmincon выдает ошибку. В этом случае выводите x является x0 и fval является [].

Для 'interior-point' по умолчанию алгоритм, fmincon устанавливает компоненты x0 которые нарушают границы lb ≤ x ≤ ub, или равны привязке, к внутренней части связанной области. Для 'trust-region-reflective' алгоритм, fmincon устанавливает нарушающие компоненты во внутреннюю часть связанной области. Для других алгоритмов, fmincon устанавливает нарушающие компоненты на ближайшую границу. Компоненты, которые соответствуют границам, не изменяются. Смотрите Итерации могут нарушать ограничения.

пример

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) подвергает минимизацию нелинейным неравенствам c(x) или равенств ceq(x) определено в nonlcon. fmincon оптимизирует так, что c(x) ≤ 0 и ceq(x) = 0. Если никаких границ не существует, задайте lb = [] и/или ub = [].

пример

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) минимизирует с опциями оптимизации, указанными в options. Использовать optimoptions чтобы задать эти опции. Если нет нелинейного неравенства или ограничений равенства, задайте nonlcon = [].

пример

x = fmincon(problem) находит минимум для problem, структуру, описанную в problem.

пример

[x,fval] = fmincon(___)для любого синтаксиса возвращает значение целевой функции fun в решении x.

пример

[x,fval,exitflag,output] = fmincon(___) дополнительно возвращает значение exitflag который описывает условие fmincon, и структуру output с информацией о процессе оптимизации.

пример

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___) дополнительно возвращается:

lambda - Структура с полями, содержащими множители Лагранжа в x решения.
grad - Градиент fun в решении x.
hessian - Гессиан fun в решении x. См. Фминкон Гессиан.

Примеры

свернуть все

Ограничение линейного неравенства

Открыть Live Script

Найдите минимальное значение функции Розенбрка, когда существует линейное ограничение неравенства.

Установите целевую функцию fun быть функцией Розенбрка. Функция Розенбрка, как известно, трудно минимизировать. Это минимальное целевое значение 0 в точке (1,1). Для получения дополнительной информации см. «Решение ограниченной нелинейной задачи, основанной на решателе».

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

Найдите минимальное значение, начиная с точки [-1,2], ограничено иметь $x (1) + 2 x (2) \leq 1$ . Выразите это ограничение в форме Ax <= b путем взятия A = [1,2] и b = 1. Заметьте, что это ограничение означает, что решение не будет в без ограничений решении (1,1), потому что в этой точке $x (1) + 2 x (2) = 3 > 1$ .

x0 = [-1,2];
A = [1,2];
b = 1;
x = fmincon(fun,x0,A,b)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    0.5022    0.2489

Линейное неравенство и ограничение равенства

Открыть Live Script

Найдите минимальное значение функции Розенбрка, когда существуют как линейное ограничение неравенства, так и линейное ограничение равенства.

Установите целевую функцию fun быть функцией Розенбрка.

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

Найдите минимальное значение, начиная с точки [0.5,0], ограничено иметь $x (1) + 2 x (2) \leq 1$ и $2 x (1) + x (2) = 1$ .

Выразите линейное ограничение неравенства в форме A*x <= b путем взятия A = [1,2] и b = 1.
Выразите линейное ограничение равенства в форме Aeq*x = beq путем взятия Aeq = [2,1] и beq = 1.

x0 = [0.5,0];
A = [1,2];
b = 1;
Aeq = [2,1];
beq = 1;
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    0.4149    0.1701

Минимизация со связанными ограничениями

Открыть Live Script

Найдите минимум целевой функции при наличии связанных ограничений.

Целевая функция является простой алгебраической функцией двух переменных.

fun = @(x)1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1));

Посмотрите в области, где $x$ имеет положительные значения, $x (1) \leq 1$ , и $x (2) \leq 2$ .

lb = [0,0];
ub = [1,2];

Задача не имеет линейных ограничений, поэтому установите эти аргументы равными [].

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];

Попробуйте начальную точку в середине области.

x0 = (lb + ub)/2;

Решите проблему.

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    1.0000    2.0000

Другая начальная точка может привести к другому решению.

x0 = x0/5;
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2
10^-6 ×

    0.4000    0.4000

Чтобы определить, какое решение лучше, см. Раздел «Получение значения целевой функции».

Нелинейные ограничения

Открыть скрипт

Найдите минимум функции, удовлетворяющей нелинейным ограничениям

Найдите точку, где функция Розенбрка минимизирована в круге, также удовлетворяющем связанным ограничениям.

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

Посмотрите в область $0 \le x(1) \le 0.5$ ,. $0.2 \le x(2) \le 0.8$

lb = [0,0.2];
ub = [0.5,0.8];

Также посмотрите в окружности с центром [1/3,1/3] с радиусом 1/3. Скопируйте следующий код в файл по пути MATLAB ® с именем circlecon.m.


% Copyright 2015 The MathWorks, Inc.

function [c,ceq] = circlecon(x)
c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2;
ceq = [];

Линейных ограничений нет, поэтому установите эти аргументы равными [].

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];

Выберите начальную точку, удовлетворяющую всем ограничениям.

x0 = [1/4,1/4];

Решите проблему.

nonlcon = @circlecon;
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.


x =

    0.5000    0.2500

Опции Nondefault

Открыть скрипт

Установите опции, чтобы просмотреть итерации по мере их возникновения и использовать другой алгоритм.

Чтобы наблюдать за fmincon процесс решения, установите Display опция для 'iter'. Также попробуйте 'sqp' алгоритм, который иногда быстрее или точнее, чем по умолчанию 'interior-point' алгоритм.

options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');

Найдите минимум функций Розенбрка на единичном диске,. $||x||^2 \le 1$ Сначала создайте функцию, которая представляет нелинейное ограничение. Сохраните его как файл с именем unitdisk.m на пути MATLAB ®.

function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];

Создайте оставшиеся спецификации проблемы. Затем запустите fmincon.

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
nonlcon = @unitdisk;
x0 = [0,0];
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

 Iter  Func-count            Fval   Feasibility   Step Length       Norm of   First-order  
                                                                       step    optimality
    0           3    1.000000e+00     0.000e+00     1.000e+00     0.000e+00     2.000e+00  
    1          12    8.913011e-01     0.000e+00     1.176e-01     2.353e-01     1.107e+01  
    2          22    8.047847e-01     0.000e+00     8.235e-02     1.900e-01     1.330e+01  
    3          28    4.197517e-01     0.000e+00     3.430e-01     1.217e-01     6.172e+00  
    4          31    2.733703e-01     0.000e+00     1.000e+00     5.254e-02     5.705e-01  
    5          34    2.397111e-01     0.000e+00     1.000e+00     7.498e-02     3.164e+00  
    6          37    2.036002e-01     0.000e+00     1.000e+00     5.960e-02     3.106e+00  
    7          40    1.164353e-01     0.000e+00     1.000e+00     1.459e-01     1.059e+00  
    8          43    1.161753e-01     0.000e+00     1.000e+00     1.754e-01     7.383e+00  
    9          46    5.901601e-02     0.000e+00     1.000e+00     1.547e-02     7.278e-01  
   10          49    4.533081e-02     2.898e-03     1.000e+00     5.393e-02     1.252e-01  
   11          52    4.567454e-02     2.225e-06     1.000e+00     1.492e-03     1.679e-03  
   12          55    4.567481e-02     4.406e-12     1.000e+00     2.095e-06     1.502e-05  
   13          58    4.567481e-02     0.000e+00     1.000e+00     2.203e-12     1.406e-05  

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fmincon stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.


x =

    0.7864    0.6177

Включите градиент

Открыть скрипт

Включите градиентную оценку в целевую функцию для более быстрых или более надежных расчетов.

Включите оценку градиента в качестве обусловленного выхода в файл целевой функции. Для получения дополнительной информации смотрите Включая градиенты и Гессианы. Целевой функцией является функция Розенбрка,

$f(x) = 100{\left( {{x_2} - x_1^2} \right)^2} +
{(1 - {x_1})^2},$

который имеет градиент

$\nabla f(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 400\left( {{x_2} - x_1^2} \right){x_1} - 2\left( {1 - {x_1}} \right)}\\
{200\left( {{x_2} - x_1^2} \right)}
\end{array}} \right].$

function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x)
% Calculate objective f
f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

if nargout > 1 % gradient required
    g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1));
        200*(x(2)-x(1)^2)];
end

Сохраните этот код как файл с именем rosenbrockwithgrad.m на пути MATLAB ®.

Создайте опции, чтобы использовать градиент целевой функции.

options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true);

Создайте другие входы для задачи. Затем позвоните fmincon.

fun = @rosenbrockwithgrad;
x0 = [-1,2];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [-2,-2];
ub = [2,2];
nonlcon = [];
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.


x =

    1.0000    1.0000

Использование структуры задачи

Открыть Live Script

Решите ту же задачу, что и в Опциях Nondefault, используя структуру задачи вместо отдельных аргументов.

Создайте опции и структуру задачи. Имена полей и обязательные поля см. в разделе «Проблема».

options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');
problem.options = options;
problem.solver = 'fmincon';
problem.objective = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
problem.x0 = [0,0];

Нелинейная функция ограничения unitdisk появляется в конце этого примера. Включите нелинейную функцию ограничения в problem.

problem.nonlcon = @unitdisk;

Решите проблему.

x = fmincon(problem)

 Iter  Func-count            Fval   Feasibility   Step Length       Norm of   First-order  
                                                                       step    optimality
    0           3    1.000000e+00     0.000e+00     1.000e+00     0.000e+00     2.000e+00  
    1          12    8.913011e-01     0.000e+00     1.176e-01     2.353e-01     1.107e+01  
    2          22    8.047847e-01     0.000e+00     8.235e-02     1.900e-01     1.330e+01  
    3          28    4.197517e-01     0.000e+00     3.430e-01     1.217e-01     6.172e+00  
    4          31    2.733703e-01     0.000e+00     1.000e+00     5.254e-02     5.705e-01  
    5          34    2.397111e-01     0.000e+00     1.000e+00     7.498e-02     3.164e+00  
    6          37    2.036002e-01     0.000e+00     1.000e+00     5.960e-02     3.106e+00  
    7          40    1.164353e-01     0.000e+00     1.000e+00     1.459e-01     1.059e+00  
    8          43    1.161753e-01     0.000e+00     1.000e+00     1.754e-01     7.383e+00  
    9          46    5.901601e-02     0.000e+00     1.000e+00     1.547e-02     7.278e-01  
   10          49    4.533081e-02     2.898e-03     1.000e+00     5.393e-02     1.252e-01  
   11          52    4.567454e-02     2.225e-06     1.000e+00     1.492e-03     1.679e-03  
   12          55    4.567481e-02     4.406e-12     1.000e+00     2.095e-06     1.501e-05  
   13          58    4.567481e-02     0.000e+00     1.000e+00     2.159e-09     1.511e-05  

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fmincon stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    0.7864    0.6177

Итеративное отображение и решение те же, что и в опциях Nondefault.

Следующий код создает unitdisk функция.

function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
end

Получите значение целевой функции

Открыть Live Script

Функции fmincon с fval выход для получения значения целевой функции в решении.

Пример Минимизировать со Связанными Ограничениями показывает два решения. Что лучше? Запустите пример, запрашивающий fval выход, а также решение.

fun = @(x)1+x(1)./(1+x(2)) - 3*x(1).*x(2) + x(2).*(1+x(1));
lb = [0,0];
ub = [1,2];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
x0 = (lb + ub)/2;
[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

    1.0000    2.0000

fval = -0.6667

Запустите задачу с другой начальной точки x0.

x0 = x0/5;
[x2,fval2] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x2 = 1×2
10^-6 ×

    0.4000    0.4000

fval2 = 1.0000

Это решение имеет значение целевой функции fval2 = 1, что выше первого значения fval = –0.6667. Первое решение x имеет более низкое локальное минимальное значение целевой функции.

Исследуйте решение, используя дополнительные выходы

Открыть скрипт

Чтобы легко изучить качество решения, запросите exitflag и output выходы.

Установите задачу минимизации функции Розенбрка на единичном диске,. $||x||^2 \le 1$ Сначала создайте функцию, которая представляет нелинейное ограничение. Сохраните его как файл с именем unitdisk.m на пути MATLAB ®.

function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];

Создайте оставшиеся спецификации проблемы.

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
nonlcon = @unitdisk;
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x0 = [0,0];

Функции fmincon использование fval, exitflag, и output выходы.

[x,fval,exitflag,output] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.


x =

    0.7864    0.6177


fval =

    0.0457


exitflag =

     1


output = 

  struct with fields:

         iterations: 24
          funcCount: 84
    constrviolation: 0
           stepsize: 6.9162e-06
          algorithm: 'interior-point'
      firstorderopt: 2.4373e-08
       cgiterations: 4
            message: '...'
       bestfeasible: [1x1 struct]

The exitflag значение 1 указывает, что решение является локальным минимумом.
The output структура сообщает несколько статистических данных о процессе решения. В частности, это приводит количество итераций в output.iterations, количество вычислений функции в output.funcCount, и выполнимость в output.constrviolation.

Получение всех выходов

Открыть скрипт

fmincon при необходимости возвращает несколько выходов, которые можно использовать для анализа отчетного решения.

Установите задачу минимизации функции Розенбрка на единичном диске. Сначала создайте функцию, которая представляет нелинейное ограничение. Сохраните его как файл с именем unitdisk.m на пути MATLAB ®.

function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];

Создайте оставшиеся спецификации проблемы.

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
nonlcon = @unitdisk;
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x0 = [0,0];

Запросить все fmincon выходы.

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.


x =

    0.7864    0.6177


fval =

    0.0457


exitflag =

     1


output = 

  struct with fields:

         iterations: 24
          funcCount: 84
    constrviolation: 0
           stepsize: 6.9162e-06
          algorithm: 'interior-point'
      firstorderopt: 2.4373e-08
       cgiterations: 4
            message: '...'
       bestfeasible: [1x1 struct]


lambda = 

  struct with fields:

         eqlin: [0x1 double]
      eqnonlin: [0x1 double]
       ineqlin: [0x1 double]
         lower: [2x1 double]
         upper: [2x1 double]
    ineqnonlin: 0.1215


grad =

   -0.1911
   -0.1501


hessian =

  497.2903 -314.5589
 -314.5589  200.2392

The lambda.ineqnonlin выход показывает, что нелинейное ограничение активно в решении, и задает значение связанного множителя Лагранжа.
The grad выход задает значение градиента целевой функции в решении x.
The hessian выход описан в fmincon Hessian.

Входные параметры

свернуть все

`fun` - Функция для минимизации
указатель на функцию | имя функции

Функция для минимизации, заданная как указатель на функцию или имя функции. fun является функцией, которая принимает вектор или массив x и возвращает действительный скаляр f, целевая функция, оцененная как x.

Задайте fun как указатель на функцию для файла:

x = fmincon(@myfun,x0,A,b)

где myfun является MATLAB^® функция, такая как

function f = myfun(x)
f = ...            % Compute function value at x

Можно также задать fun как указатель на функцию для анонимной функции:

x = fmincon(@(x)norm(x)^2,x0,A,b);

Если можно вычислить градиент fun и SpecifyObjectiveGradient для опции задано значение true, как установлено

options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true)

затем fun должен вернуть вектор градиента g(x) во втором выходном аргументе.

Если вы также можете вычислить матрицу Гессия и HessianFcn для опции задано значение 'objective' через optimoptions и Algorithm опция 'trust-region-reflective', fun необходимо вернуть значение Гессия H(x), симметричная матрица, в третьем выходном аргументе. fun может дать разреженного Гессиана. См. Гессиан для fminunc trust-region или fmincon trust- области reflective алгоритмов для получения дополнительной информации.

Если вы также можете вычислить матрицу Гессия и Algorithm для опции задано значение 'interior-point', есть другой способ передать Гессиан fmincon. Для получения дополнительной информации смотрите Hessian для алгоритма fmincon interior-point. Для примера, используя Symbolic Math Toolbox™, чтобы вычислить градиент и Гессиан, смотрите Вычисление Градиентов и Гессианов Использование Symbolic Math Toolbox™.

The interior-point и trust-region-reflective алгоритмы позволяют вам задать функцию умножения Гессиана. Эта функция дает результат векторного продукта Гессиана-времени без непосредственного вычисления Гессиана. Это может сохранить память. См. «Функция умножения Гессиана».

Пример: fun = @(x)sin(x(1))*cos(x(2))

Типы данных: char | function_handle | string

`x0` - Начальная точка
вектор действительных чисел | вещественный массив

Начальная точка, заданная как вектор действительных чисел или вещественный массив. Решатели используют количество элементов в и размер, x0 для определения количества и размера переменных, которые fun принимает.

'interior-point' алгоритм - Если HonorBounds опция true (по умолчанию), fmincon сбрасывает x0 компоненты, которые находятся на или вне границ lb или ub к значениям, строго расположенным между границами.
'trust-region-reflective' алгоритм - fmincon сбрасывает недопустимые x0 компоненты, которые будут допустимы относительно границ или линейных равенств.
'sqp', 'sqp-legacy', или 'active-set' алгоритм - fmincon сбрасывает x0 компоненты, которые являются внешними границами значений соответствующих границ.

Пример: x0 = [1,2,3,4]

Типы данных: double

`A` - Линейные ограничения неравенства
действительная матрица

Линейные ограничения неравенства, заданные как действительная матрица. A является M-by- N матрица, где M количество неравенств и N - количество переменных (количество элементов в x0). Для больших задач передайте A как разреженная матрица.

A кодирует M линейное неравенство

A*x <= b,

где x является вектор-столбец N переменные x(:), и b - вектор-столбец с M элементы.

Для примера, чтобы задать

<reservedrangesplaceholder1> 1 + 2 <reservedrangesplaceholder0> 2 10
3 <reservedrangesplaceholder1> 1 + 4 <reservedrangesplaceholder0> 2 20
5 <reservedrangesplaceholder1> 1 + 6 <reservedrangesplaceholder0> 2 30,

введите следующие ограничения:

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x равны 1 или менее, используйте A = ones(1,N) и b = 1.

Типы данных: double

`b` - Линейные ограничения неравенства
вектор действительных чисел

Линейные ограничения неравенства, заданные как вектор действительных чисел. b является M-элементный вектор, относящийся к A матрица. Если вы сдаете b как векторы-строки решатели внутренне преобразуют b в вектор-столбец b(:). Для больших задач передайте b как разреженный вектор.

b кодирует M линейное неравенство

A*x <= b,

где x является вектор-столбец N переменные x(:), и A - матрица размера M-by- N.

Для примера рассмотрим эти неравенства:

Задайте неравенства, введя следующие ограничения.

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x равны 1 или менее, используйте A = ones(1,N) и b = 1.

Типы данных: double

`Aeq` - Линейные ограничения равенства
действительная матрица

Линейные ограничения равенства, заданные как действительная матрица. Aeq является Me-by- N матрица, где Me количество равенств и N - количество переменных (количество элементов в x0). Для больших задач передайте Aeq как разреженная матрица.

Aeq кодирует Me линейные равенства

Aeq*x = beq,

где x является вектор-столбец N переменные x(:), и beq - вектор-столбец с Me элементы.

Для примера, чтобы задать

<reservedrangesplaceholder2> 1 + 2 <reservedrangesplaceholder1> 2 + 3 <reservedrangesplaceholder0> 3 = 10
2 <reservedrangesplaceholder2> 1 + 4 <reservedrangesplaceholder1> 2 + <reservedrangesplaceholder0> 3 = 20,

введите следующие ограничения:

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x равны 1, используйте Aeq = ones(1,N) и beq = 1.

Типы данных: double

`beq` - Линейные ограничения равенства
вектор действительных чисел

Линейные ограничения равенства, заданные как вектор действительных чисел. beq является Me-элементный вектор, относящийся к Aeq матрица. Если вы сдаете beq как векторы-строки решатели внутренне преобразуют beq в вектор-столбец beq(:). Для больших задач передайте beq как разреженный вектор.

beq кодирует Me линейные равенства

Aeq*x = beq,

где x является вектор-столбец N переменные x(:), и Aeq - матрица размера Me-by- N.

Для примера рассмотрим эти равенства:

Задайте равенства путем ввода следующих ограничений.

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x равны 1, используйте Aeq = ones(1,N) и beq = 1.

Типы данных: double

`lb` - Нижние границы
вектор действительных чисел | вещественный массив

Нижние границы, заданные как вектор действительных чисел или вещественный массив. Если количество элементов в x0 равно количеству элементов в lb, затем lb определяет, что

x(i) >= lb(i) для всех i.

Если numel(lb) < numel(x0), затем lb определяет, что

x(i) >= lb(i) для 1 <= i <= numel(lb).

Если элементов меньше в lb чем в x0, решатели выдают предупреждение.

Пример: Чтобы указать, что все компоненты x положительны, используйте lb = zeros(size(x0)).

Типы данных: double

`ub` - Верхние границы
вектор действительных чисел | вещественный массив

Верхние границы, заданные как вектор действительных чисел или действительный массив. Если количество элементов в x0 равно количеству элементов в ub, затем ub определяет, что

x(i) <= ub(i) для всех i.

Если numel(ub) < numel(x0), затем ub определяет, что

x(i) <= ub(i) для 1 <= i <= numel(ub).

Если элементов меньше в ub чем в x0, решатели выдают предупреждение.

Пример: Чтобы указать, что все компоненты x меньше 1, используйте ub = ones(size(x0)).

Типы данных: double

`nonlcon` - Нелинейные ограничения
указатель на функцию | имя функции

Нелинейные ограничения, заданные как указатель на функцию или имя функции. nonlcon является функцией, которая принимает вектор или массив x и возвращает два массива, c(x) и ceq(x).

c(x) - массив нелинейных ограничений неравенства в x. fmincon попытки удовлетворить
c(x) <= 0 для всех записей c.
ceq(x) - массив нелинейных ограничений равенства в x. fmincon попытки удовлетворить
ceq(x) = 0 для всех записей ceq.

Для примера,

x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)

где mycon является функцией MATLAB, такой как

function [c,ceq] = mycon(x)
c = ...     % Compute nonlinear inequalities at x.
ceq = ...   % Compute nonlinear equalities at x.

Если градиенты ограничений также могут быть вычислены и SpecifyConstraintGradient опция true, как установлено

options = optimoptions('fmincon','SpecifyConstraintGradient',true)

затем nonlcon должен также вернуться в третьем и четвертом выходных аргументах GC, градиент c(x), и GCeq, градиент ceq(x). GC и GCeq может быть разреженным или плотным. Если GC или GCeq большой, с относительно небольшим количеством ненулевых записей, экономии времени работы и памяти в interior-point алгоритм путем представления их как разреженных матриц. Для получения дополнительной информации см. Раздел «Нелинейные ограничения».

Типы данных: char | function_handle | string

`options` - Опции оптимизации
выход `optimoptions` | структуру, такую как `optimset` возвраты

Опции оптимизации, заданные как выход optimoptions или структуру, такую как optimset возвращает.

Некоторые опции применяются ко всем алгоритмам, а другие релевантны для конкретных алгоритмов. Подробную информацию см. в Ссылке по опциям оптимизации.

Некоторые опции отсутствуют в optimoptions отображение. Эти опции выделены курсивом в следующей таблице. Для получения дополнительной информации см. раздел «Опции представления».

Все алгоритмы
`Algorithm`	Выберите алгоритм оптимизации: `'interior-point'` (по умолчанию) `'trust-region-reflective'` `'sqp'` `'sqp-legacy'` (`optimoptions` только) `'active-set'` Для получения информации о выборе алгоритма смотрите Выбор алгоритма. The `trust-region-reflective` алгоритм требует: Градиент, который будет задан в целевой функции `SpecifyObjectiveGradient` для установки в `true` Либо связанные ограничения, либо линейные ограничения равенства, но не то и другое одновременно Если вы выбираете `'trust-region-reflective'` алгоритм и эти условия не все удовлетворены, `fmincon` выдает ошибку. The `'active-set'`, `'sqp-legacy'`, и `'sqp'` алгоритмы не являются крупномасштабными. См. Алгоритмы большого и среднего масштаба.
`CheckGradients`	Сравните поставляемые пользователем производные (градиенты цели или ограничения) с конечными дифференцирующими производными. Варианты `false` (по умолчанию) или `true`. Для `optimset`, имя `DerivativeCheck` и значения `'on'` или `'off'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`ConstraintTolerance`	Допуск на нарушение ограничений, положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `1e-6`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя `TolCon`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
Диагностика	Отобразите диагностическую информацию о функции, которая будет минимизирована или решена. Варианты `'off'` (по умолчанию) или `'on'`.
DiffMaxChange	Максимальное изменение переменных для градиентов конечных различий (a положительной скалярной величины). Значение по умолчанию является `Inf`.
DiffMinChange	Минимальное изменение переменных для градиентов с конечной разностью (a положительной скалярной величины). Значение по умолчанию является `0`.
`Display`	Level of display (см. Итеративное отображение): `'off'` или `'none'` не отображает выход. `'iter'` отображает выход при каждой итерации и выдает выходное сообщение по умолчанию. `'iter-detailed'` отображает выход при каждой итерации и выдает техническое выходное сообщение. `'notify'` отображает вывод только, если функция не сходится, и выдает выходное сообщение по умолчанию. `'notify-detailed'` отображает вывод только, если функция не сходится, и выдает техническое выходное сообщение. `'final'` (по умолчанию) отображает только окончательный выход и выдает выходное сообщение по умолчанию. `'final-detailed'` отображает только окончательный выход и выдает техническое выходное сообщение.
`FiniteDifferenceStepSize`	Скаляр или векторный коэффициент размера для конечных различий. Когда вы задаете `FiniteDifferenceStepSize` в вектор `v`, прямые конечные различия `delta` являются `delta = v.sign′(x).max(abs(x),TypicalX);` где `sign′(x) = sign(x)` кроме `sign′(0) = 1`. Центральные конечные различия `delta = v.*max(abs(x),TypicalX);` Скалярные `FiniteDifferenceStepSize` расширяется до вектора. Значение по умолчанию является `sqrt(eps)` для прямых конечных различий и `eps^(1/3)` для центральных конечных различий. Для `optimset`, имя `FinDiffRelStep`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`FiniteDifferenceType`	Конечные различия, используемые для оценки градиентов, либо `'forward'` (по умолчанию), или `'central'` (с центром). `'central'` принимает в два раза больше вычисления функции, но должен быть более точным. Алгоритм, отражающий доверительную область, использует `FiniteDifferenceType` только когда `CheckGradients` установлено в `true`. `fmincon` осторожен, чтобы подчиниться границам при оценке обоих типов конечных различий. Так, например, это может занять различие назад, а не вперед, чтобы избежать оценки в точке вне границ. Однако для `interior-point` алгоритм, `'central'` различия могут нарушить границы во время их оценки, если `HonorBounds` для опции задано значение `false`. Для `optimset`, имя `FinDiffType`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
FunValCheck	Проверьте, действительны ли значения целевой функции. Настройка по умолчанию, `'off'`, не выполняет проверку. The `'on'` установка отображает ошибку, когда целевая функция возвращает значение, которое `complex`, `Inf`, или `NaN`.
`MaxFunctionEvaluations`	Максимально допустимое количество вычислений функции, положительное целое число. Значение по умолчанию для всех алгоритмов, кроме `interior-point` является `100*numberOfVariables`; для `interior-point` алгоритм по умолчанию является `3000`. См. Допуски и критерий остановки и итерации и счетчики функций. Для `optimset`, имя `MaxFunEvals`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`MaxIterations`	Максимально допустимое количество итераций, положительное целое число. Значение по умолчанию для всех алгоритмов, кроме `interior-point` является `400`; для `interior-point` алгоритм по умолчанию является `1000`. См. Допуски и критерий остановки и итерации и счетчики функций. Для `optimset`, имя `MaxIter`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`OptimalityTolerance`	Допуск завершения по оптимальности первого порядка (a положительной скалярной величины). Значение по умолчанию является `1e-6`. См. «Мера оптимальности первого порядка». Для `optimset`, имя `TolFun`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`OutputFcn`	Задайте одну или несколько пользовательских функций, которые вызываются функциями оптимизации при каждой итерации. Передайте указатель на функцию или cell-массив указателей на функцию. Значением по умолчанию является none (`[]`). Смотрите Выходные функции и Синтаксис функции построения графика.
`PlotFcn`	Строит графики различных показателей прогресса во время выполнения алгоритма; выберите из предопределенных графиков или напишите свои собственные. Передайте встроенное имя функции построения графика, указатель на функцию или массив ячеек со встроенными именами функций построения графика или указателями на функцию. Для пользовательских функций построения графика передайте указатели на функцию. Значением по умолчанию является none (`[]`): `'optimplotx'` строит графики текущей точки `'optimplotfunccount'` строит график счетчика функций `'optimplotfval'` строит график значения функции `'optimplotfvalconstr'` Строит графики наилучшего допустимого значения целевой функции, найденного как линейный график. График показывает недопустимые точки как красные, а допустимые - как синие, используя допустимый допуск `1e-6`. `'optimplotconstrviolation'` строит график максимального нарушения ограничений `'optimplotstepsize'` строит графики размера шага `'optimplotfirstorderopt'` строит графики меры оптимальности первого порядка Пользовательские функции построения графика используют тот же синтаксис, что и выходные функции. Смотрите Выходные функции для Optimization Toolbox™ и синтаксиса выходной функции и функции построения графика. Для `optimset`, имя `PlotFcns`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`SpecifyConstraintGradient`	Градиент для нелинейных функций ограничений, заданный пользователем. Когда установлено значение по умолчанию, `false`, `fmincon` оценивает градиенты нелинейных ограничений по конечным различиям. Когда установлено значение `true`, `fmincon` ожидает, что функция ограничения будет иметь четыре выхода, как описано в `nonlcon`. The `trust-region-reflective` алгоритм не принимает нелинейные ограничения. Для `optimset`, имя `GradConstr` и значения `'on'` или `'off'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`SpecifyObjectiveGradient`	Градиент для целевой функции, заданный пользователем. См. описание `fun` чтобы увидеть, как задать градиент в `fun`. Значение по умолчанию, `false`, причины `fmincon` для оценки градиентов с помощью конечных различий. Установите значение `true` иметь `fmincon` использовать пользовательский градиент целевой функции. Как использовать `'trust-region-reflective'` алгоритм, вы должны предоставить градиент, и задать `SpecifyObjectiveGradient` на `true`. Для `optimset`, имя `GradObj` и значения `'on'` или `'off'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`StepTolerance`	Допуск завершения на `x`, а положительная скалярная величина. Значение по умолчанию для всех алгоритмов, кроме `'interior-point'` является `1e-6`; для `'interior-point'` алгоритм, по умолчанию это `1e-10`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя `TolX`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`TypicalX`	Типичные `x` значения. Количество элементов в `TypicalX` равно количеству элементов в `x0`, а начальная точка. Значение по умолчанию `ones(numberofvariables,1)`. `fmincon` использует `TypicalX` для масштабирования конечных различий для оценки градиента. The `'trust-region-reflective'` алгоритм использует `TypicalX` только для `CheckGradients` опция.
`UseParallel`	Когда `true`, `fmincon` оценивает градиенты параллельно. Отключите, установив значение по умолчанию, `false`. `trust-region-reflective` требует градиента в цели, так что `UseParallel` не применяется. См. Параллельные вычисления.
Алгоритм, отражающий доверительную область
`FunctionTolerance`	Отклонение завершения функции от значения, a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `1e-6`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя `TolFun`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`HessianFcn`	Если `[]` (по умолчанию), `fmincon` аппроксимирует Гессиана, используя конечные различия, или использует функцию умножения Гессиана (с опцией `HessianMultiplyFcn`). Если `'objective'`, `fmincon` использует определяемый пользователем Гессиан (заданный в `fun`). Смотрите Гессиан как Вход. Для `optimset`, имя `HessFcn`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`HessianMultiplyFcn`	Функция умножения Гессиана, заданная как указатель на функцию. Для крупномасштабных структурированных задач эта функция вычисляет матрицу Гессиана продукта `HY` не образуя фактически `H`. Функция имеет вид W = hmfun(Hinfo,Y) где `Hinfo` содержит матрицу, используемую для вычисления `HY`. Первый аргумент аналогичен третьему аргументу, возвращенному целевой функцией `fun`, для примера [f,g,Hinfo] = fun(x) `Y` - матрица, которая имеет одинаковое число строк, так как в задаче есть размерности. Матрица `W = HY`, хотя `H` не формируется явным образом. `fmincon` использует `Hinfo` для вычисления средства предварительной подготовки. Для получения информации о том, как задать значения для любых дополнительных параметров `hmfun` потребности, см. «Передача дополнительных параметров». Примечание* Как использовать `HessianMultiplyFcn` опция, `HessianFcn` должно быть установлено в `[]`, и `SubproblemAlgorithm` должен быть `'cg'` (по умолчанию). См. «Функция умножения Гессиана». См. пример Минимизации с плотными структурированными гессианскими, линейными равенствами. Для `optimset`, имя `HessMult`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
HessPattern	Шаблон разреженности Гессиана для конечного дифференцирования. Задайте `HessPattern(i,j) = 1` когда можно ∂²`fun`/ `<reservedrangesplaceholder0>`∂ `x(j)` ≠ 0. В противном случае задайте `HessPattern(i,j) = 0`. Использование `HessPattern` когда неудобно вычислять матрицу Гессия `H` в `fun`, но можно определить (скажем, по осмотру), когда `i`I компонент градиента `fun` зависит от `x(j)`. `fmincon` может аппроксимировать `H` через разреженные конечные различия (градиента), если вы обеспечиваете sparsity structure `H` как значение для `HessPattern`. Другими словами, укажите местоположения ненули. Когда структура неизвестна, не устанавливайте `HessPattern`. Поведение по умолчанию как будто `HessPattern` - плотная матрица таковых. Тогда `fmincon` вычисляет полное приближение конечной разности в каждой итерации. Такой расчет может быть очень дорогим для больших задач, поэтому обычно лучше определить структуру разреженности.
MaxPCGIter	Максимальное количество предварительно обусловленных итераций сопряженного градиента (PCG), a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `max(1,floor(numberOfVariables/2))` для связанных с ограничениями задач и является `numberOfVariables` для проблем, ограниченных равенством. Для получения дополнительной информации см. «Предварительно обусловленный сопряженный метод градиента».
PrecondBandWidth	Верхняя шумовая полоса предкондиционера для PCG, неотрицательного целого числа. По умолчанию используется предварительное кондиционирование диагонали (верхняя полоса пропускания 0). Для некоторых проблем увеличение полосы пропускания уменьшает количество итераций PCG. Настройка `PrecondBandWidth` на `Inf` использует прямое факторизация (Холецкий), а не сопряженные градиенты (CG). Прямая факторизация является в вычислительном отношении более дорогой, чем CG, но производит более качественный шаг к решению.
`SubproblemAlgorithm`	Определяет, как вычисляется шаг итерации. Значение по умолчанию, `'cg'`, делает более быстрый, но менее точный шаг, чем `'factorization'`. См. Fmincon Trust Region Reflective Algorithm.
TolPCG	Допуск завершения на итерации PCG, a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `0.1`.
Алгоритм активного набора
`FunctionTolerance`	Отклонение завершения функции от значения, a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `1e-6`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя `TolFun`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
MaxSQPIter	Максимально допустимое количество итераций SQP, положительное целое число. Значение по умолчанию является `10*max(numberOfVariables, numberOfInequalities + numberOfBounds)`.
RelLineSrchBnd	Относительная граница (действительное неотрицательное скалярное значение) на длине шага поиска линии. Полное смещение в x удовлетворяет \| Δ <reservedrangesplaceholder7> (<reservedrangesplaceholder6>) \| ≤ relLineSrchBnd · макс. (\| x (<reservedrangesplaceholder4>) \|, \| typicalx (<reservedrangesplaceholder2>) \|). Эта опция обеспечивает управление величиной `перемещений в x случаях, когда решатель делает шаги, которые считаются слишком большими. По умолчанию нет границ ([]`).
RelLineSrchBndDuration	Количество итераций, для которых граница задана в `RelLineSrchBnd` должен быть активным (по умолчанию это `1`).
TolConSQP	Допуск завершения внутренней итерации SQP нарушения ограничений, a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `1e-6`.
Алгоритм внутренней точки
`BarrierParamUpdate`	Выбирает как `fmincon` обновляет параметр барьера (см. Fmincon Interior Point Algorithm). Возможны следующие варианты: `'monotone'` (по умолчанию) `'predictor-corrector'` Этот выбор может повлиять на скорость и сходимость решателя, но эффект предсказать непросто.
`HessianApproximation`	Выбирает как `fmincon` вычисляет Гессиан (см. Гессиан как вход). Возможны следующие варианты: `'bfgs'` (по умолчанию) `'finite-difference'` `'lbfgs'` `{'lbfgs',Positive Integer}` Примечание Как использовать `HessianApproximation`, оба `HessianFcn` и `HessianMultiplyFcn` должны быть пустыми записями (`[]`). Для `optimset`, имя `Hessian` и значения `'user-supplied'`, `'bfgs'`, `'lbfgs'`, `'fin-diff-grads'`, `'on'`, или `'off'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`HessianFcn`	Если `[]` (по умолчанию), `fmincon` аппроксимирует Гессиана с помощью метода, заданного в `HessianApproximation`, или использует поставляемую `HessianMultiplyFcn`. Если указатель на функцию, `fmincon` использует `HessianFcn` чтобы вычислить Гессиана. Смотрите Гессиан как Вход. Для `optimset`, имя `HessFcn`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`HessianMultiplyFcn`	Пользовательская функция, которая задает векторный продукт Гессиана (см. «Функция умножения Гессиана»). Передайте указатель на функцию. Примечание Как использовать `HessianMultiplyFcn` опция, `HessianFcn` должно быть установлено в `[]`, и `SubproblemAlgorithm` должен быть `'cg'`. Для `optimset`, имя `HessMult`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`HonorBounds`	Значение по умолчанию `true` гарантирует, что связанные ограничения выполняются при каждой итерации. Отключите, установив значение `false`. Для `optimset`, имя `AlwaysHonorConstraints` и значения `'bounds'` или `'none'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
InitBarrierParam	Начальное значение барьера, a положительной скалярной величины. Иногда это может помочь попробовать значение выше значения по умолчанию `0.1`, особенно, если целевые или ограничительные функции большие.
InitTrustRegionRadius	Начальный радиус доверительной области, положительной скалярной величины. При плохо масштабированных задачах может помочь выбрать значение, меньшее значения по умолчанию $\sqrt{n}$ , где n - количество переменных.
MaxProjCGIter	Допуск (критерий остановки) для количества проецируемых сопряженных итераций градиента; это внутренняя итерация, а не количество итераций алгоритма. Это положительное целое число имеет значение по умолчанию `2*(numberOfVariables - numberOfEqualities)`.
`ObjectiveLimit`	Допуск (критерий остановки), который является скаляром. Если значение целевой функции идет ниже `ObjectiveLimit` и итерат является допустимым, итерации останавливаются, потому что проблема, предположительно, неограниченна. Значение по умолчанию `-1e20`.
`ScaleProblem`	`true` заставляет алгоритм нормализовать все ограничения и целевую функцию. Отключите путем установки значения по умолчанию `false`. Для `optimset`, значения `'obj-and-constr'` или `'none'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`SubproblemAlgorithm`	Определяет, как вычисляется шаг итерации. Значение по умолчанию, `'factorization'`, обычно быстрее `'cg'` (сопряженный градиент), хотя `'cg'` может быть быстрее для больших проблем с плотными Гессианами. См. Fmincon Interior Point Algorithm.
TolProjCG	A относительной погрешности (критерий остановки) для проектируемого сопряженного алгоритма градиента; это для внутренней итерации, а не для итерации алгоритма. Эта положительная скалярная величина имеет значение по умолчанию `0.01`.
TolProjCGAbs	Абсолютная погрешность (критерий остановки) для проектируемого сопряженного алгоритма градиента; это для внутренней итерации, а не для итерации алгоритма. Эта положительная скалярная величина имеет значение по умолчанию `1e-10`.
Алгоритмы наследования SQP и SQP
`ObjectiveLimit`	Допуск (критерий остановки), который является скаляром. Если значение целевой функции идет ниже `ObjectiveLimit` и итерат является допустимым, итерации останавливаются, потому что проблема, предположительно, неограниченна. Значение по умолчанию `-1e20`.
`ScaleProblem`	`true` заставляет алгоритм нормализовать все ограничения и целевую функцию. Отключите путем установки значения по умолчанию `false`. Для `optimset`, значения `'obj-and-constr'` или `'none'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».

Пример: options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true)

`problem` - Структура задачи
структура

Структура задачи, заданная как структура со следующими полями:

Имя поля	Вход
`objective`	Целевая функция
`x0`	Начальная точка для `x`
`Aineq`	Матрица для линейных ограничений неравенства
`bineq`	Вектор для линейных ограничений неравенства
`Aeq`	Матрица для линейных ограничений равенства
`beq`	Вектор для линейных ограничений равенства
`lb`	Вектор нижних границ
`ub`	Вектор верхних границ
`nonlcon`	Нелинейная функция ограничения
`solver`	`'fmincon'`
`options`	Опции, созданные с `optimoptions`

Вы должны поставить по крайней мере objective, x0, solver, и options поля в problem структура.

Типы данных: struct

Выходные аргументы

свернуть все

`x` - Решение
вектор действительных чисел | вещественный массив

Решение, возвращенное как вектор действительных чисел или действительный массив. Размер x совпадает с размером x0. Как правило, x является локальным решением проблемы, когда exitflag положительно. Для получения информации о качестве решения см., Когда решатель преуспевает.

`fval` - Значение целевой функции в решении
вещественное число

Значение целевой функции в решении, возвращаемое как действительное число. Обычно fval = fun(x).

`exitflag` - Причины `fmincon` остановленный
целое число

Причина fmincon stop, возвращается как целое число.

Все алгоритмы:
`1`	Мера оптимальности первого порядка была меньше `options.OptimalityTolerance`, и максимальное нарушение ограничений было меньше `options.ConstraintTolerance`.
`0`	Превышено количество итераций `options.MaxIterations` или превышено количество вычислений функции `options.MaxFunctionEvaluations`.
`-1`	Остановлен выходной функцией или функцией построения графика.
`-2`	Допустимая точка не найдена.
Все алгоритмы, кроме `active-set`:
`2`	Изменение в `x` было меньше `options.StepTolerance` и максимальное нарушение ограничений было меньше `options.ConstraintTolerance`.
`trust-region-reflective` только алгоритм:
`3`	Изменение значения целевой функции было меньше `options.FunctionTolerance` и максимальное нарушение ограничений было меньше `options.ConstraintTolerance`.
`active-set` только алгоритм:
`4`	Величина направления поиска было меньше 2 `* options.StepTolerance` и максимальное нарушение ограничений было меньше `options.ConstraintTolerance`.
`5`	Величина производной по направлению в поисковом направлении была меньше 2 `* options.OptimalityTolerance` и максимальное нарушение ограничений было меньше `options.ConstraintTolerance`.
`interior-point`, `sqp-legacy`, и `sqp` алгоритмы:
`-3`	Целевая функция при текущей итерации пошла ниже `options.ObjectiveLimit` и максимальное нарушение ограничений было меньше `options.ConstraintTolerance`.

`output` - Информация о процессе оптимизации
структура

Информация о процессе оптимизации, возвращенная как структура с полями:

`iterations`	Количество проделанных итераций
`funcCount`	Количество вычислений функции
`lssteplength`	Размер линии шага поиска относительно направления поиска (`active-set` и `sqp` только алгоритмы)
`constrviolation`	Максимум ограничительных функций
`stepsize`	Длина последнего перемещения в `x` (не в `active-set` алгоритм)
`algorithm`	Используемый алгоритм оптимизации
`cgiterations`	Общее количество итераций PCG (`trust-region-reflective` и `interior-point` алгоритмы)
`firstorderopt`	Мера оптимальности первого порядка
`bestfeasible`	Лучшая (самая низкая целевая функция) допустимая точка. Структура с этими полями: `x` `fval` `firstorderopt` `constrviolation` Если допустимая точка не найдена, `bestfeasible` поле пустое. Для этой цели точка допустима, когда максимум ограничительных функций не превышает `options.ConstraintTolerance`. The `bestfeasible` точка может отличаться от возвращенной точки решения `x` по целому ряду причин. Пример см. в разделе Получение наилучшей допустимой точки.
`message`	Выходное сообщение

`lambda` - множители Лагранжа в решении
структура

Множители Лагранжа в решении, возвращенные как структура с полями:

`lower`	Нижние границы, соответствующие `lb`
`upper`	Верхние границы, соответствующие `ub`
`ineqlin`	Линейное неравенство, соответствующее `A` и `b`
`eqlin`	Линейные равенства, соответствующие `Aeq` и `beq`
`ineqnonlin`	Нелинейные неравенства, соответствующие `c` в `nonlcon`
`eqnonlin`	Нелинейные равенства, соответствующие `ceq` в `nonlcon`

`grad` - Градиент в решении
вектор действительных чисел

Градиент в решении, возвращенный как вектор действительных чисел. grad задает градиент fun в точке x(:).

`hessian` - Приблизительный Гессиан
действительная матрица

Аппроксимируйте Гессиана, возвращённом как действительная матрица. Для смысла hessian, см. Гессиан Выхода.

Ограничения

fmincon является основанным на градиенте методом, который предназначен для работы с задачами, где целевые и ограничительные функции являются непрерывными и имеют непрерывные первые производные.
Для 'trust-region-reflective' алгоритм, вы должны предоставить градиент в fun и установите 'SpecifyObjectiveGradient' опция для true.
The 'trust-region-reflective' алгоритм не допускает равных верхних и нижних границ. Для примера, если lb(2)==ub(2), fmincon приводит к следующей ошибке:
```
Equal upper and lower bounds not permitted in trust-region-reflective algorithm. Use
either interior-point or SQP algorithms instead.
```
Существует два различных синтаксиса для прохождения Гессиана, и существуют два разных синтаксиса для прохождения HessianMultiplyFcn функция; один для trust-region-reflective, и другое для interior-point. Смотрите включая Гессиан.
- Для trust-region-reflectiveГессиан Лагрангиана аналогичен Гессиану целевой функции. Вы передаете этот Гессиан как третий выход целевой функции.
- Для interior-point, Гессиан Лагранжа включает множители Лагранжа и Гессианы нелинейных ограничительных функций. Вы передаете Гессиана как отдельную функцию, которая учитывает обе текущие точки x и структуру множителя Лагранжа lambda.
Когда задача недопустима, fmincon пытается минимизировать максимальное значение ограничения.

Подробнее о

свернуть все

Гессиан как вход

fmincon использует Гессиан как необязательный вход. Этот Гессиан является матрицей вторых производных Лагранжа (см. Уравнение 1), а именно,

\nabla_{x x}^{2} L (x, λ) = \nabla^{2} f (x) + \sum λ_{i} \nabla^{2} c_{i} (x) + \sum λ_{i} \nabla^{2} c e q_{i} (x) .

(1)

Для получения дополнительной информации о том, как поставить Гессиана в trust-region-reflective или interior-point алгоритмы, см. Включая Гессианов.

The active-set и sqp алгоритмы не принимают входа Гессиана. Они вычисляют квазиньютонское приближение к Гессиану Лагранжа.

The interior-point алгоритм имеет несколько вариантов для 'HessianApproximation' опция; см. «Выбор входного гессианского приближения» для fmincon внутренней точки:

'bfgs' — fmincon вычисляет Гессиан по плотному квазиньютоновскому приближению. Это гессианское приближение по умолчанию.
'lbfgs' — fmincon вычисляет Гессиан по крупномасштабному квазиньютоновскому приближению с ограниченной памятью. Используется память по умолчанию, 10 итераций.
{'lbfgs',positive integer} — fmincon вычисляет Гессиан по крупномасштабному квазиньютоновскому приближению с ограниченной памятью. Положительное целое число определяет, сколько итераций в прошлом должно быть запомнено.
'finite-difference' — fmincon вычисляет Гессианский векторный продукт по конечным различиям градиента (ов). Необходимо задать градиент целевой функции, а также градиенты нелинейных ограничений (если они существуют). Установите 'SpecifyObjectiveGradient' опция для true и, если применимо, 'SpecifyConstraintGradient' опция для true. Вы должны задать 'SubproblemAlgorithm' на 'cg'.

Функция умножения Гессиана

The interior-point и trust-region-reflective алгоритмы позволяют вам задать функцию умножения Гессиана. Эта функция дает результат векторного продукта Гессиана, не вычисляя непосредственно Гессиана. Это может сохранить память. Для получения дополнительной информации смотрите Функция умножения Гессиана.

Алгоритмы

свернуть все

Выбор алгоритма

Для помощи с выбором алгоритма смотрите fmincon Algorithms. Чтобы задать алгоритм, используйте optimoptions для создания options, и использовать 'Algorithm' Пара "имя-значение".

Остальная часть этого раздела приводит краткие сводные данные или указатели на информацию о каждом алгоритме.

Оптимизация внутренней точки

Этот алгоритм описан в fmincon Interior Point Algorithm. Более подробное описание приведено в [1], [41] и [9].

Оптимизация SQP и SQP-устаревших версий

fmincon 'sqp' и 'sqp-legacy' алгоритмы аналогичны 'active-set' алгоритм, описанный в Active-Set Optimization. Алгоритм fmincon SQP описывает основные различия. Таким образом, эти различия:

Оптимизация Active-Set

fmincon использует метод последовательного квадратичного программирования (SQP). В этом методе функция решает квадратичную подпрограмму программирования (QP) при каждой итерации. fmincon обновляет оценку Гессиана Лагранжа при каждой итерации с помощью формулы BFGS (см. fminunc и ссылки [7] и [8]).

fmincon выполняет поиск по линии с помощью функции merit, подобной функции, предложенной в [6], [7] и [8]. Подпрограмма QP решается с помощью стратегии активного набора, подобной описанной в [5]. fmincon Active Set Algorithm подробно описывает этот алгоритм.

Для получения дополнительной информации об используемом алгоритме см. также раздел «Реализация SQP».

Оптимизация Trust- Области Reflective

The 'trust-region-reflective' алгоритм является подпространственным методом доверительной области и основан на интерьерно-отражающем методе Ньютона, описанном в [3] и [4]. Каждая итерация включает приблизительное решение большой линейной системы с использованием метода предварительно обусловленных сопряженных градиентов (PCG). См. Описание доверительной области и предварительно обусловленного сопряженного градиентного метода в fmincon Trust Region Reflective Algorithm.

Альтернативная функциональность

Приложение

Задача Optimize Live Editor обеспечивает визуальный интерфейс для fmincon.

Ссылки

[1] Byrd, R. H., J. C. Gilbert, and J. Nocedal. Метод доверительной области на основе методов внутренней точки для нелинейного программирования. Математическое программирование, том 89, № 1, 2000, с. 149-185.

[2] Byrd, R. H., Mary E. Hribar, and Jorge Nocedal. Алгоритм внутренней точки для крупномасштабного нелинейного программирования. SIAM Journal по оптимизации, том 9, № 4, 1999, с. 877-900.

[3] Коулман, Т. Ф. и Я. Ли. Подход внутренней доверительной области для нелинейной минимизации с учетом границ. SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, 1996, pp. 418-445.

[4] Коулман, Т. Ф. и Я. Ли. «О сходимости отражающих методов Ньютона для крупномасштабной нелинейной минимизации, подверженной границам». Математическое программирование, том 67, номер 2, 1994, стр. 189-224.

[5] Гилл, П. Е., У. Мюррей и М. Х. Райт. Практическая оптимизация, Лондон, Академическая пресса, 1981.

[6] Хан, С. П. «Глобально сходимый метод нелинейного программирования». Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 22, 1977, pp. 297.

[7] Пауэлл, М. Дж. Д. «Быстрый алгоритм для нелинейных вычислений оптимизации с ограничениями». Численный анализ, ред. Г. А. Ватсон, Лекционные заметки по математике, Springer-Verlag, том 630, 1978.

[8] Пауэлл, М. Дж. Д. «Сходимость методов переменной метрики для нелинейных вычислений оптимизации с ограничениями». Нелинейное программирование 3 (О. Л. Мангасарян, Р. Р. Meyer, and S. M. Robinson, eds.), Academic Press, 1978.

[9] Вальс, Р. А., Дж. Л. Моралес, Дж. Нокедал и Д. Орбан. Внутренний алгоритм нелинейной оптимизации, который объединяет линии шагов области поиска и доверия. Математическое программирование, том 107, № 3, 2006, стр. 391-408.

Расширенные возможности

Генерация кода C/C + +
Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®

Указания и ограничения по применению:

Для получения примера смотрите Генерацию кода для основ оптимизации.

Автоматическая параллельная поддержка
Ускорите код путем автоматического выполнения расчетов параллельно с помощью Parallel Computing Toolbox™.

Чтобы запустить параллельно, установите 'UseParallel' опция для true.

опции = optimoptions ('solvername',' UseParallel ', true)

Для получения дополнительной информации смотрите Использование параллельных вычислений в Optimization Toolbox.

См. также

fminbnd | fminsearch | fminunc | Оптимизировать | optimoptions

Темы

Представлено до R2006a

Документация

fmincon

Синтаксис

Описание

Примеры

Ограничение линейного неравенства

Линейное неравенство и ограничение равенства

Минимизация со связанными ограничениями

Нелинейные ограничения

Опции Nondefault

Включите градиент

Использование структуры задачи

Получите значение целевой функции

Исследуйте решение, используя дополнительные выходы

Получение всех выходов

Входные параметры

fun - Функция для минимизации указатель на функцию | имя функции

x0 - Начальная точка вектор действительных чисел | вещественный массив

A - Линейные ограничения неравенства действительная матрица

b - Линейные ограничения неравенства вектор действительных чисел

Aeq - Линейные ограничения равенства действительная матрица

beq - Линейные ограничения равенства вектор действительных чисел

lb - Нижние границы вектор действительных чисел | вещественный массив

ub - Верхние границы вектор действительных чисел | вещественный массив

nonlcon - Нелинейные ограничения указатель на функцию | имя функции

options - Опции оптимизации выход optimoptions | структуру, такую как optimset возвраты

problem - Структура задачи структура

Выходные аргументы

x - Решение вектор действительных чисел | вещественный массив

fval - Значение целевой функции в решении вещественное число

exitflag - Причины fmincon остановленный целое число

output - Информация о процессе оптимизации структура

lambda - множители Лагранжа в решении структура

grad - Градиент в решении вектор действительных чисел

hessian - Приблизительный Гессиан действительная матрица

Ограничения

Подробнее о

Гессиан как вход

Функция умножения Гессиана

Алгоритмы

Выбор алгоритма

Оптимизация внутренней точки

Оптимизация SQP и SQP-устаревших версий

Оптимизация Active-Set

Оптимизация Trust- Области Reflective

Альтернативная функциональность

Приложение

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C + + Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®

Автоматическая параллельная поддержка Ускорите код путем автоматического выполнения расчетов параллельно с помощью Parallel Computing Toolbox™.

См. также

Темы

Документация по Optimization Toolbox

Поддержка

`fun` - Функция для минимизации
указатель на функцию | имя функции

`x0` - Начальная точка
вектор действительных чисел | вещественный массив

`A` - Линейные ограничения неравенства
действительная матрица

`b` - Линейные ограничения неравенства
вектор действительных чисел

`Aeq` - Линейные ограничения равенства
действительная матрица

`beq` - Линейные ограничения равенства
вектор действительных чисел

`lb` - Нижние границы
вектор действительных чисел | вещественный массив

`ub` - Верхние границы
вектор действительных чисел | вещественный массив

`nonlcon` - Нелинейные ограничения
указатель на функцию | имя функции

`options` - Опции оптимизации
выход `optimoptions` | структуру, такую как `optimset` возвраты

`problem` - Структура задачи
структура

`x` - Решение
вектор действительных чисел | вещественный массив

`fval` - Значение целевой функции в решении
вещественное число

`exitflag` - Причины `fmincon` остановленный
целое число

`output` - Информация о процессе оптимизации
структура

`lambda` - множители Лагранжа в решении
структура

`grad` - Градиент в решении
вектор действительных чисел

`hessian` - Приблизительный Гессиан
действительная матрица

Генерация кода C/C + +
Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®

Автоматическая параллельная поддержка
Ускорите код путем автоматического выполнения расчетов параллельно с помощью Parallel Computing Toolbox™.