Настройка электропривода

Этот пример показывает, как настроить электропривод с помощью структуры каскадного регулирования.

Структура каскадного регулирования

Рисунок показывает цикл управления с обратной связью, который использует структуру каскадного регулирования. Внешний контур регулировки скорости действует медленнее, чем внутренний контур управления током.

Уравнения для настройки ПИ-регулятора с использованием метода размещения полюсов

Чтобы удовлетворить необходимой эффективности управления для простой дискретной модели объекта управления, _Gf(z^-1), используйте _{замкнутую систему управления с ПИ-регулятором} (z^-1). Эффективность переходного процесса может быть выражена в терминах перерегулирования. Перерегулирование уменьшается относительно коэффициента затухания:

$σ = e^{\frac{- π ξ}{\sqrt{1 - ξ^{2}}}}$

где,

σ перерегулирование.
.r- коэффициент затухания.

Время отклика, _tr, зависит от демпфирования и собственной частоты, _ωn, так что:

Если и < 0.7,
$t_{r} ≅ \frac{4}{ω_{n} ξ} .$
Если и ≥, 0.7,
$t_{r} ≅ \frac{6 ξ}{ω_{n}} .$

Общий рабочий процесс разработки ПИ-контроллера для системы первого порядка:

Дискретизируйте модель объекта управления с помощью метода дискретизации нулевого порядка (ZOH). То есть учитывая, что уравнение первого порядка, представляющее объект,

$G (s) = \frac{K_{m}}{T_{m} s + 1},$
где,
- _Km - коэффициент усиления первого порядка.
- _Tm - константа времени системы первого порядка.
Настройка

$s = \frac{1 - z^{- 1}}{z^{- 1} T_{s}},$
приводит к дискретной модели объекта управления,

$G (z^{- 1}) = \frac{K_{m} (\frac{T_{s}}{T_{m}}) z^{- 1}}{1 + (\frac{T_{s} - T_{m}}{T_{m}}) z^{- 1}} = \frac{b_{1} z^{- 1}}{1 + a_{1} z^{- 1}},$
где _Ts - период дискретизации дискретного контроллера.
Напишите представление в дискретном времени для ПИ-контроллера, используя то же преобразование. Для

$G_{P I} (s) = K_{P} + K_{I} (\frac{1}{s}),$
настройка

$s = \frac{1 - z^{- 1}}{z^{- 1} T_{s}},$
приводит к дискретным моделям контроллеров,

$G_{P I} (z^{- 1}) = \frac{K_{P} + (K_{I} T_{s} - K_{P}) z^{- 1}}{1 - z^{- 1}} = \frac{q_{0} + q_{1} z^{- 1}}{1 - z^{- 1}} .$
Объединение дискретных уравнений для объекта управления и контроллера приводит к передаточной функции замкнутого цикла для системы,

$G_{0} (z^{- 1}) = \frac{q_{0} b_{1} z^{- 1} + q_{1} b_{1} z^{- 2}}{1 + (a_{1} - 1 + q_{0} b_{1}) z^{- 1} + (- a_{1} + q_{1} b_{1}) z^{- 2}},$
Знаменателем передаточной функции является характеристический полином. То есть,

$P_{c 0} (z^{- 1}) = 1 + (a_{1} - 1 + q_{0} b_{1}) z^{- 1} + (- a_{1} + q_{1} b_{1}) z^{- 2} .$
Характеристический полином для достижения необходимой эффективности задан как

$P_{c d} (z^{- 1}) = 1 + α_{1} z^{- 1} + α_{2} z^{- 2},$
где,
- $α_{1} = - 2 e^{- ξ ω_{n} T_{s}} \cos (ω_{n} T_{s} \sqrt{1 - ξ^{2}}) .$
- $α_{2} = e^{- 2 ξ ω_{n} T_{s}} .$
Чтобы определить параметры контроллера, установите характеристический полином для системы, равный характеристическому полиному для необходимой эффективности. Если

$P_{c 0} (z^{- 1}) = P_{c d} (z^{- 1}),$
тогда

$α_{1} = a_{1} - 1 + q_{0} b_{1}$
и

$α_{2} = - a_{1} + q_{1} b_{1} .$
Решение для _q0 и _q1 выражений

$q_{0} = \frac{α_{1} - a_{1} + 1}{b_{1}}$
и

$q_{1} = \frac{α_{2} + a_{1}}{b_{1}} .$
Поэтому общие уравнения для пропорциональных и интегральных параметров управления для системы первого порядка

$K_{P} = q_{0}$
и

$K_{I} = \frac{q_{1} + K_{p}}{T_{s}} .$

Уравнения для настройки контроллера двигателя постоянного тока

Принимая, что для системы в модели примера _Kb = _Kt, упрощенные математические уравнения для напряжения и крутящего момента двигателя постоянного тока являются

$v_{a} = L_{a} \frac{d i_{a}}{d t} + R_{a} i_{a} + K_{b} ω$

$T_{e} = J_{m} \frac{d ω}{d t} + B_{m} ω + T_{l o a d} = K_{b} i_{a},$

где:

_va - напряжение якоря.
_ia - ток якоря.
_La - индуктивность якоря.
_Ra - сопротивление якоря.
ω - скорость вращения ротора
_Te - крутящий момент двигателя.
_Tload - крутящий момент нагрузки.
_Jm - момент инерции ротора.
_Bm - коэффициент вязкого трения.
_Kb является константой пропорциональности.

Чтобы настроить токовый контроллер, примите, что модель линейная, то есть что задняя электродвижущая сила, как представлено _Kbω, незначительна. Это предположение позволяет аппроксимировать модель объекта управления помощью этого уравнения Лапласа первого порядка:

$G_{i} (s) = \frac{\frac{1}{R_{a}}}{(\frac{L_{a}}{R_{a}}) s + 1} .$

Учитывая системные требования, теперь можно решить для _KP и _KI. Требования к токовому контроллеру в модели примера:

Шаг расчета, _Ts = 1 мс.
Перерегулирование,
Время отклика, _tr = 0,11 с.

Поэтому пропорциональные и интегральные параметры для токового контроллера:

$K_{P} = 7.7099.$
$K_{I} = 455.1491.$

Чтобы настроить контроллер скорости, аппроксимируйте модель объекта управления с помощью простой модели. Сначала примите, что внутренний цикл намного быстрее, чем внешний контур. Также примите, что нет никакой статической ошибки. Эти допущения допускают использование системы первого порядка путем принятия передаточной функции 1 для внутреннего цикла тока.

Чтобы вывести скорость вращения в оборотах в минуту, передаточная функция умножается на множитель 30/ Чтобы взять за вход управления ток якоря вместо крутящего момента двигателя, передаточная функция умножается на константу пропорциональности, _Kb. Получившееся приближение для модели объекта управления контура

$G_{n} (s) = \frac{\frac{30 K_{b}}{π B_{m}}}{(\frac{J_{m}}{B_{m}}) s + 1} .$

У контроллера скорости те же шаг расчета и требования к перерегулированию как и у токового контроллера, но время отклика медленнее, так что:

Время дискретизации _Ts = 1 мс.
Перерегулирование
Время отклика _tr = 0,50 с.

Поэтому пропорциональные и интегральные параметры для контроллера скорости:

$K_{P} = 0.0045$
$K_{I} = 0.0405$