Для систем MIMO передаточные функции являются матрицами, и соответствующие меры усиления определяются сингулярными значениями, H∞ и H2 нормами, которые определяются следующим образом:
H2 и H∞ нормы
H2-norm является энергией импульсной характеристики объекта G. H∞-norm является пиковым коэффициентом усиления G по всем частотам и всем входным направлениям.
Другой важной концепцией является понятие сингулярных значений.
Сингулярные значения:
Сингулярные значения матрицы ранга r , обозначенные σi, являются неотрицательными квадратными корнями собственных значений заказанный таким образом, что <reservedrangesplaceholder5> 1 <reservedrangesplaceholder4> 2 ... <reservedrangesplaceholder3>> 0, минута <reservedrangesplaceholder2> {m, n}.
Если r < p, то существует p - r нулевых сингулярных значений, т.е. σ r + 1 = σ r + 2 =.. . = σp = 0.
Наибольшее сингулярное значение σ 1 иногда обозначается
Когда A - квадратная n-на-n матрица, то обозначается n-е сингулярное значение (т.е. наименьшее сингулярное значение)
Некоторые полезные свойства сингулярных значений:
Эти свойства особенно важны, потому что они устанавливают, что наибольшие и наименьшие сингулярные значения матрицы А являются максимальными и минимальными «усилениями» матрицы, поскольку входной вектор x изменяется во всех возможных направлениях.
Для стабильных систем LTI в непрерывном времени G (s) H 2-норма и H ∞ -нормы заданы условия частотно-зависимых сингулярных значений G (jω):
H 2-норма :
H ∞ - norm:
где sup обозначает наименьшую верхнюю границу.