Проект ПИД-регуляторов

Перед обучением и применением ограничений проекта ПИД-регуляторов для отслеживания траекторий ссылки. The trackingWithPIDs модель содержит два ПИД-регуляторов с усилениями, настроенными с помощью приложения PID Tuner. Для получения дополнительной информации о настройке ПИД-регуляторов в моделях Simulink, см. Введение в основанную на модели настройку ПИД в Simulink.

mdl = 'trackingWithPIDs';
open_system(mdl)

Симулируйте ПИД-регуляторы и постройте график их эффективности отслеживания.

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = logData{3}.Values.Data;
x2_traj = logData{4}.Values.Data;
x1_des = logData{1}.Values.Data;
x2_des = logData{2}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking')
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('desired','traj','start','end')

Функция ограничения

В этом примере вы изучаете ограничения приложения и изменяете действия управления ПИД-регуляторов, чтобы удовлетворить этим ограничениям.

Допустимая область для объекта определяется ограничениями $\left\{\mathit{x}:{\mathit{x}}_1\le 1,{\mathit{x}}_2\le 1\right\}$. Поэтому траектории ${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}={\left[{\mathit{x}}_1\left(\mathit{k}+1\right){\mathit{x}}_2\left(\mathit{k}+1\right)\right]}^{\prime }$ должен удовлетворять ${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}\le 1$.

Можно аппроксимировать динамику объекта следующим уравнением.

${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}\approx \mathit{A}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}+\left[\begin{array}{cc}{\mathit{g}}_1\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)& 0\\ 0& {\mathit{g}}_2\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)\end{array}\right]{\mathit{u}}_{\mathit{k}}$.

Применение ограничений к этому уравнению создает следующую функцию ограничения.

$\mathit{A}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}+\left[\begin{array}{cc}{\mathit{g}}_1\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)& 0\\ 0& {\mathit{g}}_2\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)\end{array}\right]{\mathit{u}}_{\mathit{k}}\le \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$.

Блок Constraint Enforcement принимает ограничения формы ${\mathit{f}}_{\mathit{x}}+{\mathit{g}}_{\mathit{x}}\mathit{u}\le \mathit{c}$. Для этого приложения коэффициенты этой ограничительной функции следующие.

${\mathit{f}}_{\mathit{x}}=\mathit{A}{\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{g}}_{\mathit{x}}=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{g}}_1\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)& 0\\ 0& {\mathit{g}}_2\left({\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)\end{array}\right],\mathit{c}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$.

Изучение функции ограничения

В данном примере коэффициенты ограничительной функции неизвестны. Поэтому их необходимо вывести из обучающих данных. Чтобы собрать обучающие данные, используйте rlCollectDataPID модель. Эта модель позволяет вам передать нулевые или случайные входы в модель объекта управления и записать результирующие выходы объекта.

mdl = 'rlCollectDataPID';
open_system(mdl)

Чтобы узнать неизвестную матрицу $\mathit{A}$обнулите входы объекта нуля. Когда вы делаете это, динамика объекта становится ${\mathit{x}}_{\mathit{k}+1}\approx \mathit{A}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}$.

mdl = 'rlCollectDataPID';
open_system(mdl)

Сбор обучающих данных с помощью collectDataPID функция. Эта функция моделирует модель несколько раз и извлекает входные/выходные данные. Функция также форматирует обучающие данные в массив с шестью столбцами: ${\mathit{x}}_1\left(\mathit{k}\right)$, ${\mathit{x}}_2\left(\mathit{k}\right)$, ${\mathit{u}}_1\left(\mathit{k}\right)$, ${\mathit{u}}_2\left(\mathit{k}\right)$, ${\mathit{x}}_1\left(\mathit{k}+1\right)$, и ${\mathit{x}}_2\left(\mathit{k}+1\right)$.

numSamples = 1000;
data = collectDataPID(mdl,numSamples);

Найдите решение методом наименьших квадратов для матрицы $\mathit{A}$ использование входных/выходных данных.

inputData = data(:,1:2);
outputData = data(:,5:6);
A = inputData\outputData;

Соберите обучающие данные. Чтобы узнать неизвестную функцию ${\mathit{g}}_{\mathit{x}}$, сконфигурируйте модель, чтобы использовать случайные входные значения, которые следуют нормальному распределению.

% Configure model to use random input data.
blk = [mdl '/Manual Switch'];
set_param(blk,'sw','0');
% Collect data.
data = collectDataPID(mdl,numSamples);

Обучите глубокую нейронную сеть, чтобы аппроксимировать ${\mathit{g}}_{\mathit{x}}$ функция, использующая trainConstraintPID вспомогательная функция. Эта функция форматирует данные для обучения, затем создает и обучает глубокую нейронную сеть. Для настройки глубокой нейронной сети требуется программное обеспечение Deep Learning Toolbox™.

Входами в глубокую нейронную сеть являются состояния объекта. Создайте входные обучающие данные путем извлечения собранной информации о состоянии.

inputData = data(:,1:2);

Поскольку выход глубокой нейронной сети соответствует ${\mathit{g}}_{\mathit{x}}$, вы должны вывести выходные обучающие данные с помощью собранных входных/выходных данных и вычисленных $\mathit{A}$ матрица.

u = data(:,3:4);
x_next = data(:,5:6);
fx = (A*inputData')';
outputData = (x_next - fx)./u;

В данном примере, чтобы гарантировать воспроизводимость, загружает предварительно обученную сеть. Чтобы обучить сеть самостоятельно, установите trainConstraint на true.

trainConstraint = false;
if trainConstraint
    network = trainConstraintPID(inputData,outputData);
else
   load trainedNetworkPID network
end

Следующий рисунок показывает пример процесса обучения.

Симулируйте ПИД-регуляторы с ограничениями

Чтобы симулировать ПИД-регуляторы с ограничениями, используйте trackingWithLearnedConstraintPID модель. Эта модель ограничивает контроллер выходы перед применением их к объекту.

mdl = 'trackingWithLearnedConstraintPID';
open_system(mdl)

Чтобы просмотреть реализацию ограничений, откройте Подсистему ограничений. Здесь обученная глубокая нейронная сеть аппроксимирует ${\mathit{g}}_{\mathit{x}}$ на основе текущего состояния объекта, и блок Constraint Enforcement применяет функцию ограничения.

Симулируйте модель и постройте график результатов.

% Simulate the model.
out = sim(mdl);

% Extract trajectories.
logData = out.logsout;
x1_traj = zeros(size(out.tout));
x2_traj = zeros(size(out.tout));
for ct = 1:size(out.tout,1)
    x1_traj(ct) = logData{4}.Values.Data(:,:,ct);
    x2_traj(ct) = logData{5}.Values.Data(:,:,ct);
end

x1_des = logData{2}.Values.Data;
x2_des = logData{3}.Values.Data;

% Plot trajectories.
figure('Name','Tracking with Constraint');
plot(x1_des,x2_des,'r')
xlabel('x1')
ylabel('x2')
hold on
plot(x1_traj,x2_traj,'b:','LineWidth',2)
hold on
plot(x1_traj(1),x2_traj(1),'g*')
hold on
plot(x1_traj(end),x2_traj(end),'go')
legend('desired','traj','start','end','Location','best')

Блок Constraint Enforcement успешно ограничивает действия управления таким образом, чтобы состояния объекта оставалось меньше единицы.

bdclose('rlCollectDataPID')
bdclose('trackingWithLearnedConstraintPID')

Ссылки

[1] Робей, Александр, Хаймин Ху, Ларс Линдеманн, Ханвэнь Чжан, Димос В. Димарогонас, Стивен Ту, и Николай Матни. «Барьерные функции управления обучением из экспертных демонстраций». Препринт, представленный 7 апреля 2020 года. https://arxiv.org/abs/2004.03315