Обратное короткое преобразование Фурье вычисляется путем взятия ОБПФ каждого вектора DFT STFT и добавления-перекрытия инвертированных сигналов. ISTFT рассчитывается следующим образом:

где $$R$$ - размер скачка между последовательными ДПФ, $$X_m$$ - ДПФ оконных данных с центром во времени $$mR$$ и $$x_m(n)=x(n)g(n-mR)$$. Обратный STFT является идеальной реконструкцией исходного сигнала, пока $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }{g}^{a+1}(n-mR)=c}\forall n\in \mathbb{Z}$$ где analysis window $$g(n)$$ использовался для окна исходного сигнала и $$c$$ является константой. Следующий рисунок изображает шаги, следующие при восстановлении исходного сигнала.

Чтобы гарантировать успешную реконструкцию немодифицированных спектров, окно анализа должно удовлетворять ограничению COLA. В целом, если окно анализа удовлетворяет условию $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }{g}^{a+1}(n-mR)=c}\forall n\in \mathbb{Z}$$окно считается совместимым с COLA. Кроме того, податливость COLA может быть описано как слабое или сильное.

Вы можете использовать iscola функция для проверки на слабую податливость COLA. Количество суммаций, используемых для проверки податливости COLA, определяется длиной окна и размером скачка. В целом, обычно использовать $$a=1$$ в $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }{g}^{a+1}(n-mR)=c}\forall n\in \mathbb{Z}$$ для взвешенного наложения-сложения (WOLA), и $$a=0$$ для наложения-добавления (OLA). По умолчанию, istft использует метод WOLA, применяя synthesis window перед выполнением метода перекрытия-суммы.

В целом окно синтеза совпадает с окном анализа. Можно создать полезные окна WOLA, взяв квадратный корень сильного окна OLA. Можно использовать этот метод для всех неотрицательных окон OLA. Например, окно root-Hann является хорошим примером окна WOLA.

В целом вычисление STFT входного сигнала и инвертирование его не приводит к идеальной реконструкции. Если вы хотите, чтобы выход ISTFT максимально совпадал с исходным входным сигналом, сигнал и окно должны удовлетворять следующим условиям: