Матрица шляп и рычаги

Матрица шляп

Цель

Матрица шляп обеспечивает меру рычага. Это полезно для исследования того, находятся ли одно или несколько наблюдений за пределами их X значений, и, следовательно, может чрезмерно влиять на результаты регрессии.

Определение

Матрица шляпы также известна как проекционная матрица, потому что она проецирует вектор наблюдений, y, на вектор предсказаний, $\hat{y}$ , таким образом надев «шляпу» на y. Матричная H шляпы задана в терминах матрицы данных X:

H = X (X^TX)^–1X^T

и определяет установленные или предсказанные значения с

$\hat{y} = H y = X b .$

Диагональные элементы H, h _ii, называются рычагами и удовлетворяют

$\begin{array}{l} 0 \leq h_{i i} \leq 1 \\ \sum_{i = 1}^{n} h_{i i} = p, \end{array}$

где p - количество коэффициентов, а n - количество наблюдений (строки X) в регрессионой модели. HatMatrix - матрица n -by n в Diagnostics таблица.

Как

После получения подобранной модели, скажем mdl, использование fitlm или stepwiselm, можно:

Отобразите HatMatrix путем индексации в свойство с помощью записи через точку
```
mdl.Diagnostics.HatMatrix
```
Когда n большая, HatMatrix может быть дорогим в вычислительном отношении. В этих случаях можно получить диагональные значения непосредственно, используя
```
mdl.Diagnostics.Leverage
```

Рычаги

Цель

Рычаг является мерой эффекта конкретного наблюдения на регрессионные предсказания из-за положения этого наблюдения в пространстве входов. В целом, чем дальше точка находится от центра входного пространства, тем больше рычагов у него. Поскольку сумма значений рычага p, i наблюдения может рассматриваться как выбросы, если его рычаг существенно превышает среднее значение рычага, p/ n, для примера, значение, больше 2 * p/ n.

Определение

Рычагом i наблюдений является значение i-го диагональю члена, _h ii, матрицы шляпы H, где

H = X (X^TX)^–1X^T.

Диагональные условия удовлетворяют

$\begin{array}{l} 0 \leq h_{i i} \leq 1 \\ \sum_{i = 1}^{n} h_{i i} = p, \end{array}$

где p - количество коэффициентов в регрессионной модели, а n - количество наблюдений. Минимальное значение h _ii составляет 1/ n для модели с постоянным членом. Если подобранная модель проходит через источник, то минимальное значение рычага составляет 0 для наблюдения при x = 0.

Можно выразить подобранные значения, $\hat{y}$ , по наблюдаемым значениям, y, с

$\hat{y} = H y = X b .$

Следовательно, h _ii выражает, на сколько _yi наблюдения влияния ${\hat{y}}_{i}$ . Большое значение h _ii указывает, что i-й случай удален от центра всех значений X для всех случаев n и имеет больше рычагов. Leverage - вектор-столбец n -by-1 в Diagnostics таблица.

Как

После получения подобранной модели, скажем mdl, использование fitlm или stepwiselm, можно:

Отобразите Leverage вектор путем индексации в свойство с помощью записи через точку
```
mdl.Diagnostics.Leverage
```
Постройте график рычага для значений, подобранных вашей моделью, используя
```
plotDiagnostics(mdl)
```
Смотрите plotDiagnostics метод LinearModel класс для получения дополнительной информации.

Определите, что наблюдения с высоким коэффициентом использования

Открыть Live Script

В этом примере показано, как вычислить Leverage значения и оценка наблюдений с высоким потенциалом. Загрузите выборочные данные и задайте ответ и независимые переменные.

load hospital
y = hospital.BloodPressure(:,1);
X = double(hospital(:,2:5));

Подбор линейной регрессионой модели.

mdl = fitlm(X,y);

Постройте график значений рычага.

plotDiagnostics(mdl)

Figure contains an axes. The axes with title Case order plot of leverage contains 2 objects of type line. These objects represent Leverage, Reference Line.

В данном примере рекомендуемое порогу значение является 2 * 5/100 = 0,1. Нет никаких признаков высоких наблюдений рычагов.

См. также

fitlm | LinearModel | plotDiagnostics | stepwiselm

Документация