Обзор

В данном примере динамика объекта описывается следующими уравнениями [1].

Цель для объекта состоит в том, чтобы отслеживать желаемые траектории, определенные как:

Для примера, который учит и применяет неизвестную функцию ограничения для того же приложения управления ПИД, смотрите Изучение и Применение ограничений для ПИД-регуляторов.

Сконфигурируйте параметры модели и начальные условия.

r = 1.5;            % radius for desired trajectory
Ts = 0.1;           % sample time
Tf = 22;            % duration
x0_1 = -r;          % initial condition for x1
x0_2 = 0;           % initial condition for x2

Проект ПИД-регуляторов

Перед применением ограничений проекта ПИД-регуляторов для отслеживания ссылки траекторий. The trackingWithPIDs модель содержит два ПИД-регуляторов с усилениями, настроенными с помощью приложения PID Tuner. Для получения дополнительной информации о настройке ПИД-регуляторов в моделях Simulink, см. Введение в основанную на модели настройку ПИД в Simulink.

mdl = 'trackingWithPIDs';
open_system(mdl)

Симулируйте ПИД-регуляторы и постройте график их эффективности отслеживания.

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = logData{3}.Values.Data;
x2_traj = logData{4}.Values.Data;
x1_des = logData{1}.Values.Data;
x2_des = logData{2}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking')
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('desired','traj','start','end')

Функция ограничения

В данном примере вы применяете известные ограничения к приложению с помощью блока Constraint Enforcement, который корректирует действия управления, чтобы удовлетворить ограничительной функции.

В этом примере допустимая область для объекта управления $\left\{\mathit{x}:{\mathit{x}}_1\le 1,{\mathit{x}}_{\mathit{x}}\le 1\right\}$. Поэтому условие следующего состояния объекта ${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}=\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\left(\mathit{k}+1\right)\\ {\mathit{x}}_2\left(\mathit{k}+1\right)\end{array}\right]$должен удовлетворять ${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}\le \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$.

Можно аппроксимировать динамику объекта следующим уравнением.

Применение ограничений к этому уравнению создает следующую функцию ограничения.

$\left[\begin{array}{cc}\left(1-{\mathit{T}}_{\mathit{s}}\right)& 0\\ 0& \left(1-{\mathit{T}}_{\mathit{s}}\right)\end{array}\right]{\mathit{x}}_{\mathit{k}}+\left[\begin{array}{cc}{\mathit{T}}_{\mathit{s}}\left(1+{\mathit{x}}_1^2\left(\mathit{k}\right)\right)& 0\\ 0& {\mathit{T}}_{\mathit{s}}\left(1+{\mathit{x}}_2^2\left(\mathit{k}\right)\right)\end{array}\right]{\mathit{u}}_{\mathit{k}}\le \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$.

Блок Constraint Enforcement принимает ограничения формы ${\mathit{f}}_{\mathit{x}}+{\mathit{g}}_{\mathit{x}}\mathit{u}\le \mathit{c}$. Для этого приложения коэффициенты этой ограничительной функции следующие.

Симулируйте ПИД-регулятор с ограничениями

The trackingWithConstraintPID модель содержит ПИД-регуляторы, динамику объекта управления и реализацию ограничений.

mdl = 'trackingWithKnownConstraintPID';
open_system(mdl)

Чтобы просмотреть реализацию ограничений, откройте Подсистему ограничений. Здесь известная функция ограничения реализована с помощью блока MATLAB Function, а блок Constraint Enforcement применяет функцию ограничения.

Запустите модель и постройте график результатов симуляции. На графике показано, что состояния объекта меньше единицы.

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = zeros(size(out.tout));
x2_traj = zeros(size(out.tout));
for ct = 1:size(out.tout,1)
    x1_traj(ct) = logData{4}.Values.Data(:,:,ct);
    x2_traj(ct) = logData{5}.Values.Data(:,:,ct);
end

x1_des = logData{2}.Values.Data;
x2_des = logData{3}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking with Constraint');
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('desired','traj','start','end','Location','best')

Блок Constraint Enforcement успешно ограничивает действия управления таким образом, чтобы состояния объекта оставалось меньше единицы.

bdclose('trackingWithPIDs')
bdclose('trackingWithKnownConstraintPID')

Ссылки

[1] Робей, Александр, Хаймин Ху, Ларс Линдеманн, Ханвэнь Чжан, Димос В. Димарогонас, Стивен Ту, и Николай Матни. «Барьерные функции управления обучением из экспертных демонстраций». Препринт, представленный 7 апреля 2020 года. https://arxiv.org/abs/2004.03315