Реализация фильтра

Свертки и фильтрация

Математическим фундаментом фильтрации является свертка. Для фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ) выходным y (k) операции фильтрации является свертка входного сигнала x (k) с h с импульсной характеристикой (k):

$y (k) = \sum_{l = - \infty}^{\infty} h (l) x (k - l) .$

Если входной сигнал также имеет конечную длину, можно реализовать операцию фильтрации с помощью MATLAB^® conv функция. Для примера, чтобы фильтровать пятивыборочный случайный вектор с фильтром усреднения третьего порядка, можно хранить x (k) в векторе x, h (k) в векторе h, и свертка двух:

x = randn(5,1);
h = [1 1 1 1]/4;   % A third-order filter has length 4
y = conv(h,x)

Длина y на единицу меньше суммы длин x и h.

Фильтры и передаточные функции

Передаточная функция фильтра является Z-преобразованием его импульсной характеристики. Для Конечная Импульсная Характеристика Z-преобразование выхода y Y (z) является продуктом передаточной функции и X (z), Z-преобразование входного x:

$Y (z) = H (z) X (z) = (h (1) + h (2) z^{- 1} + \dots + h (n + 1) z^{- n}) X (z) .$

Полиномиальные коэффициенты h (1), h (2),..., h (n + 1) соответствуют коэффициентам импульсной характеристики фильтра n-го порядка.

Примечание

Индексы коэффициентов фильтра выполняются от 1 до (n + 1), а не от 0 до n. Это отражает стандартную схему индексации, используемую для векторов MATLAB.

Конечная импульсная характеристика также называются фильтрами с нулем, нерекурсивными или скользящим средним (MA).

Для фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) передаточная функция является не полиномиальной, а рациональной функцией. Z-преобразования входа и выхода сигналов связаны

$Y (z) = H (z) X (z) = \frac{b (1) + b (2) z^{- 1} + ... + b (n + 1) z^{- n}}{a (1) + a (2) z^{- 1} + ... + a (m + 1) z^{- m}} X (z),$

где b (i) и a (i) являются коэффициентами фильтра. В этом случае порядок фильтра является максимальным из n и m. БИХ с n = 0 также называются полнополюсными, рекурсивными или авторегрессивными (AR) фильтрами. БИХ с n и m, большими нуля, также называются полюсно-нулевыми, рекурсивными или авторегрессивными фильтрами скользящего среднего (ARMA). Акронимы AR, MA и ARMA обычно применяются к фильтрам, связанным с фильтрованными стохастическими процессами.

Фильтрация с помощью `filter` Функция

Для БИХ операция фильтрации описывается не простой сверткой, а разностным уравнением, которое может быть найдено из отношения передаточной функции. Предположим, что a (1) = 1, переместите знаменатель на левую сторону и возьмите обратное Z-преобразование, чтобы получить

$y (k) + a (2) y (k - 1) + \dots + a (m + 1) y (k - m) = b (1) x (k) + b (2) x (k - 1) + \dots + b (n + 1) x (k - n) .$

С точки зрения текущих и прошлых входов и прошлых выходов, y (k) является

$y (k) = b (1) x (k) + b (2) x (k - 1) + \dots + b (n + 1) x (k - n) - a (2) y (k - 1) - \dots - a (m + 1) y (k - m),$

который является стандартным представлением цифрового фильтра во временной области. Начиная с y (1) и принимая причинную систему с нулевыми начальными условиями, представление эквивалентно

$\begin{array}{l} y (1) = b (1) x (1) \\ y (2) = b (1) x (2) + b (2) x (1) - a (2) y (1) \\ y (3) = b (1) x (3) + b (2) x (2) + b (3) x (1) - a (2) y (2) - a (3) y (1) \\ ⋮ \\ y (n) = b (1) x (n) + \dots + b (n) x (1) - a (2) y (n - 1) - \dots - a (n) y (1) . \end{array}$

Для реализации этой операции фильтрации можно использовать MATLAB filter функция. filter сохраняет коэффициенты в два векторов-строк, один для числителя и один для знаменателя. Для примера решить разностное уравнение

$y (n) - 0.9 y (n - 1) = x (n) \Rightarrow Y (z) = \frac{1}{1 - 0.9 z^{- 1}} X (z) = H (z) X (z),$

вы можете использовать

b = 1;
a = [1 -0.9];
y = filter(b,a,x);

filter дает вам столько выходных выборок, сколько есть входных выборок, то есть длину y совпадает с длиной x. Если первый элемент a не 1, то filter делит коэффициенты на a (1) перед реализацией разностного уравнения.

Документация