Вычисление Факторизации Холесского числовых и символьных матриц

Вычислите Факторизацию Холесского Гильбертовой матрицы 3 на 3. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

chol(hilb(3))

ans =
    1.0000    0.5000    0.3333
         0    0.2887    0.2887
         0         0    0.0745

Теперь преобразуйте эту матрицу в символьный объект и вычислите факторизацию Холесского:

chol(sym(hilb(3)))

ans =
[ 1,       1/2,        1/3]
[ 0, 3^(1/2)/6,  3^(1/2)/6]
[ 0,         0, 5^(1/2)/30]

Возврат нижней треугольной матрицы

Вычислите Факторизацию Холесского матрицы Паскаля 3 на 3, возвращая нижнюю треугольную матрицу в результате:

chol(sym(pascal(3)), 'lower')

ans =
[ 1, 0, 0]
[ 1, 1, 0]
[ 1, 2, 1]

Если вход не является эрмитовым положительным определением

Попытайтесь вычислить факторизацию Холесского этой матрицы. Потому что эта матрица не эрмитова положительно определена, chol используется без выходных аргументов или с одним выходным аргументом, выдает ошибку:

A = sym([1 1 1; 1 2 3; 1 3 5]);

T = chol(A)

Error using sym/chol (line 132)
Cannot prove that input matrix is Hermitian positive definite.
Define a Hermitian positive definite matrix by setting
appropriate assumptions on matrix components, or use 'nocheck'
to skip checking whether the matrix is Hermitian positive definite.

Чтобы подавить ошибку, используйте два выходных аргументов, T и p. Если матрица не распознана как Hermitian positive definite, то этот синтаксис присваивает пустой символьный объект T и значение 1 на p:

[T,p] = chol(A)

T =
[ empty sym ]
p =
     1

Для эрмитовой положительно определенной матрицы, p 0:

[T,p] = chol(sym(pascal(3)))

T =
[ 1, 1, 1]
[ 0, 1, 2]
[ 0, 0, 1]
p =
     0

Другой способ 'nocheck' позволяет пропустить проверку, A является эрмитовой положительно определенной матрицей. Таким образом, этот флаг позволяет вам вычислить факторизацию Холесского символьной матрицы, не устанавливая дополнительные предположения о её компонентах, чтобы сделать её эрмитовой положительной определенной:

syms a
A = [a 0; 0 a];
chol(A,'nocheck')

ans =
[ a^(1/2),       0]
[       0, a^(1/2)]

Если вы используете 'nocheck' для вычисления Факторизации Холесского матрицы, которая не является эрмитовым положительным определением, chol может вернуть матрицу T для которого тождества T'*T = A не удерживает. Сделать isAlways возврат логического 0 (false) для неопределяемых условий установите Unknown на false.

T = chol(sym([1 1; 2 1]), 'nocheck')

T =
[ 1,         2]
[ 0, 3^(1/2)*1i]

isAlways(A == T'*T,'Unknown','false')

ans =
  2×2 logical array
     0     0
     0     0

Матрица сочетания

Вычислите Факторизацию Холесского обратной матрицы 3 на 3 Гильбертовы матрицы возвращая матрицу сочетания:

A = sym(invhilb(3));
[T, p, S] = chol(A)

T =
[ 3,       -12,         10]
[ 0, 4*3^(1/2), -5*3^(1/2)]
[ 0,         0,    5^(1/2)]

p =
     0

S =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

Верните информацию о сочетании как вектор

Вычислите Факторизацию Холесского обратной функции 3 на 3 Гильбертовы матрицы возвращая информацию о сочетании в виде вектора:

A = sym(invhilb(3));
[T, p, S] = chol(A, 'vector')

T =
[ 3,       -12,         10]
[ 0, 4*3^(1/2), -5*3^(1/2)]
[ 0,         0,    5^(1/2)]
p =
     0
S =
     1     2     3

Используйте допущения, чтобы сделать матрицу Hermitian Positive Definite

Вычислите Факторизацию Холесского матрицы A содержащий символические параметры. Без дополнительных предположений о параметре a, эта матрица не Эрмитова. Сделать isAlways возврат логического 0 (false) для неопределяемых условий установите Unknown на false.

syms a
A = [a 0; 0 a];
isAlways(A == A','Unknown','false')

ans =
  2×2 logical array
     0     1
     1     0

Путем установки допущений на a и b, можно задать A быть эрмитовым положительно определенным. Поэтому можно вычислить факторизацию Холесского A:

assume(a > 0)
chol(A)

ans =
[ a^(1/2),       0]
[       0, a^(1/2)]

Для дальнейших расчетов удалите допущения на a путем воссоздания его с помощью syms:

syms a

Возврат реального результата без сложных сопряжений

Вычислите Факторизацию Холесского этой матрицы. Чтобы пропустить проверку, является ли это эрмитовым положительным определенным, используйте 'nocheck'. По умолчанию chol вычисляет эрмитову факторизацию A = T'*T. Таким образом, результат содержит сложные конъюгаты.

syms a b
A = [a b; b a];
T = chol(A, 'nocheck')

T =
[ a^(1/2),                    conj(b)/conj(a^(1/2))]
[       0, (a*abs(a) - abs(b)^2)^(1/2)/abs(a)^(1/2)]

Чтобы избежать сложных сопряженных в результате, используйте 'real':

T = chol(A, 'nocheck', 'real')

T =
[ a^(1/2),             b/a^(1/2)]
[       0, ((a^2 - b^2)/a)^(1/2)]

Когда вы используете этот флаг, chol вычисляет симметричную факторизацию A = T.'*T вместо эрмитова факторизации A = T'*T. Сделать isAlways возврат логического 0 (false) для неопределяемых условий установите Unknown на false.

isAlways(A == T.'*T)

ans =
  2×2 logical array
     1     1
     1     1

isAlways(A == T'*T,'Unknown','false')

ans =
  2×2 logical array
     0     0
     0     0